Таким образом, в табл. 2.1 и 2.1 приведены шесть матриц преобразования, ко- торые реализуют принцип шести степеней свободы. Следует отметить, что матрицы угловых смещений в общем случае между собой не коммутируют, однако они ком- мутируют с матрицами линейных смещений. Отвлекаясь от математики, вышеска- занное можно пояснить так: не важно сначала повернуть объект, а затем доставить его в заданную точку или наоборот.

Подробнее эти ситуации будут рассмотрены на примерах расчетов конкретных кинематических структур.

2.3.2. Преобразования систем координат для кинематической структуры манипулятора ПР модели М20П.40.01.

Координаты точки А в собственной системе координат звена 4 из-за отсутствия эксцентриситета в общем виде принимают значения: A4 (0×cosϕ4 ,0×sinϕ4 , L4 ) (рис.

2.4, б). Здесь величина L4 характеризует длину звена 4.

Для вычисления координат этой же точки, но в системе 0 необходимо найти за- коны перехода от системы 4 к системе 3, затем от 3й ко 2й и от 2й к 1й. Переход от системы 1 к системе 0 не требуется, поскольку в пункте 2.1.2. настоящего пособия было отмечено, что одноименные оси и точки начал этих систем совпадают.

Начиная с перехода от 4й к 3й системе, заметим, что одноименные координат- ные вектора сонаправлены (рис. 2.12) и учет угловых смещений не требуется. Одна- ко точки начал систем смещены друг относительно друга. Причем модуль этого смещения не постоянен, а зависит от обобщенной координаты s3, поскольку жестко связанная со звеном 3 система координат 4 поступательно перемещается при нали- чии движения в кинематической паре 3. Следует учесть, что при назначении собст- венных систем координат ось z3 была направлена вдоль поступательного движения, поэтому смещение точки начала системы 4 (точки В) на величину s3 происходит

вдоль оси z. Это находит свое отражение в координатах точки B (0;0; s3 ) и описы- вается матрицей:

При переходе от 3й ко 2й системе координат (рис. 2.13, а), заметим, что посту- пательное движение в паре 2 никоим образом не влияет на взаимную ориентацию

32

осей указанных систем. Кроме этого, учтем, что из трех пар одноименные коорди- натных векторов сонаправлены только х2 и х3, остальные же имеют угловое смеще- ние, а также не совпадают точки начал систем координат, что говорит о наличии линейных смещений. Поскольку матрицы перехода учитывают лишь одно из сме- щений, то введем в рассмотрение вспомогательную систему координат х'y'z', начи- нающуюся в точке С. Данная система получается из системы х2y2z2 путем переноса точки начала вдоль оси Oz на расстояние L2 (длина звена 2). Таким образом, пере- ход от 3й ко 2й системе координат будет происходить не напрямую, а через вспомо-

Итак, переход от 3й системы к х'y'z' происходит путем учета углового смещения первой относительно оси Oх второй системы на –90° (рис. 2.13, б). Математически это учитывается использованием матрицы поворота с аргументом α = −90o :

Переход от х'y'z' к системе 2 происходит путем учета линейного смещения пер- вой относительно оси Oz второй системы на L2. Для учета линейных смещений дос- таточной найти координаты точки начала системы 3 (точки С) относительно систе-

мы координат 2 C (0;0; L2 ) и использовать следующую матрицу преобразования координат:

Таким образом, для преобразования координат 3й системы в координаты 2й системы координат необходимо провести два действия, и матрица перехода в этом случае имеет вид:

33

Необходимо отметить, что в данном случае возможен и другой переход: сперва линейно перенести точку начала системы 3 в точку D, а затем повернуть на угол –90° (рис. 2.13, в). При таком порядке перехода изменится и последовательность матриц преобразования, однако результирующая матрица не изменится, поскольку, как упоминалось в п. 2.3.1., участвующие в этом переходе матрицы коммутируют

Этот пример показывает, что в некоторых случаях порядок преобразования систем координат может быть различным, однако и с точки зрения выполняемых действий, и с точки зрения математических операций результат будет одним и тем же.

Теперь перейдем к дальнейшим преобразованиям. Ротация в первой кинемати- ческой паре на угол ϕ1 приводит к угловому смещению первого и всех последую- щих звеньев манипулятора относительно стойки. Система координат 2 жестко свя- зана со звеном 1, следовательно, и она будет иметь некоторое угловое смещение относительно оси z1 системы координат 1 (рис. 2.14, а). Кроме этого, в общем слу- чае системы 1 и 2 имеют линейное смещение, обусловленное наличием обобщенной координаты s2, характеризующей перемещение во второй поступательной кинема- тической паре. Таким образом, при переходе от 2й к 1й системе координат необхо-

Рис. 2.14. Переход от системы 2 к системе 1.

В этом случае, как и при переходе от 3й ко 2й системе через вспомогательную х'y'z' возможны 2 варианта. Далее будет более подробно рассмотрен один из них (рис. 2.14, б), второй же получается изменением порядка преобразований (рис. 2.14,

в).

34

Итак, переход от 2й системы к х'y'z' происходит путем учета углового смещения первой относительно оси Oz второй системы на ϕ1. Математически это учитывается использованием матрицы поворота с аргументом α = ϕ1 :

Переход от х'y'z' к системе 1 происходит путем учета линейного смещения пер- вой относительно оси Oz второй системы на s2. Для учета линейных смещений дос- таточной найти координаты точки начала системы 3 (точки D) относительно систе-

мы координат 2 D(0;0; s2 ) и использовать следующую матрицу преобразования координат:

Таким образом, для преобразования координат 2й системы в координаты 1й системы координат необходимо провести два действия, и матрица перехода в этом случае имеет вид:

Еще раз отметим, что на основании совпадения точек начал систем координат и сонаправленности одноименных осей переход от системы 1 к системе 0 излишен2.

Таким образом, для нахождения координат точки А (точки схвата) найдены все промежуточные матрицы перехода и для получения окончательного решения необ- ходимо только правильно их расположить. Эта задача аналогична учету вспомога- тельной системы, поэтому матрица перехода от системы 4 к системе 0 получается в результате перемножения всех промежуточных матриц преобразования:

2 Строго говоря, в этом случае матрица перехода будет единичной, что никак не скажется на преобразованиях.

35