Matan_1_semestr_Lektsii

Теорема 2.1 Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство. Пусть xn ¡¡¡! a. Докажем, что она ограничена, то-

n!1

есть, что существует число M такое, что для любого номера n 2 N выполняется условие jxnj · M.

Возьмём " = 1 и, пользуясь определением предела последовательности, подберём n0 так, чтобы при n ¸ n0 выполнялось неравенство jxn ¡ aj < 1. Тогда при n ¸ n0 имеем: jxnj ¡ jaj · jxn ¡ aj < 1 или jxnj < jaj + 1.

Положим

M = maxfjx1j; jx2j; : : : ; jxn0¡1j; jaj + 1g:

Очевидно, что для любого n 2 N имеем jxnj · M.

Следует отметить, что обратное утверждение неверно. Пример 2.3 показывает, что последовательность (xn)n2N может быть ограниченной, но не сходящейся.

Теорема 2.2 Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство. Проведём доказательство этого утверждения методом ¾от противного¿. Допустим, что последовательность (xn)1n=1 имеет два различных предела a и a1. Для определённости предположим, что a1 > a. Тогда a1 ¡ a = 2" > 0. Пользуясь определением предела последовательности, по построенному числу " подберём номера n00 и n000 так, чтобы при n ¸ n00 выполнялось условие jxn ¡aj < ", а при n ¸ n00 условие jxn ¡ a1j < ", и положим n0 = maxfn00; n000g. Возьмём номер n > n0. Тогда n > n00 и n > n000, поэтому выполнены оба условия. Но в таком случае

2" = a1¡a = ja1¡aj = j(xn¡a)+(a1¡xn)j · jxn¡aj+jxn¡a1j < "+" = 2" :

Мы получили невозможное неравенство 2" < 2", то-есть, противоречие. Противоречие возникло из-за предположения о существовании у после-

довательности двух различных пределов, следовательно, такое предположение неверно.

Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности

Определение 2.6 Последовательность (®n)1n=1 будем называть бесконечно малой последовательностью, если для любого " > 0 найдётся номер n0 = n0(") такой, что при n ¸ n0 выполняется условие j®nj < "её предел равен нулю.

Используя определение предела последовательности, можно дать эквивалентную формулировку. Последовательность (®n)1n=1 назовём бесконечно малой последовательностью, если её предел равен нулю.

Определение 2.7 Последовательность (®n)1n=1 назовём бесконечно большой последовательностью, если для любого " > 0 найдётся номер n0 = n0(") такой, что при n ¸ n0 выполняется условие j®nj > ".

Если последовательность (®n)1n=1 бесконечно большая, то будем

писать lim ®n = 1 и даже говорить, что (®n) стремится (сходится) к

n!1

бесконечности, но при этом следует помнить, что по определению 2.5 бесконечно большая последовательность является расходящейся последовательностью.

µ1 ¶

Пример 2.6 Последовательность является бесконечно малой. n

Эта последовательность рассмотрена в примере 2.2.

Пример 2.7 Последовательность (qn) является бесконечно малой при jqj < 1 и бесконечно большой при jqj > 1.

Доказательство. 1) Пусть jqj < 1. Возьмём любое " < 1, и, решив неравенство jqnj < ", определим номер n0, начиная с которого оно выполняется. Последовательно находим:

Номер n0 указан, следовательно, последовательность (qn) при jqj < 1

является бесконечно малой.

2)Пусть jqj > 1. Выберем произвольно " > 1 и укажем номер, начиная

скоторого выполняется неравенство jqnj > ".

Номер n0 найден. По определению, последовательность (qn) является бесконечно большой при jqj > 1.

Изучим свойства бесконечно малых и бесконечно больших последовательностей.

Теорема 2.3 Последовательность (xn) тогда и только тогда сходится к числу a, когда последовательность (xn ¡ a) является бесконечно малой.

Доказательство. Для доказательства справедливости этого утверждения достаточно сравнить определения сходящейся и бесконечно малой последовательностей.

