кр_№2()
.pdfВариант 80
1. Найти область определения функции y |
sin 2x |
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||||||
|
x2 |
4 |
|||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Найти производные: а) |
|
2 1 |
|
|
2 1 |
|
; |
б) y x3 arcsin |
|
; |
|||||||||||
y sin |
cos |
|
x |
||||||||||||||||||
|
x |
|
x |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
x et e t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) y log |
|
|
|
|
; г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 sin 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
y e2t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Используя логарифмическую производную, найти производные |
||||||||||||||||||||
функции: а) y log sin x x ; б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
x 1 |
|
6 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
y 4 |
|
x7 x 4 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x 2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Найти производную неявной функции y xy sin xy . |
|
|
|
|||||||||||||||||
5. |
Найти пределы: а) lim |
ln x |
|
; б) lim cos x ctg2 x ; в) |
lim |
x2 3x 3x5 |
. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
x 1 |
x 1 3 |
x 0 |
|
|
|
x |
|
|
x10 x9 |
|
|
|
||||||||
6. |
Исследовать функцию и построить график: а) |
|
|
3 |
|
; б) |
|
x3 |
. |
||||||||||||
y 3 |
x |
x 1 |
y |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
7. При каждом a найти наименьшее |
значение функции |
||||||
x 2;3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
1 |
, x 0, |
|
|
8. Найти производную функции |
x |
|
sin |
|
в точках |
x 2 |
|
|
x |
||||||
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
0, |
|
|
|
|
1 |
|
a2 |
, |
|
y |
|
|
|
|
x |
6 x |
|
и x 0 .
9.При каких p касательная, проведенная к графику функции y x3 px в точке графика с абсциссой x0 1, проходит через точку M 2;3 ?
10.Найти промежутки возрастания и убывания функции y sin2 x sin x на
отрезке |
|
|
; |
5 |
. |
|
2 |
|
|
||
|
|
|
6 |
11. Найти неопределенные интегралы:
|
|
11x3 |
6x2 10x 11 |
|
|
|
4 x2 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx ; б) |
|
|
|
|
dx ; в) arctg |
4x 1dx . |
||||||||
|
x |
3 |
2x |
2 |
x |
|
x |
6 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
12. Вычислить определенный интеграл: |
|
x |
|
|
|
x |
dx . |
||||||||||||||||
cos |
cos |
||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
2 |
|
3 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13.Вычислить площадь, ограниченную линиями: y x2 , y 3x 2 .
14.Вычислить: а) объем тела, полученного вращением фигуры F вокруг указанной оси; б) длину дуги кривой:
а) x 4 t sin t , |
y 4 1 cost , |
0 t |
2 |
, oy ; б) |
6 1 sin , |
|
|
0 . |
|
3 |
2 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
15. Найти общее решение дифференциального уравнения: xy x 1 y 3x2e x .
Вариант 81
1. |
Найти область определения функции y |
|
|
|
|
|
|
|
|
log x 8 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
32 x 2 3x 3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Найти |
|
|
производные: |
|
|
а) |
|
|
|
|
y |
1 |
|
2x log 2 ; |
б) |
|
|
y |
|
|
|
; |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ; г) x |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
cos |
3 |
x |
x |
2 |
|
ctgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
t |
2 |
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y t |
3t |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
3. |
Используя |
логарифмическую |
|
производную, |
|
найти |
производные |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функции: а) |
|
|
|
|
|
|
arctgx ; б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
y |
1 x x2 |
|
|
y |
|
|
|
x 3 |
|
x 1 |
4 x 3 5 |
x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
4. |
Найти производную неявной функции |
y 3x 1 y2 x y 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2x2 |
ln cos x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
x3 3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
5. |
Найти пределы: а) |
lim 1 2x x |
; б) |
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; в) lim |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
sin |
x |
|
|
5 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 |
x2 8x |
|
|
|
|||||
6. |
Исследовать функцию и построить график: а) |
y 3 |
|
|
|
; б) |
|
|
x3 |
. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 x3 |
y |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 4 |
|
|
|
|||||
7. |
Определить размеры открытого бассейна с квадратным дном объемом |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
V , чтобы на облицовку его стен и дна пошло наименьшее количество |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
материала. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 cos x |
, x 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
8. |
Найти производную функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в точках x 1 и x 0 . |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9.Найти наибольшее и наименьшее значения функции y 0, 25x4 2x2 1 на промежутке 1;3 .
