5.2.1 Примеры расчета переходных процессов операторным методом

Пример первый.

На вход схемы, состоящей из двух параллельно соединённых ветвей (рис. 5.10), в момент времени t=0 подаётся скачок напряжения величиной U₀=2 В.

Найти зависимость входного тока от времени i(t) при нулевых начальных условиях.

Параметры схемы равны:

R=0,5 кОм, L=0,1 Гн, С=2 мкФ.

Рис. 5.10. Параллельный колебательный контур

Операторная схема замещения рассматриваемой электрической цепи представлена на рисунке 5.11.

Рис. 5.11. Операторная схема замещения цепи рисунка 5.10

Расчёт

Закон Ома в операторной форме имеет вид:

= _, (5.38)

где операторная проводимость равна:

. (5.39)

Изображение определяется выражением:

. (5.40)

Подставив значения ив формулу (5.38), получим:

(5.41)

Переходим от изображения входного тока к оригиналу:

(5.42)

График зависимости i(t) представлен на рисунке 5.12.

Рис. 5.12. График зависимости тока i(t) от времени

Пример второй.

На вход изображенной на рисунке 5.13 схемы в момент времени t=0 подается скачок напряжения величиной U₀ = 1 B.

Рис. 5.13. Электрический фильтр

Найти зависимость входного тока i₁ от времени t при нулевых начальных условиях.

Численные значения параметров элементов схемы: С = 10 мкФ, R = 10 Ом, L = 400 мГн.

Расчёт

Операторная схема замещения электрической цепи изображена на рисунке 5.14.

Рис. 5.14. Операторная схема замещения цепи рисунка 5.13.

Записывая уравнения по первому и второму законам Кирхгофа в операторной форме, получим:

Решая эту систему уравнений относительно изображения найдем:

Подставляя вместо его значение, равное, получим:

где

Для перехода от изображения к оригиналу воспользуемся теоремой разложения:

где корни многочлена;– производная многочлена.

Найдем эти корни, приравнивая к нулю:

.

Из уравнения следует, что .

Корни инайдем, приравнивая к нулю второй сомножитель уравнения:

Решая уравнение, находим:

Подставляя численные значения, получим:

Найдем значения ,,:

Определим

Находим значения ,,

Подставляя полученные значения в формулу для оригинала, получим:

Таким образом:

График зависимости представлен на рисунке 5.15.

Рис. 5.15. График зависимости i(t)

5.3 Расчет переходного процесса методом, основанным

на использовании интеграла Дюамеля

Отклик цепи на произвольное воздействие, являющееся непрерывной функцией времени, можно определить с помощью интеграла Дюамеля:

(5.43)

где – начальное значение воздействия;

переходная функция; переходная функция, в которойt заменено на .

Переходной функцией является реакция цепи при подключении ее в момент временик источнику единичного напряжения или тока, называемого единичной функцией

Таким образом, зная отклик цепи на единичную функциюс помощью интеграла Дюамеля (5.43), можно найти отклик цепина произвольное воздействие.

Если воздействующая функция имеет различные выражения на разных интервалах времени и имеет или нет скачки, то интервал интегрирования разбивается на отдельные участки, а реакция цепи записывается для отдельных интервалов времени [4]. Например, для функции, изображенной на рисунке 5.16, интервал интегрирования разбивается на три участка.

Рис. 5.16. Входное воздействие сложной формы

На первом участке от 0 до (не включая скачок) получим:

На участке от до(не включая скачок) реакция цепи будет иметь вид:

Слагаемоеобусловлено положительным скачком входного воздействия в момент времени.

На третьем участке от дореакция цепиопределяется следующим образом:

Слагаемое обусловлено отрицательным скачком воздействия в момент времени.

Метод интеграла Дюамеля можно использовать для определения отклика цепи на произвольное воздействие и в случае, когда известна реакция этой цепи на действие единичного импульса тока или напряжения, называемого дельта-функцией. Дельта-функция характеризует собой единичный импульс и определяется следующими равенствами:

Реакция цепи на действие дельта-функции называется импульсной характеристикой. Импульсная характеристика связана с переходной функциейследующим соотношением:

Реакция цепи на произвольное воздействиепо известной импульсной характеристикеопределяется по формуле:

(5.44)

При расчетах необходимо учитывать основные свойства дельта-функции: