Критерий устойчивости Гурвица.

Пусть САУ имеет один параметр настройки . Для выделения об­ласти значений , обеспечивающих устойчивость САУ запишем все условия устойчивости - положительность всех главных диагональных миноров до «» при . В частном случае может входить и в . Равенство нулю миноров соответствует границе устойчивости.

Если построить зависимости , , то значение параметра , удовлетворяющие условию устойчивости, будет лежать на оси абсцисс в той области зна­чений , для которых миноры положительны.

Если САУ имеет два параметра настройки и , то приравняв нулю получим уравнение границы устойчивости в плоскости двух пара­метров. Задаваясь значениями одной из них, по каждому уравнению можно найти значение другого и построить линии границы устойчивости. При этом плоскость параметров и будет разделена на области. Для определения области, удовлетворяющей условию устойчивости, необходимо из каждой области взять одну точку и проверить на устойчивость.

САУ находится на границе устойчивости, если характеристиче­ское уравнение имеет нулевые или мнимые корни.

Для построения области устойчивости в плоскости двух параметров необходимо приравнять нулю вещественную и мнимую часть годографа Михайлова:

. (6.27)

Решая их относительно и , находим, и . Исключив из них , получим искомую границу устойчивости .

Область устойчивости в плоскости двух параметров определяется проверкой одной точки каждой области. Эту процедуру можно упростить, если выполнить штриховку кривых по методу Неймарку. Для этого на каждой кривой, определяющей границу устойчивости, берется точка и находится определитель

. (6.28)

Если он положителен, то штриховку делаю слева, если смотреть в сторону увеличения , и справа, если . Прямые, соответствующие бесконечному и нулевому корню, штрихуются так, чтобы в местах сближения с кривыми их штриховки совпадали. Наиболее вероятным претендентом на область устойчивости является та, которая имеет наибольшее количество штриховок.

Критерий Найквиста - Михайлова.

Возможны два варианта: и принадлежат одному звену; и принадлежат различным звеньям.

В первом случае АФХ разомкнутой системы представляют в таком виде:

.

Граница устойчивости определяется соотношениями:

; .

В нашем случае ;

.

Отсюда

; . (6.29)

Рисунок 6.9 - Выделение области устойчивости

Рисунок 6.10 - Выделение области устойчивости по методу Неймарка

№ 20 Критерии апериодичности переходных процессов

Апериодическим называется переходный процесс, при котором регулируемая величина приближается к установившемуся значению без колебаний.

Критерии апериодичности переходного процесса

Критерий А.М.Каца базируется на вещественности корней характеристического уравнения. Корни характеристического уравнения будут вещественными, если полином удовлетворяет условию устойчивости, где -получается из характеристического уравнения заменой на в производной по от .

Это утверждение легко доказать.

Если в подставить , то получим

.

Если удовлетворяет условию устойчивости, то вещественная и мнимая части , т.е. и имеют вещественные перемежающиеся корни. Но корни вещественны относительно , что равносильно вещественности корней относительно . Поскольку система устойчива, то они отрицательны.

Построив для границу устойчивости, мы тем самым строим границу апериодичности для . Степень в два раза выше степени , поэтому условия апериодичности будут сложнее условий устойчивости.

Критерий Л.Эйлера позволяет получить условие апериодичности переходного процесса по коэффициентам характеристического уравнения. При этом корни характеристического уравнения могут быть комплексно-сопряженными с отрицательными вещественными частями.

Если характеристическое уравнение записать в форме

,

то для апериодичности переходного процесса необходимо, чтобы для любых смежных коэффициентов выполнялось условие:

, (7.4)

где - степень характеристического уравнения; - индекс проверяемого коэффициента, .

Невыполнение хотя бы одного из неравенств следует считать признаком отсутствия апериодической устойчивости.

Критерий Штурма, в виде теоремы, из которой вытекает условие апериодичности.

Ряд Штурма образуется следующим образом:

где - характеристическое уравнение САУ; - производная от по ; - остаток от деления на , взятый с обратным знаком.

Недостаток рассмотренных критериев состоит в том, что они не учитывают свойств возмущений, действующих на САУ (не учитывают правую часть дифференциального уравнения).

№ 21 Оценка качества САУ по расположению корней характеристического уравнения

Рассмотрим характеристическое уравнение САУ:

. (7.6)

Если при имеем , то ему соответствует составляющая переходного процесса:

, (7.7)

если есть пара комплексно-сопряженных корней , то для них

. (7.8)

Как видно из выражений (7.7) и (7.8), интенсивность затухания переходного процесса определяется величиной отрицательной вещественной части корня. Потребуем, чтобы все составляющие переходного процесса за время уменьшилась не менее чем в раз. Тогда

. (7.9)

Поскольку огибающей составляющей переходного процесса является экспонента, за которую кривая не выходит, то, предположив, что точки и находятся на ней, получим:

. (7.10)

откуда

. (7.11)

Условие (7.11) указывает на то, что если по модулю отрицательная часть всех корней характеристического уравнения (7.6) будет не менее , т.е. все корни будут располагаться левее прямой, проведенной на комплексной плоскости параллельно оси ординат на расстоянии слева, то каждая составляющая переходного процесса уменьшается за время не менее чем в раз (рисунок 7.1).

