Раздел VII. Кратные интегралы и теория поля

Глава 16. Двойной интеграл

16.1. Понятие двойного интеграла.

Рассмотрим в плоскости замкнутую область, ограниченную линией. Пусть в областизадана непрерывная функция. Разобьем областьначастей:называемых площадками. Черезобозначим и площади площадок. В каждой из площадок возьмем точку:. Обозначим череззначения функции в выбранных точках и составим сумму произведении вида(1). Эта сумма называется интегральной суммой для функциив области. Если, то– объем цилиндра, построенного накак на основании с высотой.

Рассмотрим произвольную последовательность интегральных сумм, составленных с помощью для данной области:(2) при различных способах разбиения областина части. Считаем, чтопри. При этом справедлива теорема 1:

Теорема 1.Еслинепрерывна в замкнутой области, то существует предел последовательности (2) интегральных сумм (1), еслидиаметр площадок, (), который не зависит ни от способов разбиения области, ни от выбора точек.

Этот предел называется двойным интегралом от функции по областии обозначается так:или, т.е.,– область интегрирования.

Если , то– объему тела, ограниченного поверхностью, плоскостьюи цилиндрической поверхностью, образующие которой параллельны, а направляющей служит граница области.

Теорема 2.Двойной интеграл от суммы двух функцийпо областиравен сумме двойных интегралов по областиот каждой из функций в отдельности.

Теорема 3.Постоянный множитель можно вынести за знак двойного интеграла: ().

Доказательство,аналогично доказательству для определения интеграла.

Теорема 4.Если областьразбита на две областиибез общих внутренних точек и функциянепрерывна во всех точках области, то.

Доказательство.Интегральную сумму по областиможно представить в виде:, где первая сумма содержит слагаемые, соответствующие площадкам области, вторая – соответствующие площадкам области. Это возможно, т.к. двойной интеграл не зависит от способа разбиения и общая границаиявляется границей площадок.

Теорема справедлива для любого числа слагаемых.

Теорема 5.(теорема о среднем)., Точка,- площадь области.

Теорема 6.Есливо всех точках областиудовлетворяет неравенствам, то*, где– площадь области.

16.2. Вычисление двойного интеграла.

Пусть область такова, что всякая прямая, параллельна, одной из координатных осей, например, оси, и проходящая через внутреннюю точку области, пересекает границу области в двух точках. Предположим, что область ограничена линиями:,,,, причеми функцииинепрерывны на отрезке,. Такая область называется правильной в направлении оси. Аналогично, определяется область, правильная в направлении оси. Область, правильную как в направлении оси, так и оси, называют правильной.

Пусть непрерывна в области. Рассмотрим, который будем называть двукратным интегралом отпо области. В этом выражении сначала вычисляется определенный интеграл, стоящий в скобках, при этом считаем, что, получаем функцию:, далее вычисляем определенный интеграл, который равен постоянному числу.

Пусть область такова, что одна из функцийне может быть задана одним аналитическим выражением на всем участке, т.е. если, тона отрезкеина отрезке, тогда.

Теорема.Двойной интеграл от непрерывной функциипо правильной областиравен двукратному интегралу от этой функции по области:. (1)

Замечание 1.

Пусть правильная в направлении оси областьограниченная линиями,,,,,. Очевидно,(2). Для вычисления двойного интеграла его надо представить в виде двукратного. В каждом конкретном случаи надо выбрать формулу (1) или (2) в зависимости от вида области и подынтегральной функции.

Пример 1.Изменить порядок интегрирования в интеграле:. Очевидно, что,,.

.

Пример 2. Вычислить, где- треугольник, ограниченный прямыми.

.

Замечание 2.Если областьне является правильной ни в направлении оси, ни в направлении, то необходимо разбить областьнаконечное число правильных областей и затем найти интегралы по каждой области и сложить результаты.

16.3. Вычисление площадей и объемов с помощью двойного интеграла.

Объем.Как отмечалось выше, объем цилиндроида, т.е. тела, ограниченного поверхностью, плоскостьюи цилиндрической поверхностью, направляющей для которой служит граница области, а образующие параллельные оси, равен.

Пример.Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями

Очевидно, что .

Замечание 1.Если тело, объем которого ищется, ограничено сверху поверхностью, а снизу – поверхностью, причем проекцией обеих поверхностей на плоскостьявляется область, то объем этого тела равен разности объемов двух цилиндроидов:. Формула верна для любых непрерывных функцийи, для которых.

Площадь плоской фигуры.

Если составить интегральную сумму для функции по области, то эта сумма равна площади. Переходя к пределу, получим:. Если область – правильная, то имеем- формула, рассмотренная ранее.

Пример 2.Вычислить площадь, ограниченную линиями. Координаты точек пересечения:,.

16.4. Двойной интеграл в полярных координатах.

Пусть в полярной системе координат задана такая область, что каждый луч, проходящий через внутреннюю точку области, пересекает границу области не более чем в двух точках.ограничена кривыми,и лучамии,,. Такую область называютправильной.

Пусть в области задана непрерывная функция. Разобьемна площадкии составим интегральную сумму, точка.

Из теоремы существования двойных интегралов следует, что при существует пределинтегральной суммы:. Т.к. предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения, то разобьемс помощью лучейи концентрических окружностей:функции,– наибольшее значение.

Обозначим через площадку, ограниченную линиями.

Если площадка пересекается границей или не лежит в, то их не учитываеми. Интегральная сумма, где– произвольная точка площадки. Найдем площадь. Она равна разности площадей двух секторов: ощадь 000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000или, где. Тогда интегральная сумма:,– точка площадки.

Предположим, что , тогда. Теперь пусть– формула для вычисления двойного интеграла в полярных координатах.

Если область является правильной в полярных координатах, то().

Пример.Вычислить объем тела, ограниченного сферойи цилиндром.

Область интегрирования – основание цилиндра - круг с центром в точкеи радиусом. Вычислим- ту его часть, которая расположена в 1 октанте:.

В полярных координатах: ,, то уравнение окружности:или. Тогда:

.