Matan_1_semestr_Lektsii

интервала (a; b). Тогда a < x < b, поэтому ± = minfx ¡ a; b ¡ xg > 0. Очевидно, U±(x) ½ (a; b), поэтому точка x внутренняя точка интервала (a; b). Так как все точки интервала (a; b) являются внутренними, то, по определению, интервал (a; b) открытое множество.

3. Множества [a; b], (¡1; a], [a; +1) не являются открытыми.

Это утверждение следует из того, что точка a не является внутренней для каждого из множеств, ибо любая её окрестность содержит точки, не принадлежащие множеству.

4. Множество Q не является открытым.

Ни одна точка множества Q не является внутренней, потому что в любой окрестности любого вещественного числа содержатся как рациональные, так и иррациональные числа.

Определение 3.7 Пусть множество X ½ R. Обозначим символом

CX (или CRX) и назовём дополнением множества X (до R) разность

R n X.

Примеры.

1.CR = ?, C? = R.

2.CQ = J (множество иррациональных чисел).

3.C[a; +1) = (¡1; a), C(a; +1) = (¡1; a].

Замкнутые и открытые множества связаны между собой следующим утверждением.

Теорема 3.4 Множество X ½ R замкнуто тогда и только тогда, когда его дополнение CX открыто.

Доказательство.

Необходимость. Пусть множество X замкнуто и a любая точка, не принадлежащая X, то есть, a 2 CX. Так как X замкнуто, то a не может быть его предельной точкой, поэтому найдётся окрестность U±(a), не содержащая точек множества X, то есть, U±(a) ½ CX, а это означает,

что a внутренняя точка множества CX. Итак, все точки множества

CX внутренние, следовательно, CX открытое множество.

Достаточность. Пусть множество CX открыто. Тогда все его точкивнутренние, то есть, имеют окрестность, в которой нет точек множества X. Но это означает, что ни одна точка a, не принадлежащая множеству X, не может быть предельной для него, следовательно, каждая предельная точка множества X принадлежит множеству X, то есть, множество X замкнуто.

Примеры.

1.CR = ?. Множество R одновременно и замкнутое, и открытое, поэтому и пустое множество принято считать и открытым и замкнутым, чтобы не делать оговорок в доказанной теореме.

2.CQ = J. Множество рациональных чисел Q не является ни открытым, ни замкнутым, поэтому и множество иррациональных чисел J ни замкнуто, ни открыто.

Определение 3.8 Пусть даны числовые множества X и G¸ (¸ 2 ¤), где ¤ произвольный набор индексов. Систему множеств fG¸g назо-

вём покрытием множества X, если X ½ S G¸, другими словами, если

¸2¤

для каждого x 2 X найдётся ¸ 2 ¤ такое, что x 2 G¸.

Покрытие будем называть открытым, если все множества G¸

открытые.

Покрытие будем называть конечным, если множество ¤ конечное.

Примеры

1.Пусть X ½ R ограниченное множество, m = inf X, M = sup X. Тогда отрезок [m; M] покрытие множества X.

2.Пусть X ½ R произвольное множество. Для каждого x 2 X

определим ±x > 0 и построим интервал Gx = (x ¡ ±x; x + ±x). Система интервалов fGx : x 2 Xg открытое покрытие множества X.

открытое покрытие интервала (0; 1).

Теорема 3.5 (Гейне, Борель) Из любого открытого покрытия отрезка [a; b] можно выделить конечное покрытие.

Доказательство. Необходимо доказать, что если система множеств fG¸ :

¸ 2 ¤g образует покрытие отрезка [a; b], то из этой системы можно выделить конечный набор множеств G¸1 , G¸2 ,. . . , G¸l , тоже образующий покрытие отрезка [a; b].

Доказательство проведём методом от противного. Предположим, что утверждение теоремы неверно. Тогда найдётся такое покрытие fG¸ : ¸ 2

¤g отрезка [a; b], из которого конечного покрытия выделить нельзя. Разделим отрезок [a; b] пополам точкой c = (a + b)=2. Если из систе-

мы множеств fG¸g нельзя выделить конечного покрытия отрезка [a; b], то нельзя выделить и конечного покрытия по крайней мере одного из отрезков [a; c] или [c; b], потому что в противном случае объединение конечных покрытий этих отрезков составляло бы конечное покрытие всего отрезка [a; b]. Возьмём тот из двух отрезков, который не имеет конечного покрытия, и обозначим его [a1; b1] (если конечного покрытия не имеют оба отрезка, то можно взять любой). Разделим отрезок [a1; b1] пополам точкой c1 = (a1 + b1)=2. По той же причине, что и выше, для одного из получившихся отрезков, [a1; c1] или [c1; b1], не существует конечного покрытия множествами из системы fG¸g. Возьмём тот из них, для которого конечного покрытия не существует, обозначим его [a2; b2], разделим пополам точкой c2 = (a2 + b2)=2 и так далее.