Рисунок 7.1 - Оценка абсолютной Рисунок 7.2 - Оценка относительной

степени затухания степени затухания

№ 22 Интегральные оценки качества САУ

рис. 7.4

Наиболее простым интегральным критерием качества САУ является критерий учитывающий интеграл отклонений регулируемой величины.

, (7.19)

где . Здесь - регулируемая величина, - установившееся значение регулируемой величины (рисунок 7.4). Этим критерием можно пользоваться только в случае знакопостоянства . САУ тем лучше, чем меньше , т.е. чем меньше площадь, ограниченная кривой и прямой (рисунок 7.4).

Вычислить интеграл (7.19) можно двумя способами. В первом способе учитывается то, что является фактически свободной составляющей процесса, поскольку отсчитывается от нового установившегося состояния.

Второй метод вычисления :

Пусть САУ имеет передаточную функцию

и (7.22)

Рисунок 7.5 - Вид колебательных процессов

Интегральный квадратичный критерий качества:

(7.24)

Оценка качества САУ по может производиться для случая колебательных систем (рисунок 7.5). Однако частота колебаний при этом не учитывается. Параметры САУ стремятся выбрать так, чтобы квадратичная оценка приняла минимальное значение. Для этой цели выражают через эти параметры и затем ищут их значения, минимизирующие значения из уравнений:

; , ,

где , , - варьируемые параметры.

Лишен недостатка, присущего , улучшенный квадратичный критерий качества:

, (7.25)

где - некоторая постоянная времени, учитывающая долю влияния скорости изменения регулируемой величины на .

При получаем обычный квадратичный критерий качества.

№ 23 Оценка качества САУ по частотным характеристикам

Рассматривая запас устойчивости САУ по модулю и фазе, было установлено, что они определяются расположением на комплексной плоскости АФХ разомкнутой системы. Для обеспечения соответствующих параметров (запаса устойчивости по модулю и фазе) необходимо, чтобы АФХ разомкнутой САУ не заходила в определенную зону на комплексной плоскости (рисунок 7.6).

Рисунок 7.6 - Запретная зона для АФХ разомкнутой САУ

№ 24 Способы улучшения качества САУ

Основным требованием к системе автоматического управления является ее устойчивость, а также количественные показатели, характеризующие динамику переходных процессов и установившееся движение системы, т.е. показатели качества ее функционирования.

Введение производной в закон регулирования

Введение интеграла в закон регулирования

Создание инвариантных САУ

Создание комбинированных САУ

САР.

(А – точка перегиба) Показатели: y(max) – макс значение переходной функции а перех процессе, t(max) –время достижения первого макс, y(уст) – установившиеся значение вых координаты после окончания перех процесса, σ - перерегулирование σ = y(max)-y(уст) σ%=( y(max)-y(уст) )/ y(уст)*100%, t(н) – время нарастания, t(з)- время задержки, ν – число колебаний в перех процессе, Δ – трубка точности (5%), t(пп) – время перех процесса.

Перех процесс считают законченным, когда выходн координата в последний раз вошла в трубку точности и не вышла из нее.

№ 25 Инвариантные САУ

САУ называется инвариантной по отношению к возмущающему воз­действию, если после завершения переходного процесса, определяе­мого начальными условиями, регулируемая величина и ошибка систе­мы не зависят от этого воздействия.

САУ называется инвариантной по отношению к задающему воздейст­вию, если после завершения переходного процесса, определяемого начальными условиями, ее ошибка не зависит от этого воздействия.

При нулевых начальных условиях

где - передаточная функция САУ,

В соответствии с правилами определения оригинала функции при отсутствии кратных корней

(8.4)

где - корни полинома ;

- корни полинома .

Вынужденная составляющая будет тождественно равна нулю, если:

- входное воздействие отсутствует;

- условие абсолютной инвариантности (равенство нулю пе­редаточной Функции замкнутой САУ по отношению к возмущающему воз­действию).

Корни совпадают с корнями и и сомножители, соответст­вующие им, можно сократить. Этот случай соответствует частичной инвариантности, когда САУ будет инвариантна только к определенному виду возмущений.

Под частичной инвариантностью (до ) понимается не тождественное равенство нулю вынужденной составляющей, а приближенное, мерой выполнения которого является некоторая величина .

№ 26 Многомерные автоматические системы

Принципиальной особенностью многомерных автоматических систем (MAС) является наличие перекрестных межконтурных связей. Связи осуществляются как через моменты САУ, так и через внутренние каналы в объекте регулирования, имеющем несколько регулируемых величин (давления, температура, концентрация и т.д.).

Связь выходных и входных величин можно представить с помощью передаточной матрицы.