10.Найти точку пересечения касательных, проведенных к графику
функции y x2 7 4x через точки графика с абсциссами 3 и -3. 11. Найти неопределенные интегралы:
|
2x3 5x2 7x |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
||||
а) |
dx ; б) |
|
|
|
; в) arctg |
2x 1dx . |
||||||||
x |
3 |
6x |
2 |
10x |
|
|
|
|||||||
|
|
|
||||||||||||
x2 4 3 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
12. Вычислить определенный интеграл: |
sin 3x cos 5xdx . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
13.Вычислить площадь, ограниченную линиями: y x2 , y 2x 3 .
14.Вычислить: а) объем тела, полученного вращением фигуры F вокруг указанной оси; б) длину дуги кривой:
а) x 3 2cos t cos 2t , |
y 3 2sin t sin 2t , |
0 t |
, ox ; б) |
2sin , |
0 |
. |
|
|
|
2 |
|
|
6 |
15. Найти общее решение дифференциального уравнения: 2ey x y 1 .
Вариант 82
1. |
Найти область определения функции |
|
y |
|
lg |
x2 3x 4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
|
|
Найти |
|
производные: |
а) |
y |
|
|
x |
|
|
22 x x3 sin x ; |
б) y |
|
|
|
|
2 x |
; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctgx |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
2 |
100 |
|
x ctg 2t 3 , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
в) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
1 x |
|
|
x |
; г) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
y sin3 t2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
|
Используя логарифмическую производную, найдите производные |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
функции: а) |
y arcsin x2 cos x ; б) |
y |
|
3 x 10 5 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 1 7 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4. |
Найти производную неявной функции x2 y 2 tgxy x3 |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
5. |
|
Найти |
наибольшее и наименьшее |
|
|
|
|
значение функции: |
y |
x |
|
, |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 4 |
|
|
x 4;0 .
6. |
Исследовать функцию и построить график: а) |
y |
|
|
x2 1 |
|
; б) y x 3 2 x . |
|||||||||
x2 x 1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
7. |
Найти пределы функции: а) |
lim |
x2 3x 4 |
; б) |
lim |
tgx sin x |
; в) |
|
x 3 |
x . |
||||||
|
|
x 2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
lim |
|
|
|||
|
|
x 0 |
x 0 |
sin |
|
2x |
|
x |
2x 5 |
|
8.В данный круговой сектор радиуса R , вписать прямоугольник большей площади (угол сектора равен ).
9.Найти дифференциал второго порядка для функции y 1 x2 arcsin x .
10. Написать уравнение касательной и нормали в точке M0 2; 2 к кривой
x |
1 t |
; y |
3 |
|
1 |
; t 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
t3 |
|
|
|
|
2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
11. Найти неопределенные интегралы: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
8x3 9x 16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||
а) |
|
|
|
dx ; б) |
x |
3 |
1 x |
2 |
dx ; в) |
arctg |
dx . |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|||||||||||||
|
|
|
x x 1 |
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. Вычислить определенный интеграл: 2 |
2 cos2 |
4x 1 dx . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
13.Вычислить площадь, ограниченную линиями: x y2 , x 3y 2 .
14.Вычислить: а) объем тела, полученного вращением фигуры F вокруг указанной оси; б) длину дуги кривой:
|
|
|
|
|
sin t 2t cos t , |
|
|
|
|
|
cos t 2t sin t , |
0 t 3 |
|
а) |
x |
|
t2 2 |
|
y |
|
2 |
t2 |
|
, ox ; б) |
5 , |
0 .
6
15. Найти общее решение дифференциального уравнения: y ytgx sin x .
