матанал / Dom_kontr_3
.pdfДомашняя контрольная работа 3 семестр
Инструкция по составлению варианта.
Номер варианта студента группы 211 совпадает с порядковым номером в списке группы. Номер варианта студенты группы 212 - порядковый номер студента в списке гр.212 + 20.
Контрольная работа состоит из восьми заданий. В каждом задании десять пунктов, из которых нужно выбрать один. Выбор пункта в задании производится по строке, состоящей из шестидесяти чисел ai; i = 1; 2; : : : 60:
Строка для вычисления пунктов в заданиях:
3, 5, 1, 8, 6, 4, 2, 10, 7, 9, 4, 7, 5, 6, 8, 1, 3, 2, 10, 4, 5, 10, 7, 8, 6, 2, 10, 3, 1, 9, 5, 4, 7, 2, 8, 6, 10, 1, 9, 3, 2, 4, 8, 6, 5, 7, 2, 9, 4, 10, 1, 8, 3, 2, 5, 7, 6, 10, 4, 8 и далее замыкаем на начало строки.
Для варианта с номером n нужно взять в этой строке числа
an; an+1; an+2 и так далее
Это означает, что в задании 1 - пункт an; в задании 2 - пункт an+1 и так далее.
Например, вариант 4:
8; 6; 4; 2; 10; 7; 9; 4:
Студенты, получившие зачет по первой контрольной, выполняют задания части 2, то есть задания 4-8.
Часть 1
Задание 1
Вычислить двойной интеграл.
|
RR |
1. |
xydxdy; y = x2; y2 = x; |
|
G |
|
RR |
2. |
xdxdy; y = x3; x + y = 2; x = 0; |
G
1
3. |
RR xydxdy; xy = 6; x + y 7 = 0; |
|
|
|
||||||
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
RR |
xy2dxdy; x2 + y2 = 4; x + y 2 = 0; |
||||||||
|
G |
sin(x + y)dxdy; y = x; x + y = ; y = 0; |
||||||||
5. |
RR |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6. |
RR |
(2x + y)dxdy; |
D = fx2 + y2 R2; y xg; |
|||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
RR |
(x + 2y)dxdy; |
D = fx2 + y2 R2; y xg; |
|||||||
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
RR |
xy3dxdy; D = fx2 + y2 a2; y p3xg; |
||||||||
D |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
RR |
|
dxdy |
2 2 |
|
|
||||
9. |
|
|
; D = f(x; y) : 9 x + y 25g; |
|||||||
D |
|
x2+y2 1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
RR |
|
ln(x2+y2) |
D = f(x; y) : 1 x2 + y2 9; y 0g; |
||||||
10. |
|
|
|
dxdy; |
||||||
|
|
x2+y2 |
D
Задание 2
Вычислить криволинейный интеграл.
R
1.(x+y)ds; ãäå C- контур треугольника с вершинами O(0; 0); A(1; 0); B(0; 1):
C
R
2.(2x + y)ds; ãäå C- ломаная ABOA; ãäå A(1; 0); B(0; 2); O(0; 0):
C
R
3.xyds; ãäå C- граница квадрата с вершинами (1; 0); (0; 1); ( 1; 0); (0; 1):
|
C |
|
R |
4. |
x2ds; ãäå C- дуга окружности x2 + y2 = a2; y 0: |
|
C |
|
Вычислить криволинейный интеграл второго рода по плоской кри- |
|
вой, пробегаемой в направлении возрастания параметра t: |
|
R |
5. |
ydx xdy; ãäå C - эллипс x = a cos t; y = b sin t; 0 t 2 : |
|
C |
6. |
y2dx + x2dy; ãäå C - верхняя половина эллипса x = a cos t; y = |
|
C |
|
Rb sin t: |
Вычислить криволинейный интеграл второго рода по замкнутой плоской кривой, ориентированной потив хода часовой стрелки.
2
7. |
|
(x2 + y2)dx; ãäå C - граница прямоугольника, образованного пря- |
||
|
C |
|
x = 1; x = 3; y = 1; y = 5: |
|
|
ìûìè |
|||
|
R |
|
||
8. |
C (x2 2xy)dx + (x 2y)2dy; ãäå C - граница прямоугольника, обра- |
|||
|
зованного прямыми |
x = 0; x = 2; y = 0; y = 1: |
||
|
R |
|
|
|
9. |
C (3x2 y)dx+(1 2x)2dy; ãäå C - граница треугольника с вершинами |
|||
|
(0; 0); (1; 0); (1; 1): |
|
||
|
R |
|
|
|
10. |
C (x2+y2)dx+(x2 y2)dy; ãäå C - граница треугольника с вершинами |
|||
|
(0; 0); (1; 0); (0; 1): |
|
||
|
R |
|
|
|
Задание 3
Вычислить поверхностный интеграл.
