physics_2_dinamika

91

с = а b = с(cx, cy, cz) = a(ax, ay, az) + b(bx, by, bz) = {ax bx, ay by, az bz}.

Рисунок В.4

Если число векторов больше двух, то их сумма может быть найдена по прави-

лу замыкания ломаной до многоугольника: если приложить вектор а2 к концу векто-

ра а1, вектор а3 к концу вектора а2,..., вектор аn к концу вектора аn 1, то сумма

3) Скалярным произведением двух векторов а и b называют число (скаляр),

равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними (см. рису-

нок В.6):

а

b

аb = (а,b) = а b = b a = (b,a) = а b cos = аb cos .

Рисунок В.6

94

Если два вектора а и b определены своими проекциями на оси координат, т.е.

а = {ах, ау, аz}; b = {bx, by, bz}, то скалярное произведение этих векторов равно сумме произведений соответствующих проекций на соответствующие оси координат:

а b = ах bx+ ау by+ аz bz.

4) Векторным произведением векторов а и b называется вектор с, обозначае-

мый символом

с= а,b = а b,

смодулем, равным произведению длин векторов а и b на синус угла между ними:

с = с = аb sin .

Вектор с перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы а и b, причём

Длина (или модуль) векторного произведения а,b равна площади S паралле-

лограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах а и b. Если с = = а,b = {сx, сy, сz}, то составляющие (проекции) вектора с выражаются через со-

ставляющие (проекции) векторов а ={ах , ау, аz} и b = {bx , by, bz} по правилу:

cx = ау bz аz by; cy = аz bx ах bz; cz = ах by ау bx.

95

Смешанные векторные произведения записываются так:

6 Производная

Если некоторая непрерывная функция y = f(x) определена на некотором интер-

вале, то всякое изменение х на х приводит к тому, что f изменится на f. D этом случае выражение

называется средней скоростью изменения функции на интервале значений аргумен-

тов от х до х + х. Данное отношение показывает, какое изменение f функции при-

ходится на единичное изменение аргумента (т.е. как бы х = 1).

На интервале х функция f(x) может существенно менять свой ход (отличаться от хода линейной функции). Это значит, что на этом интервале скорость изменения функции будет меняться от места к месту. Но совершенно ясно, что всегда можно выбрать интервал х столь малым, что на нём ход функции f(x) практически будет неотличим от хода линейной функции. Такие интервалы значений аргументов будем называть элементарными (или малыми) и обозначать dx. Соответствующие измене-

ния функции обозначают df и называют элементарными (или малыми). Такого рода малые величины dx, df. … называют ещё дифференциалами от величин x, f и т.д.

Величина f = df называется первой производной функции y = f(x) по аргуdx

менту x, а ее смысл мгновенная скорость изменения функции, т.е. по существу всё та же средняя скорость ее изменения, но на столь малом интервале dx, на кото-

ром f(x) не отличается существенно от хода линейной функции. Из сказанного ясно,

что данную производную можно определить как предел отношения:

96

В приведённом примере для производной кроме y можно использовать и другие обозначения:

y = dy = df = y x = f x. dx dx

Физический смысл производной. Производная

f

f (x) = lim

x 0 x

характеризует быстроту (скорость) изменения функции f(x) при изменении аргумен-

та x. В частности, если y = f(x) представляет зависимость пути у от времени х, то в этом случае производная y определяет мгновенную скорость в момент времени х.

Если же, скажем, y = f(x) определяет величину заряда у, протекающего через попе-

речное сечение проводника в зависимости от времени х, то в этом случае производ-

ная у = f (x) определяет силу тока в момент времени х.

Геометрический (графический) смысл производной. Из рисунка В.8 видно, что

f = tg .

x

Отношение

называют угловым коэффициентом (см. рисунок В.9). Таким образом, по геометри-

ческому смыслу f и df суть тангенсы угла наклона секущей и касательной кx dx

97

графику f(x) соответственно. Таким образом, производная от f(x) по х геометриче-

ски характеризует крутизну графика f(x) в каждой точке х, которая нас заинтересу-

ет. Ясно, что из f = df следует df = f dx. dx

f(x+ x)

Для сложной функции f(x) = f z(x) производная по аргументу х равна

Так, например, для f(x) = sinz, при z = kx, f(x) = sinkx, и

Производную от первой производной называют второй производной и обозна-

чают

В частности, если y = f(x) представляет зависимость пути у от времени х, то в этом случае вторая производная y = f (х) представляет собой ускорение точки в момент времени х.

98

изменении какого-либо одного из аргументов при постоянных значениях остальных аргументов. Для частных производных справедливы все свойства обычных произ-

водных. Конечно, вместо переменных x, y, z, t можно взять и другой набор перемен-

ных и в любом их количестве.

Если x, y, z являются функциями от t, то при изменении t от t до t + dt другие переменные x, y, z получат вполне определённые приращения dx, dy, dz. Величина

называется полной производной от f по ее основному аргументу t и показывает, как быстро меняется f(x, y, z, t) с изменением ее основного аргумента t (при изменении которого меняются и остальные аргументы x, y, z). Возможен такой случай, когда какая-либо из переменных x, y, z или даже все они вместе не меняются при измене-

df = f . dt t

Возможен и такой случай, когда f не зависит от какой-либо из переменных x, y, z, t.

Тогда соответствующая частная производная будет равна нулю и ( ) опять «укоро-

тится».

Отметим, что f характеризует быстроту изменения f при x = const, y = const,

t

z = const, т.е. при зафиксированной точке. Величина же df характеризует быстроту dt

100