Matan_1_semestr_Lektsii

70 Оглавление

(b1 ¡ a1)=2. Хотя бы один из них содержит бесконечно много членов последовательности (xn). Возьмём тот из отрезков, который содержит бесконечно много членов последовательности (если оба отрезка обладают этим свойством, то можно взять любой из них, например, левый) и обозначим его [a2; b2]. Таким образом, отрезок [a2; b2] содержит бесконечно много членов последовательности (xn) и его длина равна (b1 ¡ a1)=2.

Отрезок [a2; b2] снова разделим пополам, из получившихся двух отрезков возьмём тот, который содержит бесконечно много членов последовательности, и обозначим его [a3; b3]. Таким образом, отрезок [a3; b3]

содержит бесконечно много членов последовательности (xn) и его длина равна (b1 ¡ a1)=4.

Ясно, что описанный процесс можно продолжить бесконечно. Если получен отрезок [ak¡1; bk¡1] длины (b1 ¡ a1)=2k¡2, содержащий бесконечно много членов последовательности, то делим его пополам, из получившихся двух отрезков берём тот, который содержит бесконечно много членов последовательности, и обозначаем его [ak; bk]. Таким образом, отрезок [ak; bk] содержит бесконечно много членов последовательности (xn)

и его длина равна (b1 ¡ a1)=2k¡1. И так далее.

Так как последовательность сегментов ([ak; bk]) стягивающаяся, то она по теореме Кантора имеет единственную общую точку c. Покажем, что c является предельной точкой последовательности.

Выберем любой член последовательности xn1 в сегменте [a1; b1]. Выберем элемент xn2 в сегменте [a2; b2] так, чтобы номер n2 был больше номера n1. Это можно сделать, потому что сегмент [a2; b2] содержит бесконечно много членов последовательности, следовательно, среди них обязательно найдётся член последовательности с номером, б´ольшим, чем n1. По этой же причине в сегменте [a3; b3] найдётся член последовательности с номером n3 > n2. Продолжая этот процесс, на k-м шаге в сегменте [ak; bk]

выберем член последовательности с номером nk > nk¡1 и так далее.

В результате из последовательности (xn) выделена подпоследовательность (xnk ). Так как c 2 [ak; bk] и xnk 2 [ak; bk], то jxnk ¡ cj · bk ¡ ak. Но

Для завершения доказательства остаётся применить теорему 2.20. Следующее утверждение можно рассматривать как дополнение к тео-

реме Больцано-Вейерштрасса.

Лемма 2.2 У неограниченной сверху (снизу) последовательности существует подпоследовательность, сходящуюся к +1 (¡1).

Доказательство. Оба утверждения доказываются аналогично. Докажем первое из них, второе рекомендуем читателям провести самостоятельно. Но сначала отметим, что если последовательность неограничена сверху, то после отбрасывания любого конечного числа её первых членов всё равно получится неограниченная последовательность.1

Итак, последовательность (xn) неограничена сверху. Это означает, что какое бы большое M мы ни взяли, неравенство xn · M не может выполняться для всех номеров n 2 N. Поэтому найдётся член последовательности xn1 > 1. Среди членов последовательности с номерами, б´ольшими n1, найдётся xn2 > 2, среди членов последовательности с номерами, б´ольшими n2 найдётся xn3 > 3 и так далее. Продолжив описанный процесс неограничено, получим подпоследовательность (xnk ) последовательности (xn), обладающую свойством: xnk > k (k = 1; 2; : : :). Очевидно, это искомая подпоследовательность.

Доказанная лемма позволяет расширить понятие предельной точки последовательности. Если последовательность неограничена сверху, то к числу её предельных точек будем относить +1, если последовательность неограничена снизу, то к числу её предельных точек будем относить ¡1, а если последовательность неограничена и сверху и снизу, то к числу её предельных точек будем относить либо 1, либо +1 и ¡1 в зависимости от обстоятельств.

1Если бы "остаток" последовательности был ограничен сверху постоянной M, то, поскольку среди конечного числа отброшенных первых членов найдётся наибольший xn0 , то вся последовательность была бы ограничена сверху б´ольшим из чисел M и xn0 .

А вместе с расширением понятия предельной точки, объединив доказанную лемму с теоремой Больцано-Вейерштрасса, получаем следующее утверждение.

Теорема 2.23 Любая числовая последовательность имеет в R или R_

хотя бы одну предельную точку.

Доказательство. Если последовательность неограничена, то предельной точкой является или 1, или +1, или ¡1. Если же последовательность ограничена, то она имеет предельную точку по теореме БольцаноВейерштрасса.

Введём широко используемые в анализе понятия верхнего и нижнего пределов последовательности.