В результате бесконечного продолжения описанного процесса мы получим стягивающуюся последовательность сегментов

[a; b] ¾ [a1; b1] ¾ [a2; b2] ¾ : : : ¾ [ak; bk] ¾ : : : ;

которая по теореме Кантора (теорема 2.15) имеет единственную общую точку x0. Так как точка x0 принадлежит сегменту [a; b], а система fG¸g

образует покрытие отрезка [a; b], то найдётся множество G¸0 , содержащее точку x0. Множество G¸0 открытое, поэтому найдётся окрестность

U±(x0) точки x0, содержащаяся в G¸0 . Так как длины выделенных сегментов [ak; bk], равные (b ¡ a)=2k, стремятся к нулю при k ! 1, то найдётся сегмент [ak0 ; bk0 ], длина которого будет меньше ±. Так как точка x0 2 [ak0 ; bk0 ], то расстояние от неё до каждого из концов сегмента [ak0 ; bk0 ] не превосходит длины сегмента, то есть меньше ±, а радиус окрестности U±(x0) равен ±, поэтому

[ak0 ; bk0 ] ½ U±(x0) ½ G¸0 ;

то есть сегмент [ak0 ; bk0 ] покрывается одним множеством из системы fG¸g, в то время как по построению ни для одного из выделенных отрезков [ak; bk] конечного покрытия множествами из системы fG¸g не существует.

Получено противоречие. Теорема доказана.

Следствие 3.1 Если F ½ R ограниченное замкнутое множество, то из любого его открытого покрытия можно выделить конечное покрытие.

Доказательство. Так как множество F ограничено, то существуют a = inf F и b = sup F . Очевидно, F ½ [a; b]. Пусть система множеств fG¸ :

¸ 2 ¤g открытое покрытие множества F . Если система fG¸ : ¸ 2 ¤g

e

не образует покрытия отрезка [a; b], то добавим к ней множество G =

e

CF = R n F . Множество G открытое как дополнение замкнутого множества (теорема 3.4), не содержит точек множества F , следовательно,

содержит все те точки отрезка [a; b], которые не принадлежат F , поэто-

S e

му система множеств fG¸g G является открытым покрытием отрезка

[a; b]. По доказанной теореме из него можно выделить конечное покрытие отрезка [a; b], а значит, и множества F . Если в это покрытие входит

Определение 3.11 (Гейне) Вещественное число b будем называть пределом функции f в точке a и писать

lim f(x) = b;

x!a

если для любой последовательности (xn)n2N элементов множества X

такой, что xn ¡¡¡! a, xn =6 a (n 2 N), выполняется условие f(xn) ¡¡¡!

n!1 n!1

b.

Теорема 3.6 Определения сходимости по Коши и по Гейне эквивалентны.

Доказательство. Необходимо доказать, что если lim f(x) = b по Коши,

Пусть (xn)n2N любая последовательность, удовлетворяющая усло-

виям: (xn)n2N ½ X, xn ¡¡¡! a и xn =6 a (n 2 N). Так как xn ¡¡¡! a, то по

n!1 n!1

найденному ± можно указать такой номер n0, что при всех n ¸ n0 будет выполняться условие jxn ¡ aj < ±. Но тогда из (3.31) следует, что

jf(xn) ¡ bj < "

для любого n >¸ n0. Так как " > 0 произвольно, то это означает, что

по Гейне. Предположим, что число b не является пределом функции f

в точке a по Коши. Тогда найдётся "0 > 0 такое, что для любого ± >

0 найдётся x 2 X и удовлетворяющий условию 0 < jx ¡ aj < ±, для которого jf(x) ¡bj ¸ "0. В таком случае рассмотрим последовательность положительных чисел ±n, сходящуюся к нулю, и для каждого n подберём xn 2 X так, чтобы 0 < jxn ¡ aj < ±n, но jf(xn) ¡ bj ¸ "0. Тогда, очевидно,

последовательность (xn) ½ X, xn ¡¡¡! a, xn 6= a (n 2 N), но f(xn) 9 b.

n!1

Это невозможно, так как по условию b является пределом f(x) при x ! a

по Гейне.