В матричной форме уравнение объекта записывается так:

, (8.7)

Перекрестные связи, существующие вследствие физических осо­бенностей объекта или устройства, называются естественными. Искусственно вводимые перекрестные связи, служащие для придания МАС желаемых свойств, называются корректирующими. При этом связь называется прямой перекрестной, если сигнал передается в направлении прохождения основного сигнала, и обратной перекрестной связью, если сигнал передается против прохождения основного сигнала.

Матричное звено характеризует передачу воздействия в линей­ной динамической системе и отражает зависимость каждого выхода системы от каждого ее входа.

Совокупность входных сигналов образует вектор входа, выходных - вектор выхода.

Для многосвязного регулятора входным вектором будет , выходным . Уравнение регулятора в матричной форме

. (8.8)

Структурная схема замкнутой МАС изображена на рисунке 8.7.

Условие автономности МАС, разомкнутой по основным обратным связям, является необходимым и достаточным условием автономности замкнутой МАС по задающим воздействиям.

Благодаря наличию в МАС естественных перекрестных связей ус­ловия инвариантности можно добиться без введения дополнительных связей, принцип двухканальности здесь осуществляется структурой самой системы.

№ 27 Связь переходного процесса с частотными характеристиками.

Переходный процесс – процесс изменения во времени различных переменных системы (фазовых и выходных переменных, отклонений и т.д.), в ходе которого система изменяет своё состояние.

Если в перед. функции заменить оператор p на jω , то передаточная функция превращается в частотную передаточную функцию.

В соответствии с определением передаточной функции для исследования част. хор. звена необходимо добавить синусоид. переменные сигнала с постоянной величиной амплитуды.

№ 28 Особенности нелинейных систем

САУ называется нелинейной в том случае, если хотя бы одно звено системы описывается нелинейным уравнением, обладает нелинейной характеристикой. Линейные системы становятся нелинейными, если хотя бы в одном звене системы имеется какое-либо отклонение от линейной зависимости. Нелинейные системы, а точнее теория их изучения становится более важной для практики по мере повышения требований к качеству процессов и к точности расчета САУ.

№ 29 Основные виды нелинейностей

Статические нелинейности – нелинейности статических характеристик. Они могут быть непрерывными или релейными

Динамические нелинейности – нелинейности связанные с дифференциальными уравнениями динамики звена. Примерами динамических нелинейностей могут служить любые нелинейные дифференциальные, разностные или интегральные уравнения.

№ 30 Метод гармонической линеаризации

Метода анализа динамики систем, описываемых нелинейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами, которые в случае периодического сравнения сигналов выражаются разрывными функциями с конечными и бесконечными разрывами – обобщенный метод гармонической линеаризации – основан на трёх допущениях:

• вместо текущих сигналов рассматриваются их огибающие, что даёт возможность вдвое снизить порядок дифференциального уравнения;

• управляемый элемент – безынерционное параметрическое звено – заменяется каскадным соединением сумматора и нелинейного элемента;

• автоматический переключатель в случае периодического сравнения сигналов заменяется эквивалентным вычитающим устройством.

Принятые допущения позволяют упростить исходную замкнутую систему и привести её к эквивалентной нелинейной. В этой нелинейной системе легко выделить нелинейную часть, описываемую нелинейным алгебраическим уравнением, и приведенную линейную, которая описывается линейным дифференциальным уравнением с постоянными коэффициентами. Замкнутая система может быть проанализирована методом гармонической линеаризации в классическом виде.     Для анализа устойчивости целесообразно рассматривать два случая:

1. Входной сигнал равен нулю и нелинейность симметрична относительно начала координат.

2. Входной сигнал не равен нулю и (или) функция преобразования несимметрична относительно начала координат.

    В первом случае находится коэффициент гармонической линеаризации для нелинейного элемента и составляется линейное дифференциальное уравнение замкнутой системы. Для анализа устойчивости рассматривается однородное дифференциальное уравнение с правой частью, равной нулю. Затем производится замена , в результате чего дифференциальное уравнение превращается в алгебраическое в комплексной плоскости. Поскольку комплексное число равно нулю, тогда и только тогда, когда отдельно равны нулю действительная и мнимая части, получаем два алгебраических уравнения с двумя неизвестными – амплитудой колебаний А и угловой частотой ω.     Если входной сигнал не равен нулю и функция преобразования нелинейного звена несимметрична относительно начала координат, в выражение коэффициента гармонической линеаризации кроме амплитуды А входит ещё и постоянная составляющая входного сигнала нелинейного элемента. Её легко определить из уравнений статики. Для этого полагаем и находим искомый входной сигнал нелинейного элемента.

Преимуществом обобщённого метода гармонической линеаризации является возможность решения двух главных задач автоматического управления: анализа и синтеза замкнутой системы с учётом максимального значения коэффициента гармонической линеаризации. Недостатком метода является сравнительно низкая точность, из-за чего он может быть рекомендован для предварительной оценки устойчивости и качества.

№ 31 Дискретное преобразование Лапласа