1) Интегрирование по методу прямоугольников.

Метод прямоугольников − простейший приём численного интегрирования, при котором функция f(x) заменяется интерполяционным многочленом

нулевого порядка. Интервал интегрирования [a,b] делится точками х₀, х₁, …, х_n на n равных частей (рис. 1), причём х₀ = a, x_n= b, длина каждой части составляет h = (b-a)/n, и тогда x_i = x₀+ih, i = 0, …, n.

Из каждой точки х проведём перпендикуляр до пересечения с кривой f(x),

а затем заменим кривую подынтегральной функции ломаной линией, отрезки которой параллельны оси абсцисс.

Рис.1. Геометрическая интерпретация интегрирования по методу прямоугольников.

Площадь полученной ступенчатой фигуры можно найти как сумму площадей прямоугольников, стороны которых равны h и у_i. Следовательно, площадь отдельного прямоугольника составит

S_i = y_i∙h,

тогда

Следовательно, формула вычисления определённого интеграла по методу прямоугольников имеет вид:

(3)

Остаточный член имеет вид:

(4)

2) Интегрирование по методу трапеций.

Метода трапеций заключается в линейной аппроксимации f(x) на отрезке [a,b]. Участок интегрирования также разбивается на n равных частей. Если провести ординаты во всех точках деления и заменить каждую из полученных криволинейных трапеций прямолинейной (рис.2), то приближённое значение интеграла будет равно сумме площадей прямолинейных трапеций.

Рис. 2 Геометрическая интерпретация интегрирования по методу трапеций.

Площадь отдельной трапеции составляет: ,

Тогда площадь искомой фигуры будем искать по формуле:

.

Следовательно, формула трапеций для численного интегрирования имеет вид:

(5)

Остаточный член имеет вид

(6)

На практике для оценки абсолютной погрешности формулы трапеций применяют следующие соотношения:

1. ,(7)

При этом, как правило, получают для завышенную оценку.

2. Правило Рунге (n − чётное) даёт более тонкую оценку :

(8)

Но при этом может получиться для заниженная оценка, чего следует опасаться.

3) Интегрирование по методу Симпсона.

Пусть n = 2m − чётное число, а у_i = f(x_i) (i = 0..n) − значения функции у = f(x) для равноотстоящих точек a = x₀, x₁, x₂, …, x_n = b с шагом h =(b-a)/n = (b-a)/2m. На паре участков (рис.3) кривая у = f(x) заменяется параболой у = L(x), коэффициенты которой подобраны так, что она проходит через точки у₀, у₁, у₂.

Рис.3 Геометрическая интерпретация интегрирования по методу Симпсона.

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху параболой, составит:

.

Суммируя площади всех криволинейных трапеций, получим:

Где p = 6-p, p = 4. Следовательно, формула Симпсона для численного интегрирования имеет вид:

(9)

Остаточный член имеет вид:

(10)

На практике для оценки абсолютной погрешности формулы Симпсона применяют следующие соотношения:

1. ,(11)

При этом, как правило, получают для завышенную оценку.

2. Правило Рунге (n − чётное) даёт более тонкую оценку :

(12)

Но при этом может получиться для заниженная оценка, чего следует опасаться.

Формулы прямоугольников и трапеций дают точное значение интеграла, когда подынтегральная функция f(x) линейна, ибо тогда f ″(x) = 0, а формула Симпсона является точной для многочленов до третьей степени, т. к. в этом случае f ⁽⁴⁾ = 0.

Если функция у = f(x) задана таблично и её производные найти затруднительно, то в предполо- жении отсутствия быстро колеблющихся составляющих можно применить приближённые формулы для погрешностей, выраженные через конечные разности:

(*)

(**)

Выбор шага

1. Пусть требуется вычислить интеграл с точностью ε. Используя формулу соответствующего остаточного члена R, выбирают h таким образом, чтобы выполнялось неравенство .

2. Двойной пересчёт. ( Правило Рунге).

Лекция 4

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ И НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

Если алгебраическое или трансцендентное уравнение достаточно сложное, то его корни сравнительно редко удаётся найти точно. Поэтому большое значение приобретают способы приближённого нахождения корней уравнения и оценки степени их точности.

Процесс нахождения приближённых значений корней уравнения:

f(x) = 0, (1)

где функция f(x) определена и непрерывна в некотором конечном или

бесконечном интервале a < x < b разбивается на два этапа: 1) отделение корней; 2) уточнение корней до заданной степени точности.