Следовательно, если b является пределом функции f в точке a по Гейне, то оно является пределом функции f в точке a и по Коши.

Пример 3.1 Пусть X = R, f(x) ´ c; c 2 R и a 2 R любое. Тогда

lim f(x) = c.

x!a

Возьмём любое " > 0 и любое ± > 0. Тогда, если 0 < jx ¡ aj < ±, то

jf(x) ¡ cj = jc ¡ cj = 0 < ", следовательно, lim f(x) = c по Коши.

x!a

Пример 3.2 Пусть X = R, f(x) = x и a 2 R любое. Тогда lim f(x) =

x!a

a.

Выберем " > 0 и положим ± = ". Тогда для любого x, удовлетворяющего условию 0 < jx ¡ aj < ±, имеем: jf(x) ¡ aj = jx ¡ aj < ± = ",

следовательно, lim f(x) = a по Коши.

x!a

Пример 3.3 Пусть X = Rnf0g, f(x) = sin x1 .

Покажем, что при x ! 0 функция sin x1 предела не имеет. Используем определение предела функции по Гейне. Рассмотрим последовательность

Пример 3.4 Пусть X = [0; 1] и D(x) функция Дирихле (см. (1.15)).

Покажем, что функция Дирихле ни в одной точке a отрезка [0; 1]

предела не имеет, используя определение предела по Гейне.

Пусть (x0n) последовательность рациональных чисел, сходящаяся к a, xn =6 a (n 2 N). Тогда D(x0n) = 1 ! 1.

Пусть (x00n) последовательность иррациональных чисел, сходящаяся к a, xn =6 a (n 2 N). Тогда D(xn) = 0 ! 0.

То, что по двум последовательностям, сходящимся к a, получаются различные пределы, противоречит определению предела функции по Гейне.

Расширим понятие предела функции в точке, введя односторонние пределы, бесконечные пределы, предел в бесконечно удалённой точке.

Односторонние пределы

Пусть X ½ R, f : X ! R, a 2 X0 и любая левосторонняя окрестность

±

U¡± (a) = (a ¡ ±; a) точки a содержит точки множества X.

Определение 3.12 Число b будем называть левым пределом (или пределом слева) функции f в точке a и писать

lim f(x) = b = f(a ¡ 0);

x!a¡0

если:

a) по любому " > 0 можно подобрать ± > 0 так, чтобы для любого

Аналогично определяется правый предел. Пусть X ½ R, f : X ! R,

±

a 2 X0 и любая правосторонняя окрестность U +± (a) точки a содержит точки множества X.

Определение 3.13 Число b будем называть правым пределом (или пре-

делом справа) функции f в точке a и писать

lim f(x) = b = f(a + 0);

x!a+0

если:

a) по любому " > 0 можно подобрать ± > 0 так, чтобы для любого

Левый и правый пределы функции в точке будем называть односторонними пределами.

Эквивалентность определений односторонних пределов по Коши и по

Гейне устанавливается точно так же, как и для обычных пределов.

±

Если a 2 X0, то любая окрестность U± (a) содержит точки множества

±

X. Но тогда или любая левосторонняя окрестность U ¡± (a), или любая

±

правосторонняя окрестность U+± (a), или обе содержат точки множества

X. В таком случае, сравнивая определения предела и односторонних пре-

делов, получаем, что если в точке a существует lim f(x) = b, то в этой

x!a

точке существует и тоже равен b один из односторонних пределов f(a+0)

или f(a¡0) или оба. Например, если X = (c; d), то x ! c автоматически означает, что x ! c + 0, следовательно, существование предела и правого предела функции в точке c одно и то же. Аналогично, в точке d существование предела функции равносильно существованию левого предела.

Нетрудно установить и обратное: если в какой-либо точке существуют оба односторонних предела данной функции и они равны между собой, то в этой точке определён и предел функции, совпадающий с односторонними пределами. Предлагаем читателям самостоятельно убедиться в справедливости этого утверждения.

Однако возможны и иные ситуации.