Определение 2.13 Верхним пределом последовательности (xn) назовём наибольшую из всех её предельных точек, а нижним пределом наименьшую из её предельных точек. Верхний и нижний пределы последовательности (xn) обозначают соответственно lim xn и lim xn.

Если последовательность неограничена сверху, то согласно лемме 2.2 lim xn = +1, если снизу, то по этой же лемме lim xn = ¡1. Существование верхнего и нижнего пределов у ограниченной последовательности не очевидно, ранее на примерах мы видели, что ограниченное множество не всегда содержит наибольший и (или) наименьший элементы.

Теорема 2.24 Любая ограниченная последовательность имеет нижний и верхний пределы.

Доказательство. Если последовательность (xn) ограничена, то и множество A = fag её предельных точек тоже ограничено и, в силу теоремы Больцано-Вейерштрасса, не пусто. Тогда оно по теореме о существовании точных граней у не пустого ограниченного множества (теорема 1.1) имеет точную верхнюю грань a = sup A и точную нижнюю грань a = inf A. Докажем, что a 2 A. (Утверждение a 2 A доказывается аналогично.)

Зафиксируем " > 0. По свойствам 1 и 2 точной верхней грани (лемма 1.3) найдётся a 2 A, удовлетворяющая неравенствам a¹ ¡ " < a · a¹. Так как a > a¹ ¡", то ± = a ¡(¹a ¡") > 0. Поскольку a предельная точка, то

U±(a) содержит бесконечно много членов последовательности (xn). Но

U±(a) ½ U"(¹a), ибо из определения числа ± следует, что a ¡ ± = a¹ ¡ ", a + ± = a + a ¡ (¹a ¡ ") = 2a ¡ a¹ + " · 2¹a ¡ a¹ + " = a¹ + ". Из доказанного вложения следует, что если U±(a) содержит бесконечно много членов последовательности, то и U"(¹a) содержит бесконечно много членов последовательности, то есть, a¹ предельная точка последовательности (xn).

Итак, доказано, что множество A предельных точек последовательности содержит наибольший элемент, то есть, существование верхнего предела последовательности.

Замечание 2.8 Может показаться, что для доказательства существования конечного верхнего предела достаточно требовать только ограниченности последовательности (xn) сверху. Однако это не так, потому что если последовательность ограничена только сверху, то у неё может не быть конечных предельных точек. Примером может служить последовательность (¡1; ¡2; ¡3; : : : ; ¡n; : : :), имеющая одну предельную точку ¡1. В этом случае в соответствии с определением 2.13 мы должны считать, что lim xn = ¡1, так что и в этом случае верхний предел существует.

Аналогичная ситуация имеет место и для нижнего предела.

Изучим некоторые свойства верхнего и нижнего пределов последовательности.

Теорема 2.25 Пусть последовательность (xn) ограничена. Тогда справедливы следующие утверждения.

1.Если a¹ её верхний предел, то для любого " > 0:

a)найдётся номер n0 такой, что для любого n ¸ n0 выполняется неравенство xn < a¹ + ";

еся члены подпоследовательности заново. Тогда все члены подпоследовательности (xnk ) будут удовлетворять условию xnk > a¹ ¡ ".

Замечание 2.9 Если последовательность ограничена сверху, но снизу не ограничена , то она может иметь конечный верхний предел, как,

торой верхний предел равен 1, но может и не иметь (см. замечание 2.8).

Теорема 2.26 Для любой последовательности (xn) справедливы равенства:

Доказательство. Оба равенства доказываются одинаково, поэтому до-

Рассмотрим три случая.

1) a = +1. В этом случае последовательность (xn) не ограничена сверху и останется неограниченной после отбрасывания любого конечного числа первых членов (см.замечание, сделанное при доказательстве

2) a = ¡1. В этом случае для любого положительного числа " найдётся номер n0 такой, что xn < ¡" при n ¸ n0.1 Но тогда при n ¸ n0

Так как " можно взять сколь угодно большим, то b = ¡1.

3) a =6 §1. Выберем произвольно " > 0. Тогда по первому свойству верхнего предела существует номер n0 такой, что при n ¸ n0 будет выполняться неравенство xn < a + ". Отсюда следует, что supfxmg · a + "

1В противном случае рассуждения, аналогичные использованным в доказатель-

стве теоремы 2.25, приведут к существованию предельной точки, отличной от ¡1.

По второму свойству верхнего предела найдётся подпоследовательность (xnk ) последовательности (xn), все элементы которой удовлетворяют неравенству xnk > a ¡ ". Так как для любого n 2 N найдётся nk ¸ n, то supfxmg ¸ xnk > a ¡ " для любого n 2 N. Поэтому и

½m¸n ¾

¸

Итак, a ¡ " · b · a + ". Так как " может быть взято сколь угодно малым, то a = b.

