Вопрос 13.

Сложная ф-ция.

Если y является ф-цией от переменной u, а u в свою очередь ф-ция от x, то ф-ция y=[u(x)] называется ф-цией от ф-ции.

Переменная u называется промежуточной переменной.

Примечание: сложная ф-ция может иметь несколько промежуточных переменных.

Вопрос 14.

Преобразования графиков.

Если известен график ф-ции y=f(x), то с помощью некоторых преобразований можно построить графики более сложных ф-ций.

1. График ф-ции y=-f(x) получается из графика ф-ции y=f(x) симметрией относительно оси Ox.

2. y=f(-x) – симметрия относительно оси Oy.

3. y=kf(x) – k>1 – растяжение в k раз вдоль оси Oy; 0<k<1 – сжатие в 1/k раз вдоль оси Oy.

4. y=f(kx) – k>1 – сжатие в k раз вдоль оси Ox; 0<k<1 – растяжение в 1/k раз вдоль оси Ox.

5. y=f(x+a) – a>0 – сдвиг (параллельный перенос) влево вдоль оси Ox на |a|; a<0 - сдвиг (параллельный перенос) вправо вдоль оси Ox на |a|.

6. y=f(x)+a - a>0 – сдвиг вверх вдоль оси Oy на |a|; a<0 - сдвиг вниз вдоль оси Oy на |a|.

7. y=|f(x)| - часть графика, лежащая выше оси Ox остаётся, а лежащая ниже оси Ox симметрично отображается вверх относительно оси Ox.

8. y=f(|x|) – часть графика, лежащая правее Oy, остаётся и симметрично отображается влево относительно оси Oy, остальная часть графика (лежащая левее Oy) отбрасывается.

Вопрос 16.

Числовая последовательность. Способы задания последовательностей.

Определение: Если каждому числу n из натурального ряда чисел 1,2,3,…,n,… поставлено в соответствие вещественное число x_n, то множество вещественных чисел x₁,x₂,x₃,…,x_n,… называется числовой последовательностью или просто последовательностью.

Числа x₁,x₂,x₃,…,x_n,… - элементы (или члены) последовательности.

x_n – общий элемент (или член) последовательности, а n – его номер.

Сокращённо последовательность обозначают символом {x_n}.

Последовательность считается заданной, если указан способ получения любого её элемента.

Вопрос 17.

Арифметические действия над числовыми последовательностями.

Пусть даны две последовательности {x_n} и {y_n}.

Произведение последовательности {x_n} на число m есть последовательность mx₁,mx₂,…,mx_n,…

Суммой данных последовательностей назовём последовательность x₁+y₁,x₂+y₂,…,x_n+y_n,…;

Разностью – последовательность x₁-y₁,x₂-y₂,…,x_n-y_n,…;

Произведением – последовательность x₁y₁,x₂y₂,…,x_ny_n,…;

Частным – последовательность x₁/y₁,x₂/y₂,…,x_n/y_n,…;

Вопрос 18.

Ограниченная и неограниченная последовательности.

Определение 1: Последовательность {x_n} называется ограниченной сверху (снизу), если существует число M (число m) такое, чтолюбой элемент x_n этой последовательности удовлетворяет неравенству x_nM (x_nm).

Определение 2: Последовательность {x_n} называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, т. е. существуют числа m и M такие, что любой элемент x_n этой последовательности удовлетворяет неравенствам mx_nM.

Пусть A = max{|m|,|M|}. Тогда условие ограниченности последовательности можно записать в виде |x_n|A.

Определение 3: Последовательность {x_n} называется неограниченной, если для любого положительного числа A существует элемент x_n этой последовательности, удовлетворяющий неравенству |x_n|>A (т. е. либо x_n>A, либо x_n<-A).

Из данных определений следует, что если последовательность ограничена сверху, то все её элементы принадлежат промежутку (-,M]; если она ограничена снизу – промежутку [m,+ ), а если ограничена и сверху и снизу – промежутку [n,M]. Неограниченная последовательность может быть ограничена сверху (снизу).