Фундаментальная система решений

Рассмотрим систему однородных линейных алгебраических уравнений.

(1)

Выпишем матрицу A

Определение 1.

Минор матрицы называется базисным , если он неравен 0, и окаймляющие его миноры либо все равны 0, либо совсем отсутствуют.

Теорема о базисном миноре.

Столбцы матрицы, пересекающие главный минор линейно независимы; Всякий столбец через них линейно выражается.

Определение 2.

Всякая максимальная линейно независимая система решений однородной системы уравнений (1), называется фундаментальной системой решений (ФСР).

Теорема:

Если ранг r , матрицы из коэффициентов системы линейных однородных уравнений (1), меньше m, то всякая ФСР системы (1) состоит из n-r решений.

Пример №1.

Дана однородная система линейных алгебраических уравнений

.

Найти ФСР и общее решение системы.

1.Составим матрицу системы.

2. Легко показать, что ранг матрицы A=2, значит ФСР состоит из трех решений (5-2=3).

3. В матрице A возьмем базисный минор (минор второго порядка):

.

4. Отбрасываем последние уравнения системы , а неизвестные ,

считаем «свободными» и переносим их в правую часть уравнений.

Получим:

. (2)

5. Ищем первое базисное решение X , для этого положим , тогда получим систему:

(3)

Определителем матрицы системы является базисный минор, он отличен от 0, значит система (3) имеет единственное решение: .

Таким образом

= .

6. Полагая в системе (2), находимто есть, вторым базисным решением является столбец:

.

7. Полагая: , получаем -

.

8. Итак, ФСР получена; построенная таким образом ФСР называется нормальной.

9. Столбцы образующие ФСР линейно независимы, так как свободные неизвестные были выброшены так, что выделенный минор третьего порядка отличен от 0;

10.Теперь выпишем общее решение исходной однородной системы линейных алгебраических уравнений.

,

.

Неоднородная система линейных алгебраических уравнений

(1)

Общее решение неоднородной системы линейных алгебраических уравнений (1) имеет вид:

(2)

где – какое-либо решение системы (1).

общее решение соответствующей однородной системы, для которой – ФСР.

Пример №2.

Дана неоднородная система линейных алгебраических уравнений:

Доказать, что это система совместна и найти ее общее решение.

Решение:

1. Легко показать, что rang Ᾱ = rang A

2. Рассмотрим соответствующую однородную систему уравнений, эта система из примера №1. Её ФСР и общее решение найдены. Выделим в матрицу Ᾱ базисный минор, стоящий на пересечении первых двух строк со вторым и третьим столбцами. Тогда последовательность уравнений системы есть следствие двух первых уравнений системы, а неизвестные можно считать «свободными», поэтому исходная система эквивалентна системе:

Решив её, находим единственное решение:

Найдено частное решение данной неоднородной системы.

.

Общее решение исходной неоднородной системы получим с помощью формулы (2).

= или

Это решение можно было бы получить методом исключения неизвестных. ФСР определяется неоднозначно, но число элементов в ФСР всегда равно .