5.5. Изгиб

Изгиб – деформация, при которой происходит искривление осей как прямых, так и кривых брусьев.

При этом в поперечных сечениях стержня возникают внутренние изгибающие моменты, плоскость действия которых перпендикулярна плоскости поперечного сечения стержня.

Изгиб называют чистым, если изгибающий момент является единственным внутренним усилием, возникающим в поперечном сечении стержня (рис.33, а).

Чаще, однако, в поперечных сечениях стержня наряду с изгибающими моментами возникают также и поперечные силы. Такой изгиб называют прямым поперечным (рис. 33 б).

Задача 4

Дана балка (рис. 34) на двух опорах, с торцов которой приложены равномерно распределенные нагрузки интенсивностью q=6 Н/м. В центре балки приложен внешний изгибающий момент М=48 Н/м. Построить эпюры внутренних силовых факторов. Провести анализ полученного решения.

Так как на балку действуют изгибающие нагрузки, то в стержне возникают два внутренних силовых фактора (см п.2.): внутренняя сосредоточенная поперечная сила Q, сопротивляющаяся сдвигу частиц стержня, и сосредоточенный изгибающий момент M_изг, сопротивляющийся растяжению-сжатию волокон тела. Требуется построить эпюры этих силовых факторов. Провести анализ полученного решения.

1. Определение реакций опор

На расчетной схеме в точках опоры по вертикали, в произвольном направлении, проставляем реакции опор R_А и R_в ( см. рис. 34).

Так как тело находится в покое, то сумма моментов всех сил относительно любой точки системы равна нулю.

Составим уравнение моментов внешних сил относительно т. А.

М_А(F)=0.

Момент силового фактора относительно любой точки системы - это произведение равнодействующей данного силового фактора на кратчайшее расстояние от места приложения равнодействующей до рассматриваемой точки или разреза.

М=F•L,

где F – равнодействующая внешнего силового фактора, Н;

L – плечо момента, кратчайшее расстояние от места приложения равнодействующей до рассматриваемой точки или разреза.

В качестве F рассматриваем P, R, F_q =q•l.

Правило знаков при составлении уравнения моментов принимается произвольно. При решении данной задачи будем использовать следующее правило. Если силовой фактор вращает балку относительно рассматриваемой точки против часовой стрелки, то момент от этого фактора положителен, иначе отрицателен.

Место приложения равнодействующей равномерно распределенной нагрузки - середина длины видимого участка распределения этой нагрузки

Следовательно, равнодействующая от распределенной нагрузки F_q= q•2, а сумма моментов относительно т. А с учетом приведенного правила знаков будет равна

-q•2•1-M- q•2•11+ R_в•12=0;

откуда R_в=16 Н.

Составим уравнение моментов относительно т.В.

М_в(F)=0;

q•2•11-M + q•2•1 - R_а•12=0;

R_а=8 Н.

Проверка

Так как система находится в покое, то сумма проекций всех внешних сил на ось y должна быть равна нулю.

 F_У=0.

-q•2 - q•2 + R_а + R_в=0.

-24+24=0.

2. Нахождение распределения поперечной силы Q по длине стержня

Разбиваем систему на четыре участка по месту приложения сил. Участки пронумеруем римскими цифрами (см. рис. 34).

Используя правило РОЗУ, выявим зависимость внутренней силы Q от внешних нагрузок.

Для этого разрезаем участокI. Отбрасываем любую из частей стержня (в данном случае мы произвольно выбрали правую), оставшуюся часть покажем на рис 35.

Заменяем внутреннюю силу Q внешними силами, видимыми на оставленном участке (рис. 35). Так как после разреза длина оставшегося участка I неизвестна, то обозначим ее через z. Следовательно, усилие (равнодействующая) от равномерно распределенной нагрузки (в соответствии с правилом) будет равно F_q =q•z. А внутренняя продольная сила Q будет равна всем силам на оставленной части балки

Q = R_а q•z.

