physics_2_dinamika
.pdfу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
man = mg + N. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
an |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ℓ |
|
Шарик вращается в горизонталь- |
||||
0 |
|
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ной плоскости по окружности радиуса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R = ℓ sin . С позиции (точка 0), где |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
шарик находится, направим оси коор- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
динат 0х – в радиальном (горизонталь- |
|
|
mg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ном) |
направлении, 0у – вертикально |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вверх. Запишем векторное уравнение движения в проекциях на оси координат 0х и
0у:
0х: man = Nsin 0y: 0 = Ncos mg
Получили систему из двух скалярных уравнений, в которых центростреми-
тельное ускорение равно:
an = 2R = (2 )2R = 4 2 2ℓ sin .
Подставляя выражение для an в систему уравнений движения, получаем:
m4 2 2ℓ sin = Nsin mg = Ncos
Решая эту систему из двух уравнений, находим:
N = |
mg |
; |
= |
1 |
|
g |
. |
|
2 |
|
|||||
|
cosα |
|
|
cos |
Подставив численные данные, получаем:
41
N = |
mg |
= |
0,1 10 |
= 2 Н. |
= |
1 |
|
g |
= |
1 |
|
10 |
= 1 об/с. |
|
cosα cos600 |
|
|
2 |
|
cos |
|
2 |
|
0,5 cos600 |
|
5(1). Масса Марса составляет 0,1 от массы Земли, диаметр Марса вдвое мень-
ше, чем диаметр Земли. Каково отношение периодов обращения искусственных спутников Марса и Земли ТМ/ТЗ, движущихся по круговым орбитам на небольшой высоте?
Дано: МЗ = ММ 10; dМ = dЗ 0,5;
ТМ/ТЗ - ?
Решение. Так как высота полета спутника мала, то радиус орбиты совпадает с радиусом планеты R = 0,5 d. Согласно второму закону Ньютона сила тяготения рав-
на произведению массы спутника на центростремительное ускорение:
GmM mv2 ,
R2 R
где G – гравитационная постоянная; m – масса спутника;
М – масса планеты;
v – скорость орбитального движения спутника.
Из этого соотношения выразим скорость
v = G M . R
Период обращения спутника равен времени совершения одного оборота во-
круг планеты со скоростью v:
Т = |
2 R |
2 R |
|
R |
|
= 2 |
R |
3 |
. |
v |
GM |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
GM |
42
Поскольку записанные соотношения для периодов справедливы для любой планеты,
найдем искомое отношение периодов обращения спутников Марса и Земли:
|
3 |
|
|
|
R |
3 |
|
|
|
|
|
3 |
МЗ |
|
|
|
|
3 |
МЗ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
RМ |
|
|
|
З |
|
|
|
RМ |
|
|
|
dМ |
|
|
|
3 |
|
|
|||||
ТМ/ТЗ =2 |
|
: 2 |
|
= |
|
R |
|
|
ММ |
= |
|
d |
|
|
ММ |
= |
0,5 |
|
10 = 1,1. |
||||||
|
|
GMМ |
|
|
|
GMЗ |
|
|
|
З |
|
|
З |
|
|
|
|
|
6(2). На экваторе некоторой сферической планеты тела весят вдвое меньше,
чем на полюсе. Плотность вещества планеты 3 000 кг/м3. Найдите период обраще-
ния планеты вокруг своей оси. Гравитационная постоянная G = 6,67 10-11 (Н м2)/кг2.
Дано: РЭ = РП/2; = 3 000 кг/м3; G = 6,67 10-11 (Н м2)/кг2.
Т - ?
Решение. К телу, находящемуся на поверхности планеты на широте , прило-
жены сила тяготения FT и сила нормальной реакции N . Реакция опоры (сила упру-
гости) N направлена не в радиальном направлении, нормально к поверхности Зем-
ли (вдоль направления действия силы FT), а в таком направлении, чтобы равнодей-
ствующая Fn = N + FT была направлена перпендикулярно к оси вращения и обеспе-
чивала вращение тела по окружности радиуса r. Соответственно, вес тела Р = N
действует на поверхность Земли. Равнодействующая Fn направлена к центру парал-
лели на этой широте и сообщает телу центростремительное ускорение an при вращении планеты вокруг своей оси. Согласно второму закону динамики
Fn = man = m 2r = m 2Rcos ,
где m – масса тела;
угловая скорость вращения планеты; r – радиус параллели на широте ;
R – радиус планеты.