Утверждение xn ¡¡¡! a означает, что для любого " > 0 найдётся

n!1

номер n0 такой, что при n ¸ n0 выполняется jxn ¡ aj < ".

Утверждение (xn ¡ a) бесконечно малая последовательность означает, что для любого " > 0 найдётся номер n0 такой, что при n ¸ n0 выполняется jxn ¡ aj < ".

Теорема 2.4 Пусть ® 6= 0 (n 2 N). Последовательность (® ) бес-

n n µ 1 ¶

конечно малая тогда и только тогда, когда последовательность ®n

бесконечно большая.

Доказательство. Пусть последовательность (® ) бесконечно малая.

µ 1 ¶ n

Докажем, что последовательность ®n бесконечно большая. Выберем произвольно " > 0. Так как последовательность (®n) бес-

конечно малая, то по числу 1" найдётся номер n0 такой, что при n ¸ n0

1

будет выполняться j®nj < ". Но тогда, перевернув обе части этого нера-

Теорема 2.5 Сумма двух бесконечно малых последовательностей бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Пусть (®n) и (¯n) бесконечно малые последовательности. Выберем произвольно и зафиксируем " > 0. Тогда найдутся номера n00, n000 такие, что будут выполняться условия j®nj < 2" при n ¸ n00 и j¯nj < 2" при n ¸ n000. Положим n0 = maxfn00; n000g и возьмём любое n ¸ n0. Тогда n ¸ n00 и n ¸ n000, поэтому

" "

j®n + ¯nj · j®nj + j¯nj < 2 + 2 = " :

Отсюда по определению следует, что последовательность (®n + ¯n)

бесконечно малая.

Теорема 2.6 Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную есть бесконечно малая последовательность.

Доказательство. Пусть последовательность (®n) бесконечно малая, а последовательность (xn) ограниченная. Нужно доказать, что последовательность (®nxn) бесконечно малая.

По определению ограниченной последовательности существует число

M такое, что jxnj · M для любого n 2 N. Зафиксируем " > 0. Так как последовательность ®n бесконечно малая, то найдётся номер n0

такой, что при n ¸ n0 будем иметь: j®nj < " . Но тогда при n ¸ n0

" M

j®nxnj = j®nj ¢ jxnj < M ¢ M = ", а это означает, что последовательность

(®nxn) является бесконечно малой.

Следствие 2.1 Произведение двух бесконечно малых последовательностей бесконечно малая последовательность.

Бесконечно малая последовательность, как сходящаяся, ограничена. В справедливости следствия убеждаемся, приняв одну из двух последовательностей за бесконечно малую, а другую за ограниченную.

Следствие 2.2 Произведение бесконечно малой последовательности на постоянную бесконечно малая последовательность.

Постоянную c можно отождествить со стационарной последовательностью (c; c; : : : ; c; : : :), которая, очевидно, ограничена.

Теорема 2.7 Произведение двух бесконечно больших последовательностей бесконечно большая последовательность.

Доказательство. Даны две бесконечно большие последовательности

(®n) и (¯n). Нужно доказать, что последовательность (®n¯n) бесконечно большая.

Пусть " > 0 любое фиксированное число. Тогда найдутся номера n00 и n000 такие, что будут выполняться условия j®nj > p" при n ¸ n00 и j¯nj ¸ p" при n ¸ n000. Образуем номер n0 = maxfn00; n000g и возьмём любое n ¸ n0. Тогда n ¸ n00 и n ¸ n000, поэтому

j®n¯nj = j®nj ¢ j¯nj > p" ¢ p" = " ;

что и требовалось.

Арифметические операции над сходящимися последовательностями

Здесь, опираясь на теорему 2.3, мы докажем теоремы о пределе суммы, разности, произведения и частного двух последовательностей. Применение этих теорем существенно облегчает нахождение пределов.