Уравновешиваем.

Для нахождения уравнения внутренней поперечной силы Q используется следующее правило знаков.

Eсли рассматриваемая сила P пытается сдвинуть сечение стержня таким образом, что достроенная пара сил вращается по часовой стрелке, то возникающая при этом внутренняя сила Q считается положительной (рис. 36). Иначе Q отрицательна.

Исходя из данного правила получим следующее уравнение:

Q = R_а - q•z.

График – наклонная прямая. Для построения графика необходимо знать две точки. Так как протяженность участка 2 м, то рассматриваем уравнение при z=0 м и z=2 м.

Q = R_а - q•z= 8 – 6 z:

z=0 м Q=8 Н

z=2 м Q= - 4 Н

Рассмотрим участок II

Разрезаем участокII. Отбрасываем любую из частей (правую)? оставшуюся часть покажем на рис 37.

Заменяем внутреннюю силу Q внешними силами, видимыми на оставшейся части (рис. 37).

Q = R_а q•2

Так как после разреза длина оставшегося участка II неизвестна, то обозначим ее через z.

Уравновешиваем.

Q = R_а - q•2 = - 4 Н.

. График – прямая, параллельная нейтральной оси.

Рассмотрим участок III

Разрезаем участок III. Отбрасываем любую из частей (правую), оставшуюся часть покажем на рис 38.

Заменяем внутреннюю силуQ внешними силами, видимыми на оставшейся части (рис. 38).

Q = R_а q•2.

Уравновешиваем.

Q = R_а - q•2 = - 4 Н.

График –прямая, параллельная нейтральной оси.

Рассмотрим участок IV.

Разрезаем участок IV. Отбрасываем любую из частей (левую), оставшуюся часть покажем на рис 39.

Заменяем внутреннюю силуQ внешними силами, видимыми на оставшейся части (рис. 39).

Q = R_в q•z

Уравновешиваем.

Q = - R_в + q•z.

График – наклонная прямая. Для построения графика необходимо знать две точки. Так как протяженность участка 2 м, то рассматриваем уравнение при z=0 м и z=2 м.

Q = - R_в + q•z= -16 + 6z;

z=0 м Q= - 16 Н;

z=4 м Q= - 4 Н.

Определение зависимости изменения внутреннего изгибающего момента M_изг по длине стержня.

Изменение внутреннего изгибающего момента M_изг по длине стержня на I участке определим по правилу РОЗУ.

Для этого разрезаем участок I. Отбрасываем любую из частей (правую) ( см. рис. 35).

Заменяем внутренний момент M_изг внешними моментами оставшихся сил. относительно разреза рис. 35. Так как после разреза длина оставшегося участка I неизвестна, то обозначим ее через z. Следовательно, усилие (равнодействующая) от равномерно распределенной нагрузки, будет равно F_q =q•z, а момент от распределенной нагрузки, относительно разреза, М_q= F_q•z/2 или F_q = q•z •z/2.

Внутренний момент M_изг будет равен

M_изг = R_а •z q•z•z/2.

Уравновешиваем.

При нахождении уравнения распределения внутреннего момент M_изг используется следующее правило знаков.

Изгибающий момент от воздействия внешнего силового фактора положителен, если сжаты верхние волокна отсеченной части стержня, и отрицателен, если сжаты нижние волокна.

Это правило еще называют правилом дождя. И формулируется оно так. Если внешний силовой фактор изгибает стержень так, что капающий дождь стекает с балки, то момент от этого фактора отрицателен (рис. 40, а). Если же капли дождя накапливаются, то момент положителен (рис. 40, б). При использовании правила место разреза принимается за защемление (см. рис. 40).

Пользуясь данным правилом составляем уравнение распределения M_изг по длине стержня.

M_изг = +R_а •z - q•z•z/2 = 8z - 6z²/2.

График – парабола. Для изображения графика необходимо определить три точки.

