5. Решение задачи многокритериального оптимального выбора методом нечеткого отношения предпочтения
Методологической основой данного формализованного аппарата является создание на основе исходной информации в результате критериальных парных сравнений по декартову множеству альтернатив (nxn) по принципу «каждая с каждой» обратносимметричных матриц на основе двойной тетрарной шкалы Т.Саати с последующим отысканием векторов локальных приоритетов по каждому из критериев с попутной оценкой степени транзитивности экспертных суждений.
В качестве исходных данных будем использовать ту же табл. 1, но без последней, относящейся к предыдущему методу, строки.
Как уже отмечалось ранее, оба метода различаются лишь способом получения вектора локальных приоритетов U= {uij},i=1,n;j=1,mв п.7 алгоритма решения МК ЗПР.
Метод вычисления вектора локальных приоритетов. В отличие от предыдущего метода, место расчетных формул (11) и (12) занимают следующие положения.
В основу построения решения по каждому из критериев (всего их m) положено векторное уравнение
A∙ n=w. (13)
В уравнении (13) вектор-столбец весов ω представляет собой степени принадлежности альтернативы как нечеткому множеству, носителем которого является исходный список исследуемых альтернатив. Элементы вектора и будут выступать в качестве вектора локального приоритета для каждого критерия {uij} (для каждого столбца табл. 2). МатрицаАпредставляет собой квадратную обратносимметричную матрицу типа «объект-объект», построенную из элементов аij, обладающих свойством
аij= 1 / аji, (14)
а максимальное собственное число матрицы λmaxи ее порядокn(по числу альтернатив) связаны соотношением:
λmax≥n. (15)
В свою очередь, построение матрицы А осуществляется на основе исходной информации (табл. 1) и использованием девятипозиционной (двойной тетрарной) таблицы (табл. 3) [Т.Саати, К.Кернс. Аналитическое планирование. – М.: Радио и связь, 1991], [Борисов А.Н., Крумберг и др. Применение нечетких методов в принятии решений.- Рига: Зинанте, 1990]:
Таблица 3
Двойная тетрарная шкала
-
Значения элементов матрицы аij
Степень сходства сравниваемых альтернатив
1
2
3
4
5
6
7
8
9
нет различий
различия слабые
различия существенные
различия сильные
различия абсолютные
Замечание. В одном из источников (точно не припоминается. – Авт.) по поводу данной шкалы. Королевским указом в Британии (XIII в.) был открыт первый университет. Оценка знаний вагантов: «ниже среднего» - «средние» - «выше среднего». Самый последний из «ниже среднего» награждался деревянной ложкой, заодно получал и одноименную кличку. Но «средних» оказалось много, поэтому среди них – тоже разделили на ниже средних, средних и выше средних. Получилась двойная тетрарная шкала, больше известная нам как «пятибалльная». Помнится, где-то 1993 г. издания монография Т.Саати, где он с логарифмами доказывает эффективность такой шкалы.
Попытаемся далее при расчете вектора локальных приоритетов для первого критерия (первый столбец табл. 1) воспользоваться шкалой табл. 3 для построения матрицы А= { аij} с учетом особенностей (14), оценить степень транзитивности наших экспертных суждений с учетом свойства (15) и организовать решение (13) с привлечением дополнительных вычислительных процедур.
Построение обратносимметричной матрицы для первого критерия. Для этого необходимо провести попарные сравнения по всему множеству альтернативn=3. Тогда для каждого критерия декартово множество будет содержатьzэлементов:
n∙(n– 1) 3∙(3 – 1)
z= ———— = ———— = 3 (парных сравнения). (16)
2 2
Всего с учетом mкритериев для создания вектораUнеобходимо произвести
zsum=z∙m= 3∙3 = 9 парных сравнений, тогда как прежде тот же вектор также состоял из 9-ти компонентов, но которые были найдены применением формул (11) и (12).
Эти сравнения: первая альтернатива со второй, первая с третьей и вторая с третьей. Следовательно, матрица А = { аij},i=1,n;j=1,n(понятно, что текущая переменнаяjздесь «другая», чем дляU) для первого (и для оставшихся двух критериев) будет представлять собой квадратную матрицу типа «объект-объект», в которой необходимо определиться лишь с тремя наддиагональными элементами; остальные находятся по соотношению (14). Поскольку каждый объект (альтернативы МК ЗПР) матрицы подобен сам себе, что означает а11= а22= а33= 1, то в итоге получим рефлексивные обратносимметричные отношения вида (17). Построим их.
