Статистическая теория радиотехнических систем

Рис. 4.5 – Структурная схема оптимального дискриминатора

4.6 Оптимальная оценка амплитуды детерминированного сигнала при наличии белого гауссова шума

Корень уравнения — МП оценка параметра a:

Рис. 4.6 – Структура оптимального измерителя амплитуды полностью известного радиоимпульса

Определим среднее и дисперсию полученной оценки. Полагая истинное значение амплитуды равным a0, найдем:

где τИ — величина, равная в данном случае длительности радиосигнала:

T

τИ = S Sn2(t)dt.

0

В итоге для дисперсии оценки получаем соотношение [9]:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Таким образом, дисперсия оценки амплитуды радиосигнала с известными остальными параметрами пропорциональна интенсивности белого шума и обратно пропорциональна длительности радиоимпульса.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.7 Статистические характеристики оценок максимума правдоподобия

Вычисление дисперсии оптимальных оценок при произвольном отношении сигнал/шум часто является весьма сложной задачей. Практический же интерес представляет режим работы измерительной РТС, в котором обеспечивается достаточно высокая точность. В противном случае измерения просто теряют смысл. В большинстве случаев СКО параметра не превышает 5–10% от измеряемой величины. Высокая точность в оптимальных РТС обеспечивается при достаточно большом отношении»энергии сигнала к спектральной плотности мощности белого шума: обычно q0 = (2Es~N0) (3 ÷5).

При больших величинах q0 для определения статистических характеристик оценки λˆOMП успешно применяется метод малого параметра, под которым понимают величину ε = q−0 1 [9]. Рассмотрим кратко этот метод, полагая параметр λ неэнергетическим.

Используя (3.47) и замечание из п. 4.3, представим функционал правдоподобия

стоянная величина в (4.58), как и ранее, отброшена, поскольку она не влияет на конечный результат.

функцией, которая была введена в первой главе (см. (1.10), (1.11)) при изучении меры различия сигналов. В соответствии с логикой введения этой функции она

интервале наблюдения). Очевидно, что в первом приближении можно положить:

Ψ(λ) = ε2 ddλz(λ),

которая определяет скорость изменения логарифма ФП по параметру λ и явно зависит от малого параметра ε.

На рисунке 4.7 условно показаны логарифм ФП и его сигнальная часть. Представим функцию Ψ(λ) в окрестности истинного значения λ в виде ряда Тейлора. Тогда при учете в разложении только линейной части ряда0 значение Ψ(λˆMП) = 0 можно представить в виде

Рис. 4.7 – Логарифм ФП z(λ) и его сигнальная функция zs(λ)

После введения соответствующих нормировок для zs(λ; λ0) и zn(λ) из (4.60)̃ с учетом (4.59) получаем алгебраическое уравнение для случайной поправки λ в виде

Величина B определяет кривизну нормированной сигнальной функции:

в точке λ0.

Величина A является случайной и определяет (в первом приближении) нормированное приращение логарифма ФП, обусловленное влиянием шума. Нормированная шумовая функция ˘zn(λ) = zn(λ)~q0 и ее среднее ˘zn = 0.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Для определения среднего и дисперсии ̃оценки λˆМП найдем соответствующие характеристики поправки λ. Согласно (4.61) A = 0,

так как ˘z = 0. Таким образом, в первом приближении при большом

n ~

отношении 2Es N0 максимально правдоподобная оценка параметра является несмещенной.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Непосредственной проверкой можно показать, что корреляционная функция ˘zn(λ1)˘zn(λ2) = ˘zs(λ1; λ2). Таким образом, величина дисперсии DA = A2 определяется

в данном случае значением второй производной от нормированной сигнальной функции и имеет вид:

В (4.63) знак «минус» обусловлен тем, что вторая производная от сигнальной функции в максимуме отрицательна. Окончательно с учетом (4.61), (4.63) и (4.59) для дисперсии МП оценки неэнергетического параметра получим:

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Таким образом, при большом отношении q20 = 2Es~N0 дисперсия МП оценки параметра λ обратно пропорциональна величине этого отношения и значению кривизны автокорреляционной функции регулярного сигнала по параметру λ в точке λ0, т. е. в максимуме АКФ.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Применение формулы (4.64) для расчета дисперсии максимально правдоподобной оценки параметра сигнала иногда может дать результат, достижение которого в реальном измерителе практически теряет смысл. В частности, подобная ситуация возникает при оценке времени задержки τ0 ВЧ радиоимпульса s(t−τ0) с полностью известными параметрами. Рассмотрим подробнее суть вопроса.