43
Так как величина FT во всех точках поверхности планеты одинакова, направление и |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
NП |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
модуль силы N зависит от . На |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
полюсе и на экваторе FT и N |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fn |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
направлены вдоль одной прямой |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(на рисунке NП и FT, NЭ и FT, со- |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ответственно). |
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вес тела Р |
это упругая |
|
|
|
|
|
|
|
FT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
FT |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
сила, с которой |
тело давит на |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
опору или растягивает подвес. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
NЭ |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По третьему закону Ньютона вес |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
FT |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тела равен силе нормальной ре- |
акции: Р = N . Вес и реакция опоры (сила упругости) на по-
люсе равны силе тяготения
N 900 = РП = FT,
так как при = 900, r = 0. На экваторе = 0 и r = Rcos = R, и по второму закону Ньютона
FT NЭ = man = m 2R.
По условию задачи на экваторе вес тела, равный РЭ = NЭ, вдвое меньше чем на по-
люсе, т.е.
РЭ = |
PП |
= |
FT |
. |
|
||||
|
|
|||
2 |
2 |
|
Из FT NЭ = m 2R выражаем NЭ = FT m 2R.
Итак,
РЭ = NЭ = FT = FT m 2R,
2
44
откуда следует, что
|
|
|
|
m 2R = |
FT |
. |
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
||
= |
2 |
, |
FT = G |
mM |
, |
M = V = |
4 |
R3, |
|
|
R2 |
|
|||||||
|
Т |
|
|
3 |
|
то подстановка этих выражений в уравнение m 2R = FT позволит нам вычислить
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
период вращения Т планеты: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
1 |
|
mM |
|
1 |
|
m |
|
4 |
3 |
|
||
m |
|
|
R = |
|
G |
|
= |
|
|
G |
|
|
|
R |
, |
|
2 |
R2 |
2 |
R2 |
3 |
||||||||||
|
Т |
|
|
|
|
|
|
|
откуда находим период Т вращения планеты вокруг своей оси и, подставляя число-
вые данные, произведём вычисления:
Т = |
6 |
= |
6 |
|
= 9 706 с 2 ч 42 мин. |
|
G |
6,67 10-11 |
3000 |
7(1). Тело массой m = 300 г, упав с высоты h = 25 м, приобрело скорость v = 20 м/с. Какова средняя сила сопротивления воздуха? Ускорение силы тяжести равно g = 10 мс/2.
Дано: v0 = 0; m = 0,3 кг; h = 25 м; v = 20 м/с; g = 10 м/с2. Fc - ?
Решение. Запишем кинематическое соотношение для случая падения тела без начальной скорости (v0 = 0):
|
v2 |
|
|
Fc |
0 |
|
|
|
|
|
|||
a = |
|
. |
а |
|
||
|
|
|||||
|
2h |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
||
Уравнение движения тела в векторной форме имеет вид: |
|
mg |
45
ma = mg + Fc,
где mg – сила тяжести (см. рисунок);
Fc – сила сопротивления воздуха, действующая на тело;
а ускорение, с которым падает тело.
Перейдём к скалярной форме записи уравнения движения, спроектировав все век-
торные величины на вертикальную ось 0у (так как все векторы направлены по вер-
тикали):
ma = mg Fc,
откуда выразим искомую среднюю силу сопротивления воздуха Fс за время падения тела
|
|
|
|
|
v2 |
|
|
||
Fc = m(g a) = m g |
|
|
. |
||||||
2h |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
Подстановка численных значений даёт: |
|
|
|
|
|
|
|||
|
v2 |
|
|
202 |
|
|
|
||
Fc = m g |
|
= 0,3 |
10 |
|
|
|
|
= 0,6 Н. |
|
2h |
2 25 |
||||||||
|
|
|
|
|
8(3). Кольцо массы m и радиуса R вращается в горизонтальной плоскости во-
круг вертикальной оси, проходящей через центр кольца. Кольцо сделано из тонкой проволоки, выдерживающей натяжение F. С какой максимальной частотой можно вращать кольцо, чтобы оно имело трёхкратный запас прочности?
Дано: m; R; F; n = 3.
- ?