Из рис. 34 мы видим пересечение графика поперечной силы Q с нейтральной осью. Исходя из теоремы Журавского:

если эпюра Q пересекает нейтральную ось, то в месте пересечения, на эпюре моментов М_изг, существует экстремум (минимум или максимум функции).

Найдем место пересечения эпюры Q с нейтральной осью. Для чего приравняем уравнение Q первого участка к нулю и рассчитаем z.

Q = R_а - q•z = 0,

.

Обозначим данный отрезок на рис. 34.

Так как для построения параболы на участке необходимо знать хотя бы три точки, то найдем значения внутреннего момента при z = 0, 4/3, 2 м.

M_изг = 8z - 6z²/2:

z=0 м M_изг=0 Н∙м;

z=2 м M_изг=4 Н∙м;

z=4/3 м M_изг=16/3 Н∙м.

Изобразим полученный график на чертеже рис. 34.

На эпюре моментов положительные значения откладываются ниже центральной оси. Это связанно с тем, что эпюры моментов строятся на растянутом волокне. Рассмотрим в качестве примера I участок заданной балки Так как на всем протяжении I участка график лежит в нижней плоскости, то в любом сечении этого участка растянуты нижние волокна исследуемого стержня (рис. 41).

Произведем расчет М_изг на II участке.

Разрезаем участок II.

Отбрасываем любую из частей (см. рис 37).

Заменяем внутренний момент M_изг внешними моментами оставшихся сил относительно разреза.

M_изг = R_а (z+2) q•2(1+z).

Уравновешиваем.

M_изг = R_а (z+2) - q•2(1+z).

График – наклонная прямая. Для построения графика необходимо знать две точки. Так как протяженность участка 4 м, то рассматриваем уравнение при z=0 м и z=4 м.

M_изг = R_а (z+2) - q•2(1+z)= 8 (z+2) - 6•2(1+z):

z=0 м M_изг = 4 Н∙м;

z=4 м M_изг = -12 Н∙м.

Рассмотрим участок III.

Для этого произведем разрез. Отбрасываем любую из частей (см. рис. 38).

Заменяем внутренний момент M_изг внешними моментами оставшихся сил относительно разреза.

M_изг = R_а (z+6) q•2(5+z) +М.

Уравновешиваем.

M_изг = R_а (z+6) - q•2(5+z) +М.

График – наклонная прямая. Для построения графика необходимо знать две точки. Так как протяженность участка 4 м, то рассматриваем уравнение при z=0 м и z=4 м.

M_изг = R_а (z+6) - q•2(5+z)+М= 8 (z+6) - 6•2(5+z) +48:

z=0 м M_изг = 36 Н∙м;

z=4 м M_изг = 20 Н∙м.

Рассмотрим участок IV

Для этого произведем разрез. Отбрасываем любую из частей ( см. рис. 39).

Заменяем внутренний момент M_изг внешними моментами оставшихся сил относительно разреза.

M_изг = R_в •z q•z•z/2.

Уравновешиваем.

M_изг = R_в •z - q•z•z/2.

График – парабола. Для изображения графика необходимо определить три точки. Выбираем две крайние точки и любую на протяжении участка: z=0 м, z=1 м, z=2 м.

M_изг = R_в •z - q•z•z/2= 16z-6z²/2:

z=0 м M_изг=0 Н∙м;

z=2 м M_изг=20 Н∙м;

z=1 м M_изг=13 Н∙м.

Полученные графики изображаем на рис. 34.

Анализ полученного решения. Исходя из построенных эпюр, мы видим, что внутренние силы по длине стержня распределены неравномерно (см. рис. 34). Опасное сечение данной балки находится правее места приложения внешнего момента. В данной точке наибольшая вероятность разрушения либо возникновения неупругих деформаций стержня.

Для самопроверки на рис. 42 представим несколько вариантов расчетных схем по определению внутренней поперечной силы Q и внутреннего изгибающего момента M_изг с построенными эпюрами.