Теорема 2.8 Пусть последовательности (xn)n2N и (yn)n2N сходятся,

причём lim xn = a, lim yn = b. Тогда последовательность (xn + yn)n2N

n!1 n!1

тоже сходится и lim (xn + yn) = a + b.

n!1

Проще говоря, для сходящихся последовательностей предел суммы равен сумме пределов.

Доказательство. Если последовательности (xn) и (yn) сходятся соответственно к a и b, то по теореме 2.3 последовательности (®n) = (xn ¡ a)

и (¯n) = (yn ¡ b) являются бесконечно малыми. Так как

(xn + yn) ¡ (a + b) = (xn ¡ a) + (yn ¡ b) = ®n + ¯n

по теореме 2.5 является бесконечно малой последовательностью, то, снова по теореме 2.3 последовательность (xn + yn) сходится к a + b.

Теорема 2.9 Пусть последовательности (xn)n2N и (yn)n2N сходятся,

причём lim xn = a, lim yn = b. Тогда последовательность (xn ¡ yn)n2N

n!1 n!1

тоже сходится и lim (xn ¡ yn) = a ¡ b.

n!1

Доказательство этой теоремы ничем не отличается от доказательства предыдущей.

Теорема 2.10 Пусть последовательности (xn)n2N и (yn)n2N сходятся,

причём lim xn = a, lim yn = b. Тогда последовательность (xnyn)n2N

n!1 n!1

тоже сходится и lim (xnyn) = ab.

n!1

Доказательство. Доказательство опять основывается на теореме 2.3. Рассмотрим разность xnyn ¡ ab и представим её в нужном виде.

xnyn ¡ ab = xnyn ¡ ayn + ayn ¡ ab = (xn ¡ a)yn + a(yn ¡ b):

Произведения ((xn ¡ a)yn) и (a(yn ¡ b)) бесконечно малые последовательности (как произведения бесконечно малой и ограниченной последовательности и бесконечно малой последовательности и постоянной), поэтому последовательность (xnyn ¡ ab) бесконечно малая (как сумма бесконечно малых последовательностей). По теореме 2.3 последовательность (xnyn) сходится к числу ab.

Следствие 2.3 lim (cxn) = c lim xn, где c постоянная.

n!1 n!1

56 Оглавление

Для доказательства теоремы о пределе частного нам понадобится следующая лемма.

Лемма 2.1 Пусть последовательность (y ) сходится к числу b =6 0 и

µn 1 ¶

yn =6 0 (n 2 N). Тогда последовательность ограничена. yn

Доказательство. Положим " = j2bj. Так как последовательность (yn)

сходится, то найдётся номер n0 такой, что при n ¸ n0 выполняется

Замечание 2.3 Попутно доказано, что если lim yn =6 0, то, начиная

n!1

с некоторого номера, и yn 6= 0. Поэтому в формулировке леммы можно

было бы опустить условие y =6 0. Тогда лемма осталась бы в силе, n µ 1 ¶

только члены последовательности yn были бы определены лишь при n ¸ n1, где n1 некоторое натуральное число, меньшее или равное n0.

Теорема 2.11 Пусть последовательности (xn)n2N и (yn)n2N сходятся,

lim xn = a, lim yn = b, причём yn 6= 0 (n 2 N) и b 6= 0. Тогда последова-

n!1 n!1

Доказательство. Рассмотрим разность xn ¡ a и преобразуем её. yn b

Используя свойства бесконечно малых последовательностей, убеждаемся, что правая (значит, и левая) часть написанного равенства бесконечно малая последовательность и на основании теоремы 2.3 делаем вывод о справедливости утверждения, приведённого в формулировке теоремы.

Решение. Сначала проведём анализ выражения. Принимая во внимание пример 2.7, заключаем, что каждое слагаемое как в числителе, так и в знаменателе стремится к бесконечности, причём стремится тем быстрее, чем больше (по модулю) основание степени (чем больше jqj, тем меньше номер n0(")). Поэтому и числитель, и знаменатель исследуемого выражения стремятся к бесконечности. В этом случае говорят, что анализируемое выражение есть неопределённость вида 11 (бесконечность делить на бесконечность).