Сравнение отображений альтернатив на первый критерий х1и х2– 2 млн. руб. 3 млн. руб. проводим в два этапа. На первом этапе устанавливаем, какая альтернатива лучше (варианты: хуже; равноценны). На втором – степень их различий согласно табл. 3. Понятно, что в контексте критерия «Стоимость» первая альтернатива лучше второй ( х1≻ х2), причем «лучше» со степенью примерно на уровне различий «существенных». Следовательно, по табл. 3 элемент формируемой экспертной матрицыАв лице а12= 5. тогда симметричный ему элемент примет согласно формуле (14) значение а21= 1/5. Два элемента найдены. Остается еще два.
Сравнение отображений альтернатив на первый критерий х1и х3– 2 млн. руб. 1 млн. руб. проводим в также в два этапа. На первом устанавливаем, что в контексте того же критерия «Стоимости» третья альтернатива предпочтительней первой: 1 млн. руб. лучше, чем 2 млн. руб., то есть третья альтернатива лучше первой: х3≻ х1(или первая альтернатива хуже третьей х1≺х3, что одно и то же), со степенью согласно табл. 3 уже чуть больше, чем «существенно». Действительно, если предыдущее сравнение 2 и 3 млн. руб. (различаются в полтора раза) мы оценили как «существенное», то разница между 2 и 1 млн. руб. (различаются уже в 2 раза), быть ниже «существенной» логически никак не может. А еще ведь надо предусмотреть гипотетическую реализацию оценок «сильные» и «абсолютные» различия, для которых сравниваемые отображения альтернатив может различаться уже в разы. Тогда для искомого элемента матрицы а12примем значение, промежуточное между «существенными» и «сильными» различиями: а13= 1/6; тогда а31= 6.
Сравнение отображений альтернатив на тот же первый критерий х2и х3– 3 млн. руб. 1 млн. руб. (различаются уже в 3 раза): в результате выполнения первого этапа устанавливаем, что х2≺х3), в результате второго - а23= 1/7; тогда а32= 7 (согласно табл. 3 «различия сильные»).
Экспертная обратносимметричная матрица Aтипа «объект-объект» (17) по содержанию первого критерия МК ЗПРr1 = «Стоимость» нами создана.
j=1j=2j=3
i=1 │ 1 5 1/6 │
│ │
А = i=2 │ 1/5 1 1/7 │. (17)
│ │
i=3 │ 6 7 1 │
Теперь, на основе матрицы (17) существуют возможности не только отыскать вектор-столбец локальных приоритетов {u1i}, но и оценить степень непротиворечивости наших экспертных суждений при формировании для первого критерия экспертной матрицы, иначе говоря, транзитивность приведенных выше суждений в процессе оценки компонентов (элементов) матрицы аij. Сначала произведем оценкутрензитивности; если построенные нами отношения аijтранзитивны (непротиворечивы), то общее отношение согласованности для матрицы (17) не превысит пороговых 20% (т.н. «нечеткая транзитивность»), то экспертные суждения, построенные на основе содержаний табл. 1 и 3, следует считать приемлемыми, и далее можно принять попутно вычисленные компоненты вектора-столбца локальных приоритетов (см. п. 7 алгоритма). Если же отношение согласованности превысит пороговые 20%, экспертные суждения вида аij.следует пересмотреть (уточнить).
Содержание оценки степени транзитивностипостроенных отношений вида аij. Под транзитивностью суждений в алгебре отношений понимают выполнение следующего правила: «если А лучше В и В лучше С, то А лучше С» или «если А≻ В ∩ В≻ С, то А≻ С» [Ю.А.Шрейдер. Равенство. Сходство. Порядок. – М., 1971]. Сформированные орграфы (матрицы отношений) между указанными объектамиA,BиCявляются транзтивными, если квадрат матрицы отношенийтипа «объект-объект» А= {aij},i,j=1,nсовпадает с транзитивным замыканием А2= Â, которое, в свою очередь, есть объединение всех степеней исходной матрицы отношений: Â =A1UA2UA3U… .
