Вариант 10

Решение: Найдем  и :   Подставив в систему  видим, что второе уравнение не обращается в тождество. Подставив в систему  видим, что первое уравнение не обращается в тождество. Подставляя в систему  получаем, что оба уравнения не обращаются в тождество. При подстановке в систему  оба уравнения обращаются в тождество. Следовательно, функции  и  являются решением системы дифференциальных уравнений

  ЗАДАНИЕ N 21 отправить сообщение разработчикам Тема: Линейные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами Общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка  имеет вид …

Решение: Составим характеристическое уравнение  и решим его:  Тогда общее решение исходного уравнения примет вид:  Так как правая часть уравнения не является специальной, будем искать решение методом вариации произвольных постоянных. Так как два линейно независимых частных решения однородного уравнения  то общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде  Для нахождения функций  и   составим систему  Тогда  и  Следовательно,

  ЗАДАНИЕ N 22 отправить сообщение разработчикам Тема: Типы дифференциальных уравнений Уравнение  является …

			уравнением Бернулли
			линейным дифференциальным уравнением первого порядка
			дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными
			однородным относительно x и y дифференциальным уравнением первого порядка

Решение: Уравнение  можно представить в виде  где Действительно,  Поэтому данное уравнение является уравнением Бернулли.

 ЗАДАНИЕ N 23 отправить сообщение разработчикам Тема: Однородные дифференциальные уравнения Интегральные кривые уравнения  имеют вид …

 ЗАДАНИЕ N 24 отправить сообщение разработчикам Тема: Сходимость числовых рядов Даны числовые ряды: А) В) Тогда …

			ряд А) сходится, ряд В) расходится
			ряд А) расходится, ряд В) расходится
			ряд А) сходится, ряд В) сходится
			ряд А) расходится, ряд В) сходится

 ЗАДАНИЕ N 25 отправить сообщение разработчикам Тема: Область сходимости степенного ряда Интервал сходимости степенного ряда  имеет вид …

			(– 7; – 1)
			(– 13; 5)
			(– 9; 9)
			(– 3; 3)

 ЗАДАНИЕ N 26 отправить сообщение разработчикам Тема: Числовые последовательности Из числовых последовательностей     не является сходящейся последовательность …

 ЗАДАНИЕ N 27 отправить сообщение разработчикам Тема: Поверхности второго порядка Сфера с центром  проходит через точку  Тогда ее уравнение имеет вид …

 ЗАДАНИЕ N 28 отправить сообщение разработчикам Тема: Прямая на плоскости Прямая проходит через точку  перпендикулярно прямой   Тогда общее уравнение этой прямой имеет вид …

 ЗАДАНИЕ N 29 отправить сообщение разработчикам Тема: Плоскость в пространстве Общее уравнение плоскости, проходящей через точку  перпендикулярно прямой  имеет вид …

 ЗАДАНИЕ N 30 отправить сообщение разработчикам Тема: Прямоугольные координаты на плоскости Даны вершины треугольника   и Тогда треугольник  ABC …

			равнобедренный
			прямоугольный и равнобедренный
			прямоугольный
			равносторонний

  ЗАДАНИЕ N 31 отправить сообщение разработчикам Тема: Ряд Фурье. Теорема Дирихле Коэффициент a₀ в разложении в ряд Фурье функции   в ряд косинусов на отрезке  равен …

			0

Решение: Воспользуемся формулой:   Тогда

 ЗАДАНИЕ N 32 отправить сообщение разработчикам Тема: Гармонические колебания Модуль ускорения точки, совершающей гармонические колебания, с амплитудой  угловой частотой  и начальной фазой   в момент времени  равен …

			2

  ЗАДАНИЕ N 33 отправить сообщение разработчикам Тема: Периодические функции Наименьший положительный период функции  равен …

Решение: Представим функцию в виде  Период данной функции совпадает с периодом функции cos 16x и равен

  ЗАДАНИЕ N 34 отправить сообщение разработчикам Тема: Элементы гармонического анализа Функцией, ортогональной к функции   на  является …

Решение: Функции  и  называются ортогональными на   если  Функция  на  является нечетной, поэтому функция  в данной задаче должна быть четной, так как тогда произведение  будет нечетной функцией, а интеграл от нечетной функции по симметричному интервалу равен нулю. Проверим функции на четность:  – функция общего вида;  – нечетная функция;  – нечетная функция;  – четная функция. Тогда функцией, ортогональной к функции   на  может служить функция

  ЗАДАНИЕ N 35 отправить сообщение разработчикам Тема: Базис и размерность линейного пространства Совокупность векторов    можно принять за базис трехмерного линейного пространства, если  равно …

			– 5
			2
			1
			– 3

Решение: Совокупность линейно независимых векторов называется базисом линейного этого пространства. Значит, совокупность 3 векторов является базисом, если вектора линейно независимы, то есть определитель, составленный из координат этих векторов, не равен нулю. Составим определитель для данной совокупности векторов Этому условию удовлетворяет, например,

 ЗАДАНИЕ N 36 отправить сообщение разработчикам Тема: Умножение матриц Даны матрицы  и  Тогда матрица  имеет вид …

 ЗАДАНИЕ N 37 отправить сообщение разработчикам Тема: Вычисление определителей Определитель  равен …