Глава 17. Тройной интеграл

17.1. Понятие тройного интеграла

Пусть в пространстве задана область V, ограниченная замкнутой поверхностьюS. Пусть в областиVи на ее границе определена непрерывная функция(если0 – то можно рассматривать плотность распределения вещества в областиV).

Разобьем область Vнаnобластейпроизвольным образом, причем– это и объем этой области. В пределах каждой частичной областивыберем произвольную точкуР_iи составим интегральную сумму. Перейдем к пределу, т.е., чтобы и, тогда для непрерывной функциисуществует предел интегральных сумм, который не зависит ни от способа разбиения области, ни от выбора точекР_i. Это предел обозначается символоми называется тройным интегралом, т.е.. Если считать– объемной плотностью распределения вещества в областиV, то тройной интеграл даст массу вещества в областиV.

17.2. Вычисление тройного интеграла

Предположим, что пространственная область V, ограниченная замкнутой поверхностьюS, обладает следующими свойствами:

1. Всякая прямая, параллельная оси OZ, проведенная через внутреннюю точку области V, пересекает поверхностьSв двух точках.

2. Вся область Vпроектируется на плоскостьХОУв правильную областьD.

3. Всякая часть области V, отсеченная плоскостью, параллельной и любой из координатных плоскостей, также обладает свойствами 1, 2.

Область V, обладающую указанными свойствами, будем называть правильной трехмерной областью. Пример – эллипсоид, тетраэдр.

Пусть поверхность, ограничивающая область Vснизу, имеет уравнение:, а сверху –. Пусть областьD– проекция областиVна плоскостьХОУ – ограниченна линиями:,,,.

Введем понятие трехкратного интегралаот функциипо областиV:. В результате интегрирования поzв квадратных скобках, получится функция отхиу. Далее вычисляем двойной интеграл по областиD.

Теорема. Тройной интеграл от по правильной области равен трехкратному интегралу по этой же области, т.е..

Свойства тройного интеграла:

1. Если область Vразбита на областииплоскостью, параллельной какой – либо из плоскостей координат, то тройной интеграл по областиравен сумме тройных интегралов по областями.

2. Если mиМ– наименьшее и наибольшее значение функциив областиV, то, гдеV– объем данной области.

3., где– объем области.

4. Если в тройном интеграле положить , то .

17.3. Замена переменных в тройном интеграле

а) В цилиндрических координатах.

В цилиндрической системе координат положение точки Мопределяется тремя числами:,,, гдеи– полярные координаты проекции точкиМна плоскость,– аппликата точкиМ. Переход от цилиндрической системы координат к декартовой осуществляется по формулам:,,.

Разобьем область Vповерхностями:криволинейные «призмы» с объемами, где– площадь основания, а– высота. Тогда:

, где .

Пример. Определить массу полушара радиуса Rс центром в начале координат, если плотность вещества пропорциональна расстоянию этой точки от основания, т. е..

Уравнение верхней полусферы: . Имеем:

=.

б) В сферических координатах.

Положение точки определяется тремя числами: , гдеr– радиус-вектор,– угол между проекцией точки иОХ,– угол между радиусом-вектором и плоскостью. Имеем: ,,.

Пределы изменения сферических координат: ;;.

.

Пример. Вычислить , гдеV– шар радиусаR.

Перейдем к сферическим координатам: =

В общем виде: если надо перейти от переменных x, y, zк переменнымu,v,w, и, , где

–якобиан. Для цилиндрических координат: ,,.

.

Для сферических координат: ,,

.

Для случая двух переменных ;имеем:

, где

- якобиан преобразования координат.

Для полярных координат: ,,.