Вариант 83
1. |
Найти область определения функции y log x 21 |
|
27x |
. |
|
||||||||||||
|
x |
7 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
3 |
|
|
3 |
|
|
2. |
Найти производные: а) y |
|
3 |
|
4 |
|
; б) |
y arcsin xx ex cos x ; |
в) |
||||||||
x |
x |
x |
|||||||||||||||
x t2 3t, |
г) y |
sin x cos x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
sin x cos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
y cos t t; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Используя логарифмическую производную, найти производные
|
|
|
|
|
y 5 |
|
sin x . |
|
|
|
|
|
|
|
|||
функции: а) y 3 x 3 |
|
5 x2 1 ; б) |
||||||
x 1 |
x 2x3 |
4.Найти производную неявной функции 3xy2 sin x y 0 .
5.Найти наибольшее и наименьшее значение функции: y sin 2x x на отрезке 0; .
6. |
Исследовать функцию и построить график: а) |
y x 1 x2 ; б) y |
|
|
ln x . |
|||||||||||||||||
|
x |
|||||||||||||||||||||
|
|
x 1 |
2 x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
7. |
Найти пределы функций: а) |
; б) |
|
|
ln tgx ; в) |
|
|
x3 |
3x 5 . |
|||||||||||||
|
|
lim |
|
|
|
lim |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x 2 |
|
|
x |
|
x |
|
x |
3 |
2x |
6 |
5x |
5 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8.Представить число a в виде суммы двух положительных чисел так, чтобы их произведение было наибольшим.
9.Найти уравнение касательной и нормали в точке M 2; y0 к графику
функции y x3 2x2 4x 3.
10.Найти асимптоты графика функции y 3x x 1 2 .
11.Найти неопределенные интегралы:
а) |
|
13x3 8x2 1 |
|
dx ; б) |
|
|
x2 4 |
dx ; в) x ln 3 x dx . |
|||||
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||
|
|
x x 1 |
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
12. Вычислить определенный интеграл: |
|
x |
dx . |
||||||||||
sin4 |
|||||||||||||
2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13.Вычислить площадь, ограниченную линиями: x 9 y2 , x 8y .
14.Вычислить: а) объем тела, полученного вращением фигуры F вокруг указанной оси; б) длину дуги кривой:
а) x 2cost , |
y 6sin t , 0 t |
, oy ; б) |
sin , |
0 |
3 |
. |
|
|
|
4 |
|
|
|||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
|
||
15. Найти общее решение дифференциального уравнения: y |
y |
. |
|||||||
|
|||||||||
3x y2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 84
1. Найти область определения функции y |
|
x x 1 5 |
. |
|
|
||
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
log |
|
x 3x2 |
|
||
|
2. Найти производные: а) |
2 |
arctgx ; б) |
xy ln xy 0 ; в) y |
|
; |
|||||||||
|
y x |
|
3 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г) |
|
2 |
t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
t2 t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
y sin |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Используя логарифмическую производную, найти производные
функции: а) |
y |
|
|
2x |
|
x ; б) |
y |
x 3 5 |
x 8 6 . |
|
|
arcsin 1 |
|
|
|
x x 7 8 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Найти производную неявной функции y2 sin xy 3x2 y5 |
0 |
||||||||||||
5. |
Найти пределы: а) |
|
|
3 |
|
|
1 ; б) |
x 1 |
2 x 3 ; в) |
lim |
||||
|
|
|
|
lim |
1 x |
3 |
|
|
lim |
|
|
|||
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
x 1 |
x x 2 |
|
x |
|||
6. |
Исследовать функцию и построить график функции: а) |
|||||||||||||
y |
|
x2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
.
x5 3x2 1 .
4x5 x 3
y x2 1 x ; б)
7.Дан шар радиуса 10. Найти радиус основания и длину образующей вписанного цилиндра, наибольшей площади боковой поверхности.
8.Найти точки графика функции y x3 2x2 , в которых касательная к этой
графику образуя угол 450 с положительным направлением оси OX .
9.Найти асимптоты графика функции y ln x 1 2x .
x2
10. Найти y 0 , если y e2x sin 3x . |
|
|
|
|
|
|||||||||
11. Найти неопределенные интегралы: |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
4x |
3 |
4x |
2 |
x |
|
|
|
dx ; в) ln x |
2 |
3 dx . |
|||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
а) |
|
dx ; б) |
|
|
|
|
|
|||||||
x2 2x 2 x 3 |
|
x4 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. Вычислить определенный интеграл: |
cos2 x sin4 xdx . |
2
13.Вычислить площадь, ограниченную линиями: x y 1 2 , x y 1.
