1.3. Кинематические цепи.

Матрицу можно обозначать таблицей, как это сделано в (1.3), однако допуска- ется обозначение одной буквой, например матрица А.

Прямоугольная матрица, состоящая из одного столбца, называется столбцевой:

æ x1 ö

çç x2 ÷÷ . ç M ÷

çè xn ÷ø

Прямоугольная матрица, состоящая из одной строки, называется строчной:

(x1 , x2 ,L, xn ) .

К основным операциям над матрицами относятся: сложение матриц, умноже- ние матрицы на число и умножение матриц.

Суммой двух прямоугольных матриц A и В одинаковых размеров m ´ n называ-

ется матрица С тех же размеров, элементы которой равны суммам соответствующих элементов данных матриц:

C = A + B ,

если

cik = aik + bik (i = 1, 2,..., m; k =1, 2,..., n) .

Операция нахождения суммы данных матриц называется сложением матриц. Свойства операции:

–переместительное: A + B = B + A ;

–сочетательное: ( A + B) + C = A + (B + C) .

Произведением матрицы А на число α называется матрица С, элементы кото-

рой получаются из соответствующих элементов матрицы А умножением на число α:

C = α A ,

если

cik = αaik (i = 1, 2,..., m; k =1, 2,..., n) .

Операция нахождения произведения матрицы на число называется умножени-

ем матрицы на число.

Таким образом, разность A − B двух прямоугольных матриц одинаковых раз-

меров определяется равенством

A - B = A + (-1) × B .

Произведением двух прямоугольных матриц

называется матрица

у которой элемент cij , стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца, равен «произведению» i-й строки первой матрицы А на j-й столбец второй матрицы В:

Операция нахождения произведения данных матриц называется умножением матриц.

Пример:

Необходимо помнить, что операция умножения двух матриц выполнима лишь в том случае, когда число столбцов в первом сомножителе равно числу строк во втором. В частности умножение всегда выполнимо, если оба сомножителя квад- ратные матрицы одного и того же порядка. Следует отметить, что даже в этом част- ном случае умножение матриц не обладает переместительным свойством, т.е. A× B ¹ B × A . Так, например

мутирующими между собой.

Умножение матриц обладает сочетательным свойством умножения и распреде- лительным свойством умножения относительно сложения:

( AB)C = A(BC) , ( A + B)C = AC + BC , A(B + C) = AB + AC .

Кроме этого, следует отметить еще одну важную операцию – транспонирова-

матрица А имеет размеры m ´ n, то матрица А’ имеет размеры n ´ m. Другими сло- вами, операция транспонирования заменяет строки исходной матрицы столбцами. Обозначается операция при помощи символа «Т», проставленного как степень:

A¢ = AT .

Пример:

12