Вычисление вектора-стоблца локальных приоритетов и оценка транзитивности с приемлемой для практики точностью применяют приблизительную методику оценивают следующим образом.
1. Нахождение ненормированных значений вектора-столбца локальных приоритетов bi,i=1,nкак среднего геометрического по строкам матрицыА:
n
bi= ( ∏aij)1/n. (18)
j=1
2. Нормирование результатов (18):
n
bsum = ∑ bi ;
i=1
bi
wi = ——— . (19)
bsum
Степень нечеткой транзитивности экспертных суждений на основании информации, приведенной в табл. 1 и 3 с приемлемой практической точностью применяют приблизительную методику оценивают следующим образом
2. Вычисление максимального собственного числа А - обратносимметричной исследуемой матрицы λmax, удовлетворяющей свойству (15). С приемлемой практической точностью применяют также приблизительную методику. Для этого сначала вычисляют сумму элементов матрицыАпо ее столбцамdj,j=1,n, а затем с учетом (20) и (19) определяют максимальное собственное число матрицы λmax:
n
dj= ∑aij; (20)
i=1
n
λmax= ∑dj∙wi. (21)
i,j=1
3. Вычисление индекса согласованности isчерез применение свойства максимального собственного числа матрицы и ее размерности (15) отношения согласованностиos:
λmax - n
is = ———— . (22)
n - 1
is
os = ——— ∙ 100%. (23)
sch(n)
В формуле (23) sch(n) является случайным числом, отражающим элемент случайности в выборе степени различий сравниваемых альтернатив и зависящим от размера матрицы. Так, дляn=3sch(3)=0,58; дляn=4sch(4)=0,90 и т.д. Затем полученное значениеos% сравнивается с пороговымosпорог = 20% (в отдельных случаях величина порогового значения решением ЛПР может быть уменьшено до 10%).
Если вычисленное в формуле (23) значение os% не превышает (меньше или равно) назначенного порогового значенияosпорог , суждения экспертов при построении обратносимметричной матрицы вида (17) принимаются как транзитивные (непротиворечивые), и вектор-столбец, вычисленный по формуле (19) принимается как часть вектора локальных приоритетовUпо рассматриваемому критерию и заносится в соответствующий столбец итоговой рабочей таблицы (табл. 2). Если же в формуле (23) значениеos% превышает назначенного порогового значенияosпорог , суждения экспертов при построении обратносимметричной матрицы вида (17) как транзитивные не принимаются и подлежат пересмотру, а попутно вычисленные в (19) значения вектора-столбцаwiв качестве части вектора локальных приоритетовUне принимаются.
На материалах матрицы (17) рассматриваемого модельного примера необходимо последовательно реализовать действия согласно выражениям (18) – (23).
Практические расчеты вектора локальных приоритетов на данных модельного примера(табл. 1).
По выражениям (18) и (19) находим среднее геометрическое по строкам матрицы (17), сумму средних геометрических и вектор-столбец локальных приоритетов:
b1 = ( a11 ∙ a12 ∙ a13 )1/3 = ( 1 ∙ 5 ∙ 1/6 )1/3 = ( 0,8333)1/3 ≈ 0,9410;
b2 = ( a21 ∙ a22 ∙ a23 )1/3 = ( 1/5 ∙ 1 ∙ 1/7 )1/3 = ( 0,0285)1/3 ≈ 0,3057;
b3 = ( a31 ∙ a32 ∙ a33 )1/3 = ( 6 ∙ 7 ∙ 1 )1/3 = ( 42,0000)1/3 ≈ 3,4760.
bsum = (b1 + b2 + b3 ) = (0,9410 + 0,3057 + 3,4760 ) = 4,7227.
w1 = 0,9410 / 4,7227 = 0,1992;
w2 = 0,3057 / 4,7227 = 0,0647;
w3 = 3,4760 / 4,7227 = 0,7360.
В случае корректного определения компонентов вектора локальных приоритетов должно соблюдаться требования к нормированию (2), проверим его:
n
∑ wj= (0,1992 + 0,0647 + 0,7360) = 0,9999 ≈ 1,00..
j=1
Элементы столбца-вектора по первому критерию рассчитаны корректно.