Решение. Рассмотрим элемент дуги 1А2В3 кольца, который виден из центра 0
кольца радиусом R под малым углом 2 (см. рисунок). Масса m этого элемента равна
46
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m = m |
2 |
= m |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
А |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F1 |
||||||||||||||
F1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
/2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/2 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Fn
R
R
0
При вращении кольца в горизонтальной плоскости вокруг вертикальной оси,
проходящей через центр кольца, элемент дуги кольца растягивается парой сил F1,
равнодействующая которых Fn направлена к центру кольца и является центростремительной силой. Точки приложения пары сил F1 точки А и В, соответ-
ственно, перенесены в точку С, в которой пересекаются продолжения пары векторов
F1. Из рисунка видно, что при малых углах
Fn = 2F1sin F1 .
2
Согласно условию задачи натяжение F1 кольца должна составлять 1 часть от n
предельной силы F, т.е. F1 = F (n = 3-хкратный запас прочности). Итак, n
Fn = F1 = F . n
47
Приравняем Fn центростремительной силе (так как при вращательном движе-
нии результирующая сила является центростремительной силой), т.е. произведению массы m на центростремительное ускорение:
Fn = F1 = F = m 2R, n
где = 2 .
Таким образом, имеем:
F = m 2R = m (2 )2R. n
Из последнего уравнения находим искомую частоту вращения :
= |
1 |
|
F |
= |
1 |
|
F |
. |
|
|
n mR |
|
|
||||
2 |
|
2 |
|
3 mR |
В частности циклическая частота равна:
= 2 = 2 |
1 |
|
F |
= |
F |
. |
2 |
|
3 mR |
3mR |
9(2). В известном аттракционе мотоцикл на вертикальной стене мотоцикл движется по внутренней поверхности вертикального цилиндра радиуса R = 10 м по горизонтальному кругу. Какова при этом должна быть минимальная скорость дви-
жения мотоцикла, если известно, что коэффициент трения скольжения между ши-
нами и поверхностью цилиндра = 0,24? Ускорение силы тяжести g = 9,8 м/с2.
Дано: R = 10 м; = 0,24; g = 9,8 м/с2. v - ?
48
Решение. При движении мотоцикла по вертикальной стене (см. рисунок) на него действуют следующие силы: mg – сила тяжести, Fтр – сила трения, N – сила нормального давления (сила упругости). Когда мотоцикл едет с неко-
|
|
|
|
торой минимальной скоростью v, с которой может ехать по горизон- |
||
|
|
|
|
|
||
|
|
Fтр |
тальному кругу, равнодействующая всех сил должна равняться цен- |
|||
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
тростремительной силе, т.е. |
|
||
|
|
|
|
|||
|
|
mg |
m |
v2 |
, |
|
|
|
R |
||||
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где m – масса мотоцикла.
Так как в направлении центра круга проекции mg и Fтр равны нулю,
то получаем, что сила упругости N равна центростремительной силе, т.е.
N = mv2 .
R
Устойчивое движение по горизонтальному кругу возможно, когда сумма про-
екций всех сил, действующих на мотоцикл, на вертикальную ось, равна нулю, т.е.
Fтр mg = 0, |
или |
Fтр = mg. |
А по закону Амонтона-Кулона Fтр = N.
Решая систему из трёх написанных уравнений
N = m |
v2 |
; |
Fтр = mg; |
Fтр = N, |
|
R |
|||||
|
|
|
|
получаем, что
mg = m v2 , R
откуда находим
49
v = gR = 9,8 10 = 20 м/с = 72 км/ч.
|
0,24 |
10(2). Подлетев к неизвестной планете, космонавты придали своему кораблю горизонтальную скорость v = 11 км/с. Эта скорость обеспечила полёт корабля по круговой орбите радиусом r = 9 100 км. Каково ускорение свободного падения у по-
верхности планеты, если ее радиус R = 8 900 км?
Дано: v = 11 103 м/с; r = 9,1 106 м; R = 8,9 106 м. g - ?
Решение. Так как корабль движется по круговой орбите, то равнодействующая всех сил, действующих на корабль, должна равняться центростремительной силе,
т.е. гравитационная сила взаимодействия корабля и планеты должна равняться цен-
тростремительной силе:
G |
mM |
= m |
v2 |
, |
|
r2 |
r |
||||
|
|
|
где М – масса планеты; m – масса корабля;
G – гравитационная постоянная.
Известно выражение для ускорения свободного падения g у поверхности пла-
неты радиуса R (см. выражение (5.3)):
g = G M ,
R2
откуда выражаем GM = gR2 и подставляем в уравнение движения корабля
G |
mM |
= |
m |
gR2 |
= m |
v2 |
. |
|
r2 |
|
r2 |
|
r |
Из последнего выражения находим
50