RR
1. |
S |
(x + y + z)dS; ãäå S - часть плоскости x + 2y + 4z = 4; x 0; y |
||||||
|
0; |
z |
|
0: |
|
|||
|
|
|
|
|||||
2. |
RRS |
(x + y + z)dS; ãäå S - часть сферы x2 + y2 + z2 = 1; z 0: |
||||||
3. |
RRS |
(x2 + y2 + z)dS; ãäå S - часть сферы x2 + y2 + z2 = a2; z 0: |
||||||
4. |
RRS |
(x2 + y2)dS; ãäå S - сфера x2 + y2 + z2 = R2: |
||||||
5. |
RRS |
(x2 + y2 + z2)dS; ãäå S - сфера x2 + y2 + z2 = R2: |
||||||
6. |
RRS |
ydzdx; ãäå S - внешняя сторона сферы x2 + y2 + z2 = R2: |
||||||
7. |
RRS |
x2dydz; ãäå S - внешняя сторона сферы x2 + y2 + z2 = R2: |
||||||
8. |
RR |
(x5 +z)dydz; ãäå S - внутренняя сторона полусферы x2 +y2 +z2 = |
||||||
|
||||||||
|
S |
|
|
|
|
|
: |
|
|
R2; z |
|
0 |
|||||
|
RR |
|
|
|
||||
9. |
x2y2zdxdy; ãäå S - внутренняя сторона полусферы x2 + y2 + z2 = |
|||||||
|
||||||||
|
S |
|
|
|
|
|
: |
|
|
R2; z |
|
0 |
|||||
|
|
|
|
|
3
10. RR(z2 y2)dydz + (x2 z2)dzdx + (y2 x2)dxdy; ãäå S - внешняя
S
сторона полусферы x2 + y2 + z2 = R2; z 0:
Часть 2
Задание 4
Разложить в ряд Фурье функцию f(x) на указанном промежутке и нарисовать график суммы ряда.
1.f(x) = x на интервале ( ; ):
2.f(x) = jxj на интервале ( ; ):
3.Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = 2x; 0 < x < ; продолжив ее на промежуток ( ; 0) четным образом, и нарисовать
график суммы ряда.
4. Разложить в ряд Фурье функцию
(
f(x) = x; 0 x =2;=2; =2 x < ;
продолжив ее на промежуток ( ; 0) четным образом, и нарисовать график суммы ряда.
5. Разложить в ряд Фурье функцию
(
f(x) = x; 0 x =2;=2; =2 x < ;
продолжив ее на промежуток ( ; 0) нечетным образом, и нарисовать график суммы ряда.
6.Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = 2x; 0 < x < ; продолжив ее на промежуток ( ; 0) четным образом, и нарисовать график суммы ряда.
7.Разложить функцию f(x) = x; 0 x ; в ряд Фурье по косинусам.
4
8.Разложить функцию f(x) = cos 2x; 0 x ; в ряд Фурье по синусам.
9.Разложить в ряд Фурье на (0; ) по косинусам функцию
(
f(x) = =2 x; 0 x =2; 0; =2 x < ;
и нарисовать график суммы ряда.
10.Разложить в ряд Фурье по синусам функцию
(
1; 0 < x < =2;
f(x) =
0; =2 < x < ;
и нарисовать график суммы ряда.
Задание 5
Представить комплексное число в декартовой форме.