Как следует из п. 4.5, формирование оценки τˆ предполагает наличие в уст-

МП( τ)

ройстве обработки генератора опорного сигнала s t − . Поскольку фактически необходимо определить взаимное положение на оси времени двух сигналов, то момент начала отсчета времени при этом не имеет значения и можно полагать τ0 = 0.

На основе (4.58) с учетом (4.62) нормированная сигнальная функция в задаче оценки временной задержки сигнала имеет вид:

˘zs(τ; τ0 = 0) = (1~Es)ST s(t)s(t −τ)dτ,

0

который полностью совпадает с выражением (1.16) для временной автокорреляционой функции k(τ) ВЧ сигнала s(t). В п. 3.2 было показано, что сигнальная часть отклика на выходе согласованного фильтра также повторяет по форме АКФ k(τ). Вид этой функции для радиоимпульсов с прямоугольной и гауссовой огибающей показан на рисунках 1.10 и 1.11.

или

корреляционного типа.

Рис. 4.8 – Оптимальный измеритель начальной фазы гармонического радиосигнала

Используя соотношение (4.64), вычислим дисперсию оценки D3ˆ MП . С этой целью, учитывая (4.58), запишем нормированную сигнальную функцию (4.62):

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Выводы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Таким образом, дисперсия МП оценки начальной фазы радиосигнала, поступающего на вход приемника в смеси белым гауссовским шумом, обратно пропорциональна отношению с/ш по мощности и не зависит от вида амплитудной и фазовой модуляции радиоимпульса.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Напомним, что величина q20 = 2Es~N0 соответствует максимальному отношению мощностей сигнала и шума на выходе согласованного с полезным сигналом фильтра.

4.9 Информация по Фишеру. Неравенство Крамера — Рао

Нельзя не обратить внимания, что определение МП оценок параметров сигнала и анализ их точности в наших выкладках всякий раз приводили к необходимости рассмотрения логарифма функционала правдоподобия (ЛФП) ln [L(λ)] = = ln [W(y~λ)]. Можно предположить, что этот факт обусловлен гауссовым видом ПРВ аддитивного шума. Однако это не так, и суть указанного совпадения несколько глубже. Она связана с понятием количества информации о неизвестном параметре λ, которое содержится в случайной выборке y.

Это понятие играет фундаментальную роль и было введено в теории оценок Р. А. Фишером.

Рассмотрим понятие количества информации. Будем полагать, что выборка образована совокупностью {yi} n независимых случайных величин с одинаковой ПРВ. Таким образом, условная ПРВ выборки и она же функция правдоподобия параметра λ имеет вид:

Последующие выкладки и результаты связаны с предположением о регулярности ФП (см. также п. 4.2.2). Они состоят в том, что L(λ; y), а также ее первая и вторая производные по параметру λ должны быть непрерывны по λ равномерно относительно y и ФП должна допускать дифференцирование под знаком интеграла в (4.70). Следует отметить, что эти требования выполняются для многих важных вероятностных моделей, встречающихся в практических задачах, в частности для ПРВ Гаусса и Пуассона, а также биномиального, гамма-распределения вероятностей и др.

Рассмотрим случайную величину

которую называют вкладом (или функцией вклада) выборки y [5]. Каждое i-е слагаемое в правой части (4.71) определяет вклад i-го наблюдения, i = 1, . . ., n. Будем полагать, что случайная величина v имеет конечный второй момент, т. е. M [v2(y; λ)] < < ∞ для всех λ Λ, где Λ— интервал возможных значений неизвестного параметра. При выполнении условий регулярности ФП путем дифференцирования тожде-

Таким образом, для регулярных моделей выборочных данных среднее значение вклада — математическое ожидание производной от ЛФП по λ, равно нулю.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Количество информации по Фишеру о параметре λ, содержащееся в случайной выборке y объема n определяется соотношением:

формации, содержащимся в одном наблюдении. Из (4.73) для нее получим:

Следует обратить внимание на тот факт, что общее количество информации in, содержащееся в независимой выборке y, есть сумма количеств информации ii, содержащихся в ее отдельных элементах yi. Почему так получается? Вообще говоря, это не противоречит здравому смыслу — должна же накапливаться (суммироваться) информация по мере увеличения наблюдений, содержащих ее. Но почему «придуманные» формулы подтверждают это? Ответ почти очевиден. Причин здесь две.