Далее рассчитываем сумму элементов матрицы А вида (17) последовательно по столбцамdjдляj=1,j=2,j=3 с помощью выражения (20) и максимальное собственное значение матрицы λmaxпо выражению(21):
d1 = (a11 + a21 + a31) = (1 + 1/5 + 6) = 7,200;
d2 = (a12 + a22 + a32) = (5 + 1 + 7) = 13,000;
d1 = (a13 + a23 + a33) = (1/6 + 1/7 + 1) = 1, 309.
λmax = d1∙w1 + d2∙w2 + d3∙w3 = 7,200∙0,1992 + 13∙0,0647 + 1,309∙0,736 =
= 1,433 + 0,845 + 0,963 = 3,241.
Из последнего выражения становится очевидным смысл свойства обратносимметричных матриц (15): максимальное собственное число не может быть меньше размерности самой матрицы λmax≥n. Действительно, 3,267 > 3 и мера данного неравенства может быть положена в основу оценки степени нечеткой транзитивности отношений, приведенных в матрице (17).
Далее по формулам (22) и (23) последовательно определяем индекс согласованности и отношение согласованности:
3,241 - 3 0,241
is= ————— = ——— = 0,120.
3 – 1 2
0,120
os= ——— ∙ 100% = 0,2068 ∙ 100% = 20,7 %..
0,58
При сравнении с пороговым значением в 20% видим, что рассчитанное нами значение отношения согласованности os= 20,7% >osпорог = 20%: транзитивность построенных отношений по исходным данным табл. 1 в шкале табл.3 недостаточна, и вектор-столбец локальных приоритетов (w1= 0,199;w2= 0,065;w3= 0,736) по первому критерию в качествеистинногопринят быть не может. Для коррекции суждений необходимо уточнить наши предпочтения при повторном построении матрицы отношений вида (17).
Примечание. Вид вектора-столбца в приведенном выше виде wi(с одним индексомi) означает, что он в табл. 2 займет место вектора-столбцаuij, то есть в силу того, что табл. 2 заполняется нами последовательно от критерия к критерию, то для первого критерия в табл.3 местоu11займет элемент w1, местоu12займет элемент w2, местоu13займет элемент w3,
Коррекция экспертных предпочтений. При построении отношений при формировании матрицыАважно предварительно оценивать «размах выборки» в пределах отображений альтернатив на тот или иной критерий. Уточним наши предпочтения по первому критерию (17) в виде новой матрицы отношений (24):
j=1j=2j=3
i=1 │ 1 3 1/4 │
│ │
А = i=2 │ 1/3 1 1/6 │. (24)
│ │
i=3 │ 4 6 1 │
Тогда, повторив все расчеты по выражениям (18) – (23) получим: λmax= 3,0536;is= 0,0268;os= 4,62% < 20%. Компоненты вектора локальных приоритетовw1= 0,218 (прежнее значение = 0,199);w2= 0,091 (прежнее значение = 0,065);w3= 0,691 (прежнее значение 0,736). Отличия новых значений – весьма незначительны, в пределах 3% или 0,03 – в относительных единицах. Построенные отношения транзитивны, полученные компоненты вектора локальных приоритетов принимаются к дальнейшим расчетам. Тогда искомые компоненты вектора локальных приоритетов для новой рабочей таблицы (табл. 4) примут вид:u11=w1;u21=w2;u31=w3.
Далее построим такую же экспертную матрицу для второго критерия «Площадь» (25):
j=1j=2j=3
i=1 │ 1 3 1/4 │
│ │
А = i=2 │ 1/3 1 1/7 │. (25)
│ │
i=3 │ 4 7 1 │
Проведя расчеты по выражениям (18) – (23) получим: λmax= 3,0323;is= 0,0161;os= 2,79% < 20%. Компоненты вектора локальных приоритетовw1= 0,210;w2= 0,084;w3= 0,705. Построенные отношения транзитивны, полученные компоненты вектора локальных приоритетов принимаются к дальнейшим расчетам. Тогда искомые компоненты вектора локальных приоритетов для второго критерия табл. 4 примут вид:u12=w1;u22=w2;u32=w3.
