Метод Жордана – Гаусса.

Пусть дана система, состоящая из m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными:

(1)

С помощью элементарных преобразований над строками и перестановкой столбцов расширенная матрица системы (1) может быть приведена к виду:

(2)

Матрица (2) является расширенной матрицей системы:

(3)

которая с точностью до обозначения неизвестных эквивалентна исходной системе.

Если хотя бы одно из чисел отлично от 0, то система (3), а следовательно и исходная система (1) несовместна.

Если же , то система (3) и (1) совместна. И из (3) базисные неизвестныевыражаются через свободные неизвестные.

Пример.

Методом Жордана-Гаусса найти общее решение системы уравнений:

Решение:

Проведя элементарные преобразования над расширенной матрицей, получим:

Получим 0 в третьей и четвертой строках. Умножим вторую строку на . К первой строке прибавляем 2 (смотри последнюю матрицу), умноженную на 2. Это делается для того, чтобы .

Первые две строки последней матрицы составляют расширенную матрицу системы:

эквивалентной исходной системе.

Считая базисными неизвестными, а свободными, получим общее решение в виде:

.

17