2.2 Уравнение динамики двухъемкостного объекта

Примером двухъемкостного объекта может служить гидравлическая система, состоящая из двух баков, накапливающих жидкость, если регулируемой величиной является уровень в одном из баков, а управляющими воздействиями служат приток или отбор жидкости из баков, как это показано на рисунке 2.4.

Рисунок 2.4 Расчетная схема двухъемкостного объекта

В электрических системах в качестве накопителей могут служить емкости или индуктивности, в тепловых системах тепловая энергия накапливается в элементах, обладающих значительной теплоемкостью, например, в змеевиках нагре­вателей, в массе вещества, стенках аппаратов и т.д. Для каждой отдельной емкости, независимо от физической природы процессов, может быть записано дифференциальное уравнение, имеющее одну и ту

№ 13 Общие положения об устойчивости САУ

Система автоматического управления будет называться устойчивой, если выведенная из состояния равновесия и предоставленная самой себе она возвращается в исходное состояние.

Вид переходного процесса в САУ определяется суммой двух составляющих - свободной и вынужденной. Устойчивость линейной САУ не зависит от внешнего воздействия, а определяется видом свободной составляющей переходного процесса.

Свободная составляющая переходного процесса находится как общее решение линейного однородного уравнения

, (5.1)

где - отклонение регулируемой величины от исходного установившегося состояния.

Поскольку решение уравнения (5.1) определяется корнями характеристического уравнения

, (5.2)

то, следовательно, устойчивость САУ будет зависеть от вида корней уравнения (5.2).

В случае различных вещественных корней

. (5.3)

САУ:

будет устойчива, если при;

нейтральна, если при ;

неустойчива, если при .

Если хотя бы один корень характеристического уравнения САУ вещественный-положительный или пара комплексно-сопряженных корней имеет положительные вещественные части, то САУ неустойчива.

Немецкий математик Гурвиц предложил критерий, позволяющий не решая характеристического уравнения, определить отрицателность вещественных частей его корней, т.е. устойчивость САУ.

№ 14 Алгебраический критерий Гурвица

Если характеристическое уравнение САУ имеет вид , то система автоматического управления будет устойчива, если при будут положительны все главные диагональные миноры определителя Гурвица до порядка.

Определитель Гурвица составляется следующим образом: по диагонали записывают коэффициенты от до , над диагональю записывают коэффициенты с возрастающим индексом, под диагональю - с убывающим, недостающие коэффициенты заменяются нулями. Например, для системы, имеющей характеристическое уравнение 4-й степени, получим

. (5.5)

Поскольку , то при соблюдении необходимого условия устойчивости (положительность всех коэффициентов) достаточно чтобы положительными были диагональный минор. Очевидным является также утверждение, что при будет иметь место нулевой корень характеристического уравнения, т.е. система будет находиться на границе устойчивости. Если , а , то в характеристическом уравнении будут чисто мнимые корни, и она также будет на границе устойчивости. При этом все главные диагональные миноры до порядка должны быть положительными.

Критерий Гурвица удобен для исследования систем с характеристическим уравнением невысокой степени (до пятой).

№ 15 Частотный критерий устойчивости Михайлова

Если в характеристическом уравнении положить , то получим годограф Михайлова

(5.6)

Найдем угол поворота элементарного вектора при изменении  от до (рисунок 5.1). При этом могут быть два случая: корень находится в левой полуплоскости комплексной плоскости, т.е. имеет отрицательную вещественную часть; корень находится в правой полуплоскости комплексной плоскости.

Если корень в левой полуплоскости, то при вектор направлен вниз. При увеличении вектор поворачивается против часовой стрелки ( в положительном направлении ) и при направлен вверх, т.е.

Если корень находится в правой полуплоскости, то вектор повернется аналогично предыдущему случаю только по часовой стрелке, т.е.

Вектор представляет произведение элементарных векторов (5.6), поэтому, если все корни характеристического уравнения (5.2) находятся в левой полуплоскости комплексной полуплоскости, т.е. САУ устойчива, то

Из выражения (5.6) следует, что

(5.7)

где

Вещественная часть равна есть частная функция , поэтому ветвь , построенная при изменении от до 0, будет симметрична ветви при изменении от 0 до . При этом приращение аргумента будет в два раза меньше. Если САУ имеет характеристическое уравнение, корни которого находятся в левой полуплоскости, то

Поскольку необходимое условие требует положительности и наличия всех коэффициентов характеристического уравнения, то для устойчивой САУ .