Далее построим такую же экспертную матрицу для третьего критерия «Площадь» (26):
j=1j=2j=3
i=1 │ 1 4 9 │
│ │
А = i=2 │ 1/4 1 4 │. (26)
│ │
i=3 │ 1/9 1/4 1 │
Проведя расчеты по выражениям (18) – (23) получим: λmax= 3,1806;is= 0,0184;os= 3,18% < 20%. Компоненты вектора локальных приоритетовw1= 0,717;w2= 0,217;w3= 0,066. Построенные отношения транзитивны, полученные компоненты вектора локальных приоритетов принимаются к дальнейшим расчетам. Тогда искомые компоненты вектора локальных приоритетов для второго критерия табл. 4 примут вид:u13=w1;u23=w2;u33=w3.
Таблица 4
Вектор локальных приоритетов и вектор U
глобальных приоритетов V
Номера альтернатив i |
Имена элементов множества альтернатив хi |
j=1 критерий r1= «Стоимость», млн. руб. |
j=2 критерий r2 =«Площадь» кв. м |
j=3=m критерий r3 = «Время», минуты |
Вектор
V |
Ω1 = 0,50 |
ω2 = 0,33 |
ω3 = 0,17 |
| ||
i=1 i=2 i=3=n |
x1 = «дом А» x2 = «дом B» x3 = «дом C» |
u11= 0,218 u12 = 0,091 u13 = 0,691 |
u21 = 0,211 u22 = 0,084 u23 = 0,705 |
u31 = 0,717 u32 = 0,217 u33 = 0,066 |
v1=0,300 v2=0,110 v3=0,589 |
λmax : is : os%: |
3,0536 0,0268 4,62% |
3,0323 0,0161 2,79% |
3,0368 0,0184 3,18% |
|
Далее – по формулам (9) и (10) придем к выводу также о доминировании третьей альтернативе над остальными: выбираем альтернативу «дом С» как оптимальную, удовлетворяющую лучшим образом по отношению к остальным альтернативам по всем критериям одновременно. Если же критерии принять равноважными, с весом по 0,33, то приоритеты сохранятся, однако степень принадлежности (комплексный, интегральный рейтинг) первой альтернативы с 0,300 повысится до 0,382 (на 8,2%), второй – с 0,110 до 0,131 (на 3,1%), третьей – с 0,589 понизится до 0,487 (на 10,2%).
Сравнение табл. 2 и 4 показывает достаточно наглядную разницу: метод нечеткого отношения предпочтения более адекватный в выборе оптимального многокритериального решения, однако применение его сопряжено с заметными трудозатратами, особенно с ростом числа принятых к рассмотрению альтернатив. Вместе с тем данный метод является незаменимым при отсутствии информации по отображениям альтернатив на тот или иной критерий: такая информация добывается как бы неявно путем применения попарных сравнений при формировании матриц вида Апо каждому критерию.
Авторская система принятия многокритериальных решений методом нечеткого отношения предпочтений реализована в виде комплекта компьютерных программ с развитым интерфейсом пользователя в среде FoxPro2.5 и апробирована по оболочке в Центре программных исследований Российской академии наук (ЦПИ РАН) в 1993 г. Комплект программ предполагалось ЦПИ РАН использовать при выборе наиболее перспективных исполнителей академических х/д НИР различного назначения по 26-ти критериям.
Последняя из опубликованных работ была направлена на определение оптимального места размещения логистического центра среди регионов Приволжского федерального округа – РТ, Самарской и Нижегородской обл. по 39-ти критериям. Исходные данные для моделирования и полученные результаты приведены в Приложении1. В качестве средства моделирования процесса решения МК ЗПР использовалась методика АК&M(публикация 2012 г.).
Заключение
Таким образом, одна и та же проблема – наилучший из возможных случаев (оптимальный) выбор был осуществлен двумя методами на одних и тех же статистических исходных данных.
Данный метод может быть использован студентами как в текущем учебном процессе, написании квалификационных работ, так и для практического решения проблем, далеко выходящих за рамки чисто учебного процесса.
В качестве примера приведены Приложения и последующие материалы из статей автора, которая достаточно наглядно иллюстрируют возможности одного из методов МК ЗПР – АК&М.