Так как применить теорему 2.11 нельзя (её условия не выполняются), то преобразуем выражение, вынеся в числителе и знаменателе за скобки

Теперь основания степеней по модулю меньше единицы. Используя тот же пример 2.7, делаем вывод, что первое слагаемое в числителе и второе в знаменателе стремятся к нулю. Поэтому числитель стремится

Предельный переход в неравенствах

Теорема 2.12 Пусть последовательность (xn) сходится и lim xn = a.

n!1

Если xn ¸ 0 (n 2 N), то и a ¸ 0.

Доказательство. Допустим, что теорема неверна. Тогда существует последовательность с неотрицательными членами, у которой предел a < 0.

Положим " = ja2j и найдём номер n0 такой, что при n ¸ n0 будет выполняться jxn ¡ aj < " или ¡ja2j < xn ¡ a < ja2j. Взяв правую часть этого неравенства, будем иметь при n ¸ n0: xn < a + ja2j = a ¡ a2 = a2 < 0. Но этого не может быть, так как все члены последовательности (xn) неотрицательны. Теорема доказана.

Замечание 2.4 Так как изменение (удаление, прибавление) нескольких первых членов последовательности на значении её предела, очевидно, не отражается, то в доказанной теореме не обязательно требовать, чтобы все члены последовательности были неотрицательны, но обязательно должны быть неотрицательны все члены последовательности, начиная с некоторого номера n1.

Это замечание относится и к аналогичным утверждениям, которые будут рассмотрены позже.

Замечание 2.5 Если у сходящейся последовательности xn > 0, начи-

ная с некоторого номера, то нельзя утверждать, что и lim xn = a > 0,

n!1

а можно лишь, что a ¸ 0.

Следствие 2.4 Пусть последовательность (xn) сходится и lim xn =

n!1

a. Если xn ¸ b (n 2 N), то и a ¸ b.

Доказательство. Рассмотрим последовательность (xn ¡b). Члены этой последовательности по условию неотрицательны, а на основании теоремы 2.9 она сходится к числу a ¡ b. Тогда по теореме 2.12 a ¡ b ¸ 0 или a ¸ b.

Следствие 2.5 Пусть последовательности (xn) и (yn) сходятся, при-

чём lim xn = a, lim yn = b и xn · yn (n 2 N). Тогда и a · b.

n!1 n!1

Доказательство. Рассмотрим последовательность (yn¡xn). По условию

yn ¡xn ¸ 0 (n 2 N), по теореме 2.9 lim (yn ¡xn) = b¡a. Тогда по теореме

n!1

2.12 имеем: b ¡ a ¸ 0 или b ¸ a.

Теорема 2.13 (о трёх последовательностях) Пусть даны три последовательности: (xn), (yn), (zn), причём xn · yn · zn (n 2 N) и

Эту теорему называют ещё принципом двустороннего ограничения.

Доказательство. Зафиксируем " > 0. Тогда в силу сходимости последовательностей (xn) и (zn) найдутся номера n00 и n000 такие, что при n ¸ n00

будет выполняться неравенство jxn ¡ aj < " или ¡" < xn ¡ a < ", а при n ¸ n000 неравенство jzn ¡ aj < " или ¡" < zn ¡ a < ". Положим n0 = maxfn00; n000g. Тогда при n ¸ n0 будут выполняться оба неравенства. Напишем следующую цепочку неравенств:

¡" < xn ¡ a · yn ¡ a · zn ¡ a < " :

Из неё вытекает, что jyn ¡ aj < " при n ¸ n0, а это означает по определе-

нию предела последовательности, что lim yn = a.

n!1

Пример 2.10 Рассмотрим последовательность (xn), где

и вычислим её предел.

Решение. Оценим члены последовательности снизу, выбрав среди зна-

Оценим члены последовательности сверху, выбрав среди знаменате-