Следующую теорему называют критерием сходимости числовой по-

следовательности в терминах верхнего и нижнего пределов или первым критерием сходимости числовой последовательности.

Теорема 2.27 Ограниченная числовая последовательность сходится в том и только том случае, когда её нижний предел равен верхнему, то есть,

Доказательство. Эта теорема является следствием теоремы 2.21, определения 2.13 верхнего и нижнего пределов и теоремы 2.24 о их существовании.

Если последовательность (xn) сходится, то a = lim xn её един-

n!1

ственная предельная точка, следовательно, lim xn = lim xn = a.

Если lim xn = lim xn = a, то a единственная предельная точка последовательности (xn), следовательно, все её подпоследовательности, в том числе и она сама, сходятся к a.

Роль, которую играет в анализе вводимое ниже понятие фундаментальной последовательности и всё, с ним связанное, трудно переоценить.

Определение 2.14 Числовую последовательность (xn) назовём фундаментальной, если она удовлетворяет следующему условию, называемому условием Коши: для любого " > 0 найдётся номер n0 такой, что для любых m; n ¸ n0 выполняется неравенство

Условие Коши часто формулируют следующим образом: для любого

" > 0 найдётся номер n0 такой, что для любых n ¸ n0 и p 2 N выполняется неравенство

В эквивалентности обеих формулировок убедиться несложно.

Изучим простейшие, но часто используемые свойства фундаментальных последовательностей.

Лемма 2.3 Фундаментальная последовательность ограничена.

Доказательство. Если последовательность (xn) фундаментальна, то она удовлетворяет условию Коши. Положим " = 1. Тогда найдётся номер n0 такой, что при m; n ¸ n0 будет выполняться неравенство jxm ¡xnj < 1. Зафиксируем номер m ¸ n0 и воспользуемся известным неравенством

откуда следует, что jxnj < jxmj + 1 для любого n ¸ n0. Положим

M = maxfjx1j; jx2j; : : : ; jxn0¡1j; jxmj + 1g:

Непосредственной проверкой убедимся, что для любого n 2 N выполняется условие jxnj · M. В самом деле, если n < n0, то jxnj один из элементов множества, максимальным элементом которого является M, следовательно, jxnj · M. Если же n ¸ n0, то jxnj < jxmj + 1 · M.

Лемма 2.4 Если фундаментальная последовательность имеет сходящуюся подпоследовательность, то она сходится.

Доказательство. Зафиксируем " > 0. Так как последовательность (xn)

фундаментальна, то найдётся номер n0 такой, что при m; n ¸ n0 выполняется условие jxm ¡ xnj < 2". Пусть (xnk ) сходящаяся подпоследовательность последовательности (xn) и её предел равен a. Тогда найдётся

номер k0 такой, что при k ¸ k0 выполняется неравенство jxnk ¡ aj < 2". Выберем номер nk так, чтобы он удовлетворял двум условиям: k ¸ k0 и nk ¸ n0. Тогда для любого n ¸ n0 имеем:

" "

jxn ¡ aj = j(xn ¡ xnk ) + (xnk ¡ a)j · jxn ¡ xnk j + jxnk ¡ aj < 2 + 2 = " ;

а это означает, что последовательность (xn) сходится к a.

Следующая теорема играет в анализе такую же фундаментальную роль, как теорема о существовании точных граней, теорема о пределе монотонной последовательности, теорема о последовательности стягивающихся сегментов, теорема о существовании предельных точек.

Теорема 2.28 (Критерий Коши) Последовательность сходится тогда и только тогда, когда она фундаментальна.

Доказательство. Необходимость. Пусть последовательность (xn) сходится к числу a. Возьмём любое " > 0 и найдём по "=2 номер n0 так, чтобы при n ¸ n0 выполнялось неравенство jxn ¡ aj < "=2. Возьмём теперь любые два номера m; n ¸ n0. Тогда

" "

jxm ¡ xnj = j(xm ¡ a) ¡ (xn ¡ a)j · jxm ¡ aj + jxn ¡ aj < 2 + 2 = " ;

и необходимость доказана.

Достаточность. Если последовательность (xn) фундаментальна, то по лемме 2.3 она ограничена, поэтому по теореме 2.22 (Больцано-Вейер- штрасса) содержит сходящуюся подпоследовательность, следовательно, по лемме 2.4 сходится.

Замечание 2.10 Доказанная теорема не даёт возможности определить, чему равен предел последовательности в случае её сходимости, но зато для установления факта сходимости (или расходимости) последовательности не привлекается ничего, кроме членов самой последовательности, ибо фундаментальность является внутренним свойством последовательности, зависящим только от её членов и ни от чего больше.