Приложение 1
Таблица 5
Частные критериальные оценки конкурсных альтернатив в различных шкалах для оценки размещения логистических центров (ЛЦ)
Критерии
|
Альтернативы | ||
Республика Татарстан
|
Самарская область
|
Ниже городская область | |
|
Выгодное |
Не очень выгодное |
Не очень выгодное |
|
Центральное |
Центральное |
Периферийное |
|
Точно на пересечении |
Вдали от пересечения |
Вдали от пересечения |
|
Дополнительные возможности |
Отсутствие доп.возможностей |
Отсутствие доп. возможностей |
|
Оптимальная |
Оптимальная |
Большая |
|
Густонаселенная |
Густонаселенная |
Густонаселенная |
|
Близко |
Близко |
Близко |
|
Высокая |
Средняя |
Средняя |
|
Сильная |
Средняя |
Слабая |
|
Многофункциональная |
Только промышленные товары |
Многофункциональная |
|
Мультимодальная |
Мультимодальная |
Ж/д и автоперевозки |
|
Широкая |
Узкая |
Узкая |
|
Крупнейший |
Крупный |
Локальный |
|
Значительная |
Средняя |
Средняя
|
|
Планируется |
Не планируется |
Не планируется |
|
Существенный |
Средний |
Не существенный |
|
Реально высокая |
Средняя |
Низкая |
|
Невысокая |
Невысокая |
Невысокая |
|
Интегральная |
Узкоспециальная |
Среднесециальная |
|
До 30 млн т |
До 30млн т |
До 10 млн т |
|
Высокая |
Высокая |
Низкая |
|
Высокая |
Высокая |
Высокая |
|
Высокая |
Высокая |
Высокая |
|
Надежная |
Средняя |
Надежная |
|
Высокая |
Средняя |
Высокая |
|
Средняя |
Высокая |
Средняя |
|
Высокая |
Высокая |
Низкая |
|
17136,5 |
8243 |
15700 |
|
11427,7 |
7427,7 |
14915 |
|
990 |
1389 |
1234 |
|
885 |
719 |
1039 |
|
28,8 |
38 |
19 |
|
240 |
255 |
71,9 |
|
93,8 |
79,4 |
|
|
140,8 |
170,7 |
55,4 |
|
3,4 |
2,4 |
2,2 |
|
70 |
270 |
200 |
|
250 |
70 |
300-400 |
|
590 |
нет данных (оценивается экспертно) |
273,5 |
Была проведена структуризация перечисленных в табл. 5 39-ти критериальных показателей (в скобках указаны номера критериев из табл. 5).
1. Технические показатели ЛЦ (12 критериальных показателей):
1.1. По расстоянию (28 - 31);
1.2. По объемам перевозок видами транспорта (32 - 36);
1.3. По возможностям складов (37 - 39).
2. Макро-показатели ЛЦ (16 показателей). В этом блоке представлены традиционные и инновационные показатели оценки ЛЦ, в т.ч. такие которые используются Европейским институтом транспорта (Париж, Франция) [16]:
2.1. Традиционные показатели оценки потребителей (20 – 27);
2.2. Макроэкономические показатели (10 – 13);
2.3. Инновационные показатели (15 – 18).
3. Степень включенности ЛЦ в МТК по набору товаров (2 показателя):
3.1. Степень региональной транзитности (14);
3.2. Степень интегративности ЛЦ (19).
4. Институциональный блок (3 показателя) (4, 8, 9).
5. Экономико-географический блок (6 показателей):
5.1. Географические показатели (1 – 3);
5.2. Степень урбанизации региона (5 – 7).
Полученные результаты решения МК ЗПР методом АК&Mприведены в табл. 6
Таблица 6
Результаты решения МК ЗПР для различных сценариев развития
N |
Наименование региона |
Интегральный рейтинг, баллы | ||
Без пп.8,9 ГОМ ЛОМ | ||||
1 2 3 |
Республика Татарстан Самарская область Нижегородская область |
76,1 33,0 25,9 |
88,3 36,3 25,9 |
79,1 42,9 38,1 |
В табл. 6 приведен интегральный рейтинг регионов – альтернатив, где ГОМ – государствнно-ориентированная модель, когда в качестве приоритетов рассматриваются социальные аспекты (см. табл. 5); ЛОМ – либерально-ориентированная модель, когда приоритеты отдаются только экономическим аспектам. РТ с позиций 39-ти критериев по размещению логистического центра – предпочтительнее других альтернатив при любых сценариях развития.
___________