14.Вычислить: а) объем тела, полученного вращением фигуры F вокруг указанной оси; б) длину дуги кривой:
а) x 4cos3 t , |
y 2sin3 t , |
0 t |
, ox ; б) |
2sin 4 , |
0 |
. |
|
|
|
6 |
|
|
4 |
15. Найти общее решение дифференциального уравнения:
1 2xy y y y 1 .
Вариант 85
1. Найти область определения функции y
2. Найти производные: а) y x 2 x ; б) arctgx
x sin t 1 ,
г)
y 1 cos t 1 .
|
|
2x |
|
|
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
log |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
1 |
1 x |
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
y |
|
|
|
1 |
|
|
; в) |
y |
|
1 |
|
; |
||||
|
arccos ln x |
|
|
sin cos |
x |
2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Используя логарифмическую производную, найти производные |
||||||||||||||||
функции: а) |
|
5 |
|
|
x |
3 |
x 1 |
75 |
; б) y |
|
|
|
2x 1 |
ex . |
||
y |
x |
4 |
cos |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Найти производную неявной функции 3y ex sin y 15x2 |
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Найти пределы: а) |
lim |
3 |
1 ax 1 |
; б) |
lim |
|
2 |
x ctg 3 |
; в) |
lim |
3 |
x5 3x2 |
5 . |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
3 |
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
1 |
|
|
|
||||||||||||||
6. |
Исследовать функцию и построить график функции: а) y sin x sin 2x ; б) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Среди всех конусов периметр осевого сечения которых равен 8, найти |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
конус с наибольшим объемом и найти объем. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
8. На графике функции y x3 |
2x 1 найти точки, в которых касательные к |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ней перпендикулярны прямой x y 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
9. |
Найти y 0 , если y 2sin x cos sin x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
10. Найти уравнение касательной и нормали к графику функции |
y |
|
x 4 |
в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|||
точке с абсциссой x0 |
3 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
11. Найти неопределенные интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
3x3 6x2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
а) |
|
|
|
|
dx ; б) |
x3 |
|
|
9 x2 dx ; в) |
|
arcctg |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
7x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x2 6x 10 x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12. Вычислить определенный интеграл: |
|
2 |
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
3 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13.Вычислить площадь, ограниченную линиями: y x2 16 , y x 4 .
14.Вычислить: а) объем тела, полученного вращением фигуры F вокруг указанной оси; б) длину дуги кривой:
а) x 3cost , |
y 8sin t , 0 t |
, oy ; б) |
8 1 cos , |
|
2 |
0 . |
|
||||||
|
|
3 |
|
|
3 |
|
15. Найти общее решение дифференциального уравнения: |
||||||
y 3x2 y x2ex3 |
0 . |
|
|
|
|
|
Вариант 86
1. Найти область определения функции y |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
||||||||||||||||
sin |
x |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2. Найти производные: а) |
y arctg x |
|
|
|
|
|
; б) |
y x xx ; в) y |
1 3x 2 |
; г) |
|||||||||||||||
|
1 x2 |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x et sin t, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y et cos t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. Используя |
логарифмическую |
производную, найти производные |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
log |
|
|
x |
cos x |
|
|
|
x |
1 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
функции: а) |
y |
2 |
x |
e |
|
|
; б) y 5 |
|
|
|
|
4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Найти производную неявной функции x y2 sin x y 0 .