1. z = 2 (1+i)(2 2i) 1+i (1 i)(1 2i)
|
p |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. z = |
|
3+i |
|
(1+i)( 3+2i) |
||||
2 ip |
|
|
|
|
||||
7 |
|
|
||||||
5 |
|
|
Представить комплексное число в тригонометрической и показательной форме
|
|
1 + ip |
|
|
|
|
|
||
3. |
z = |
3 |
|
|
|
||||
4. |
z = |
|
|
p |
|
|
|
||
|
1 + i |
3 |
|
||||||
5. |
z = |
|
|
p |
|
|
|||
|
1 i |
3 |
|||||||
6. |
|
p |
|
|
|
|
|
||
z = |
3 i |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Решить уравнение
7. z3 zi = 0 p
8.z2 3i + 3 = 0
9.z3 + zi = 0
5
p
10. z2 2 3i + 2 = 0
Задание 6 Разложить в ряд Лорана:
1. |
f(z) = |
|
1 |
в кольце 0 < jzj < 3 |
z2 |
(z 3) |
|||
2. |
f(z) = |
|
1 |
в окрестности z = 1; |
z2 |
(z 3) |
3. f(z) = 2z+1
z (z 1)
в кольце 0 < jzj < 1
z+1 |
z = 1; |
4. f(z) = z2(z 1) в окрестности |
5. f(z) = (z 1)42z(z+2)
в кольце 0 < jz 1j < 3
6. f(z) = (z 1)42z(z+2) в окрестности z = 1;
7. f(z) = |
2z |
(z 1)(z+2) |
в кольце 1 < jzj < 2
8. |
f(z) = |
|
2z |
|
|
в окрестности z = 1; |
|
||
(z 1)(z+2) |
|
||||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
5 |
|
z = 1; |
|
9. |
f(z) = |
|
|
+ sin z |
+ 6z |
; в окрестности |
|||
(z2 |
+1)2 |
||||||||
10. |
f(z) = |
|
1 |
|
+ sin 1 |
+ 6z5 |
; в окрестности |
z = 0 |
|
2 |
+1) |
2 |
|||||||
|
|
(z |
|
|
z |
|
|
|
Задание 7
Вычислить интеграл по границе области D с помощью вы- четов:
1. |
@DZ |
1 |
|
dz; |
D : jzj < 4; |
|
|
z2(z 3) |
|||||
2. |
@DZ |
sin 2 |
|
|||
|
|
|||||
|
z |
dz; D : jzj < 2; |
||||
|
1 + z |
|||||
3. |
@DZ |
z2(z+ 11)dz; |
D : jzj < 2; |
|||
|
||||||
|
|
z |
|
|
6
4. |
|
|
|
|
z + 1 |
|
||||||
@DZ z sin |
|
|||||||||||
|
|
dz; D : jzj < 2; |
||||||||||
z 1 |
||||||||||||
5. |
|
|
|
4z |
|
|||||||
@DZ |
|
|
|
D : jzj < 3; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dz; |
||||
(z 1)2(z + 2) |
||||||||||||
6. |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
@DZ |
z |
dz; D : jzj < 2; |
|||||||
|
|
z4 1 |
||||||||||
7. |
|
|
|
2z |
|
|||||||
@DZ |
|
|
|
D : jzj < 3; |
||||||||
|
|
|
dz; |
|||||||||
|
|
(z 1)(z + 2) |
||||||||||
8. |
|
|
|
z |
|
|||||||
@DZ |
|
|
|
D : jzj < 2: |
||||||||
|
|
|
dz; |
|||||||||
(z 1)(z2 2) |
||||||||||||
9. |
|
|
|
z |
|
|||||||
@DZ |
|
|
|
D : jzj < 3: |
||||||||
|
|
|
dz; |
|||||||||
(z2 + 2)(z 2) |
||||||||||||
10. |
|
|
|
z |
|
|||||||
@DZ |
|
|
|
D : jzj < 3: |
||||||||
|
|
dz; |
||||||||||
|
(z2 + 1)(z + 2) |
Задание 8
Найти образ области D при данном отображении:
1. |
D = f0 < Rez < 1g; w = |
zz+21 |
; |
|
|
|
|
z+1 |
|
|||
2. |
D = fjz 1j < 2; Imz < 0g; |
w = |
; |
|||||||||
z 3 |
||||||||||||
3. |
D = fjz ij > 2; Imz < 0g; |
w = z1 ; |
||||||||||
4. |
D = fjzj < 1; |
Rez > 0g; |
w = |
z1+2z |
; |
|||||||
5. |
D = fjzj < 1; |
Imz > 0g; |
|
w = |
1+1 zz |
; |
7
6.D = f1 < jzj < 2g; w = z 2 1 ;
7.D = fRez < 1g; w = z z 2 ;
8. D = fjz 1j < 2g; w = zz+12 ;
9.D = f1 < Rez < 3; 0 < Imz < 2 g; w = ez;
10.D = fjImzj < 2 g; w = ez;
8