- •17. Пространство Rm . Последовательности в Rm и их свойства.
- •19. Теорема о непрерывном образе линейно связного множества и ее следствия.
- •22. Т. Достаточное условие дифференцируемости.
- •25. Частные производные высшего порядка. Теорема о равенстве смешанных производных. Непрерывно дифференцируемые и k-непрерывно дифференцируемые функции. Дифференциалы первого и высших порядков.
- •26. Т. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
- •27. Локальный экстремум функции многих переменных. Необходимое условие локального экстремума. Достаточное условие локального экстремума.
- •35. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Теоремы о непрерывности, о дифференцировании и об интегрировании интеграла по параметру.
19. Теорема о непрерывном образе линейно связного множества и ее следствия.
Т. о непрерывном образе линейно связного мн-ва. Пусть функция непрерывна на множестве Х и множество Х –линейно связно. Тогда множество тоже линейно связно.
Следствие. Пусть функция f: X->R определена и непрерывна на линейно связном мн-ве Х ∈ Rm и принимает на нем значение А и В. Тогда эта функция принимает любое значение на промежутке между А и В.
20. Частные производные функции многих переменных. Дифференцируемость в точке функции многих переменных. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции. Теорема о существовании частных производных у дифференцируемой функции.
Частной производной функции f по первой переменной в точке называют предел
Если он существует, и обозначают или или D1 ,
Пусть точка является внутренней точкой области определения функции f. Функция f называется дифференцируемой в точке , если приращение функции в этой точке можно представить в виде:
, где функции непрерывны в точке .
Т. о непрерывности дифференцируемой функции. Если функция f дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.
Т. о существовании частных производных у дифференцируемой функции. Если функция f дифференцируема в точке , то в этой точке в нее существуют все частные производные при всех k=1,…,m , где
Док-во. По условию дифференцируемости функции в точке имеем
. Поделим обе части равенства на и перейдем к пределу при . . Аналогично для частных производных по остальным переменным.
21. Геометрический смысл условия дифференцируемости функции двух переменных. Касательная плоскость и вектор нормали к графику дифференцируемой функции.
Плоскость с уравнением называется касательной плоскостью к графику функции z = f(x,y) в точке
Записывая уравнение касательной плоскости в каноническом виде получается, что вектор ( является нормальным вектором касательной плоскости. Его называют нормальным к графику функции в точке .
22. Т. Достаточное условие дифференцируемости.
Если у функции f в некоторой окрестности точки существуют все частные производные и они непрерывны в ,, то функция f дифференцируема в точке .
Док-во.
Проведем док-во для функции двух переменных f(x,y) и точки (x0,y0).
Представим приращение функции f: .
Выражение в первой скобке можно рассматривать как приращение функции одной переменной x на [ . Применяя формулу Лагранжа, найдем такое, что .
Т.к. производная непрерывна в точке , то , где – бесконечно малая функция при ( .
Аналогично для второй скобки.
Таким образом, . Последнее равенство – условие дифференцируемости функции f в точке ( ).
23. Т. о дифференцирование сложной функции.
.
Пусть функция f дифференциуема в точке , функции при всех i=1,…,m дифференцируемы в точке и . Тогда композиция функций f и дифференцируема в точке и при любом j=1,…,k верно
Док-во.
Т.к. функция f дифференцируема в точке , то , где функции непрерывны в точке при i=1,…,m.
Поскольку и , то
Т.к. функции дифференцируемы в точке при всех i=1,…,m, то найдутся непрерывные в точке функции такие, что
и Тогда
Последнее равенство означает условие дифференцируемости функции вточке . И при всех j=1,…,k
24. Производная по направлению и вектор градиент. Свойства вектора градиента.
Можно расписать подробнее: .
Т. Если функция f дифференцируема в точке , то для любого единичного вектора существует производная функции f в точке по направлению вектора и верно равенство
.
Док-во. следует из теоремы о дифференцировании сложной функции.
Градиентом дифференцируемой в точке функции f называют вектор
.
Св-ва вектор градиента:
1) вектор градиент указывает направление, по которому функция f имеет максимальную производную в точке .
2) значение производной функции f по направлению, определенному градиентом этой функции в точке , равно длине вектора градиента