5. Найти пределы функций: а) lim x ln x 1 ln x ; б)
x
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 x |
sin x |
|
|
lim |
|
|
; |
||
|
|
|
|||
x 0 |
|
2 x |
|
|
в) lim |
x3 4x2 |
|
5x 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
1 x3 5x2 7x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 ; б) |
|||||||||||||||
6. |
|
|
Исследовать и |
построить |
график |
функции: |
а) y x2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
y |
|
x2 4 |
|
x 1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
7. |
|
|
|
Найти |
|
наибольшее |
|
и |
|
наименьшее |
|
значение |
|
функции: |
|||||||||||||||
y e2x 1 |
2e1 2x 7x 3 , x 0,14;1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
8. |
Найти расстояние между графиками функций y x2 и y x 1. |
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||
9. |
Найти дифференциал второго порядка для функции y ln x |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1 x2 |
|||||||||||||||||||||||||||||
10. Найти асимптоты функции |
y |
x4 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
11. Найти неопределенные интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
а) |
|
|
|
5x3 2 |
|
dx ; б) |
|
|
dx |
; в) |
sin ln x dx . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
x |
3 |
5x |
2 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4x |
|
x |
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
dx |
|
|
|
|
|
|
12. Вычислить определенный интеграл: |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
5 3cos x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13.Вычислить площадь r 2sin 3 .
14.Вычислить: а) объем тела, полученного вращением фигуры F вокруг указанной оси; б) длину дуги кривой:
а) |
x2 |
|
y2 |
1, ox ; б) |
x |
1 |
y2 |
|
1 |
ln y , от y 1 до y e . |
|
|
4 |
2 |
|||||||
4 |
9 |
|
|
|
|
|
15.Найти общее решение дифференциального уравнения:
x y2 dx 2xydy 0 .
Вариант 87
1. |
Найти область определения функции |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
y |
3 |
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2. |
Найти |
производные: |
|
а) |
|
y e x2 ex ; |
|
|
б) |
|
|
|
|
|
y ln tgx2 |
cos x ln x ; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) y arctg x x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
; г) x sin |
t , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
y cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
t 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Используя |
логарифмическую |
|
производную, |
|
|
найти |
производные |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
функции: а) y arcsin x |
arccos x |
; б) |
y |
|
|
|
|
5 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 7 4 x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
4. |
Найти производную неявной функции ln x y x2 y2 |
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
1 |
|
|
|
|
x2 |
1 |
x . |
|||||||||||||||||||||
5. |
Найти пределы функций: а) |
lim |
|
sin 2x 1 ; б) |
lim |
|
|
|
|
; в) |
lim |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
2 |
3 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
3 tgx 1 |
|
|
|
|
x |
|
|
x |
x |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
Исследовать и построить график функции: а) |
y 16x x 1 3 ; б) y x e x . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
Найти все значения a |
|
при которых функция |
y |
1 |
e |
2 x |
1 |
a e |
x |
ax sin 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
имеет критические точки и найти их.
8.Найти уравнение касательной функции
9.Найти приближенное значение функции
10.Найти асимптоты графика функции y
y x ln x
yex2 x
x4 .
x3 1
в точке x0 e . при x 1, 2 .
11. Найти неопределенные интегралы:
|
|
x3 1 |
|
|
dx |
|
; в) ln x |
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||
а) |
|
|
dx ; б) |
|
|
|
|
1 x |
|
||
4x3 x |
|
|
|
||||||||
|
2 x3 |
5 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
x2 |
3 |
|
|
|
|
1
12. Вычислить определенный интеграл: 4 x2 dx .
0
13.Вычислить площадь y 2x x2 ось абсцисс y 0 .
14.Вычислить: а) объем тела, полученного вращением фигуры F вокруг указанной оси; б) длину дуги кривой:
|
а) y |
2 |
x |
3 |
, x 1 , |
оx вокруг |
оy ; б) |
1 |
|
|
1 |
, от 1 |
до 3 . |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
15. Найти общее решение дифференциального уравнения: |
|||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
y3 |
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2xy x |
|
y |
|
dx x |
|
y |
|
dy 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 88
1. |
Найти область определения функции y |
|
|
1 x |
|
log x2 |
5x 6 . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. |
|
|
Найти |
|
|
производные: |
а) |
|
tgx ctgx |
; |
|
|
б) |
|
y ln |
|
cos2 x |
|
ex 1 |
; |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y tgx ctgx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
в) y 3 |
|
|
|
|
|
; г) x sin t et , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
arcsin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y ln t cos t. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
|
Используя логарифмическую производную, найти производные |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
функции: а) y arctgx sin x ; б) y |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
x 3 x 14 |
x 4 |
x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
4. |
Найти производную неявной функции ln xy exy x y 3 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 1 |
|
|
|||||||||||||||
5. |
|
Найти |
пределы функций: а) |
|
lim |
|
sin 2x 1 ; |
|
б) |
lim |
|
; |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
2 |
x 1 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tgx 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 |
3 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в) lim |
x3 2x2 x 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
x 3x3 5x 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
6. |
Исследовать и построить график функции: а) y 16x x 1 3 ; б) y x e x . |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
Найти все значения a , при которых функция |
|
y |
1 |
e |
2 x |
1 a e |
x |
ax sin 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
имеет критические точки и найти их.