САУ будет устойчива, если годограф Михайлова, начинаясь на положительной вещественной полуоси, последовательно проходит в положительном направлении (против часовой стрелки) "" квадрантов при изменении от 0 до ,

где - степень характеристического уравнения.

Рисунок 5.1 - Вращение элементарных векторов

Если годограф Михайлова непоследовательно проходит квадранты комплексной плоскости или проходит не "" квадрантов, то САУ неустойчива.

№ 16 Критерий устойчивости Найквиста - Михайлова

С помощью критерия устойчивости Найквиста-Михайлова по стационарным свойствам разомкнутой САУ можно судить о нестационарных свойствах замкнутой.

Известно, что характеристическое уравнение замкнутой САУ, определяющее ее устойчивость, получается приравниванием нулю знаменателя передаточной функции замкнутой системы, т.е. .

Обозначим тогда

(5.8)

Если в выражении (5.8) заменить на , то в числителе получим годограф Михайлова для замкнутой системы, а в знаменателе - для разомкнутой. При этом степень числителя и знаменателя будут одинаковы и, если замкнутая и разомкнутая системы устойчивы, то

.

На комплексной плоскости это обозначает, что вектор при изменении от 0 до не поворачивается вокруг точки , или что вектор не охватывает на комплексной плоскости точку при изменении от 0 до (рисунок 5.3).

Таким образом, если разомкнутая САУ устойчива и ее АФХ не охватывает на комплексной плоскости точку с координатами , то замкнутая САУ будет устойчива.

Если разомкнутая САУ неустойчива и имеет неустойчивых корней, а замкнутая САУ устойчива, то

Таким образом, если разомкнутая САУ неустойчива и имеет неустойчивых корней, то для устойчивости САУ в замкнутом состоянии необходимо, чтобы АФХ разомкнутой системы охватывала в положительном направлении точку на комплексной плоскости с координатами раз.

№ 17 Устойчивость САУ с запаздыванием

Если САУ имеет чистое запаздывание, то ее устойчивость можно определить только по критерию Найквиста-Михайлова, поскольку характеристическое уравнение будет иметь бесконечное множество корней из-за наличия сомножителя , делающего его трансцендентным.

Действительно, пусть .

Тогда характеристическое уравнение замкнутой системы будет

Раскладывая функцию в степенной ряд, получаем:

Перемножив члены ряда на , получим характеристическое уравнение степени «k», где k, что и требовалось доказать.

Систему с чистым запаздыванием можно рассматривать как предельную систему без запаздывания и звена чистого запаздывания, включенного последовательно:

(5.11)

Из выражения (5.11) следует, что наличие чистого запаздывания не изменяет амплитудно-частотную характеристику, модуль АФХ остается прежним, но изменяется фаза векторов - каждый из них поворачивается по часовой стрелке на угол . Поскольку значения модуля АФХ, как правило, больше при малых частотах, то наличие чистого запаздывания приводит к «разбуханию» АФХ, и она может охватить на комплексной плоскости точку с координатами .

Для определения критического значения , при котором САУ еще устойчива, проводят из начала координат комплексной плоскости единичным радиусом окружность. Точка пересечения ее с АФХ характеризует частоту , при которой Зная , можно найти  (рисунок 5.5).

(5.12)

Построив АФХ разомкнутой САУ, можно найти запас устойчивости замкнутой САУ по модулю и по фазе (рисунок 5.5,б). Запас устойчивости по фазе есть угол . Запас устойчивости по модулю иногда определяют по расстоянию от точки пересечения АФХ с отрицательной вещественной осью до минус единицы, иногда как величину , где - расстояние от точки пересечения АФХ с отрицательной вещественной осью до начала координат.

№ 18 Статическая ошибка регулирования

Устойчивость САУ является необходимым условием ее применения, но недостаточным. Системы работают в различных режимах и при раз­личных входных воздействиях. При этом качество системы оценивается по величине ошибки , поучаемой в процессе работы, которая должна быть меньше допустимой:

Статическую погрешность регулирования

. (6.12)

Статическая ошибка по управляющему и возмущающему воздействиям можно быть найдена на основании теоремы о предельном переходе. ,

.

Если , то система называется астатической по управляющему воздействию.

Статическая ошибка замкнутой астатической САУ пропорциональна скорости входного сигнала и обратно пропорциональна добротности разомкнутой САУ.

№ 19 Граница и область устойчивости для одного и двух параметров

Для выделения области параметров, обеспечивающих устойчивую работу САУ, используются критерии устойчивости. Рассмотрим приме­нение каждого из них для выделения области устойчивости по одному и двум параметрам.