8.Найти уравнение касательной функции
9.Найти асимптоты графика функции y
10.С помощью дифференциала найти
x0 25 .
y x ln x в точке x0 e .
5 |
x |
|
. |
|
x 2 |
|
|
значение функции y 3x при
11. Найти неопределенные интегралы:
а) |
x4 dx |
|
; б) |
|
|
dx |
|
|
; в) |
x cos x |
. |
||||
x |
4 |
1 |
|
|
|
|
sin |
2 |
x |
||||||
|
x |
1 x |
5 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
12. Вычислить определенный интеграл: x x2 dx .
0
13.Вычислить площадь y x x 1 x 2 , ox .
14.Вычислить: а) объем тела, полученного вращением фигуры F вокруг указанной оси; б) длину замкнутой части кривой:
а) y2 x3 , |
x 1 , |
x 1 вокруг оx ; б) |
9y2 x x 3 2 . |
15. Найти общее решение дифференциального уравнения: y 1 xy dx xdy 0 .
Вариант 89
1.Найти область определения функции y log3 x3 1
x2
|
2. Найти производные: а) y |
1 |
arccos x ; б) |
y arctg 4 |
1 |
||||
|
x2 |
x 2 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
г) |
x |
|
|
|
, |
|
|
|
|
t |
2 |
t 2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
y t |
|
3. |
|
|
|
|
|
x2 9 .
;в) y sin4 x2 ;
x3
3. |
Используя логарифмическую производную, найти производные |
||||||
|
|
|
|
|
|
||
функции: а) y sin x cos x ; б) y 5 x x 1 2 x 3 3 . |
|
|
|
||||
4. Найти производную неявной функции |
2x y sin x2 |
y2 3x2 0 . |
|
|
|||
5. |
Найти наибольшее и наименьшее |
значение |
функции y |
2x 2 x |
, |
||
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
ln 2 |
x1; 2 .
6.Сумма длин диагоналей параллелограмма равна 8. Найти минимум суммы квадратов длин всех сторон параллелограмма.
7. Исследовать и построить график функции: а) |
y |
x2 4 |
; б) y sin2 x . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x sin 2x |
|
|
|
|||||||||||||||||
8. Найти пределы функций: а) |
lim |
|
5 x 2 |
; б) |
lim |
; в) |
lim |
2arctgx . |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x sin 5x |
|
3 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
x |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e x 1 |
9. Составить уравнение касательной и нормали в точке |
x0 |
1 к графику |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
функции y ln x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
10. Найти асимптоты графика функции |
y |
|
|
|
|
|
x2 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
11. Найти неопределенные интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
x5 dx |
|
|
|
|
x 1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) |
|
|
|
|
|
|
|
|
; б) 3 |
|
dx ; в) 3 |
|
cos xdx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
3 |
|
x |
2 |
4 |
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
12. Вычислить определенный интеграл: |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
x |
|
|
3x |
2 |
|
|
|
|
|
|
13.Вычислить площадь y3 x , y 1, x 8 .
14.Вычислить: а) объем тела, полученного вращением фигуры F вокруг указанной оси; б) длину замкнутой части кривой:
|
|
а) x 2 t sin t , |
y 2 1 cost , |
оx , 0 t 2 ; б) 1 от точки |
A |
|
2; |
1 |
до |
|||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
точки |
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
B |
|
|
; 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
15. Найти общее решение дифференциального уравнения: |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
y |
dx y3 |
ln x dy 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|