33_Rezhimy_post_i_sin_toka_v_LETs_2014
.pdfполнении условия резонанса xL xC амплитудные значения становятся одина- |
|||
ковыми. Отсюда и название «резонанс |
|
|
|
напряжений». |
+j |
|
|
Векторная диаграмма, изображенная |
|
I |
|
|
|
||
|
|
a |
|
|
|
Ur0=U |
|
на рис. 3.11, б, в режиме резонанса напря- |
|
|
|
жений превращается в диаграмму, приве- |
b=c |
|
|
|
|
|
|
денную на рис. 3.34. |
UL0 |
|
+1 |
|
|
||
|
|
|
|
На этой диаграмме напряжения UL0 |
|
UC0 |
|
и UC0 равны друг другу, поэтому падение |
|
|
|
напряжения на сопротивлении r равно |
|
d |
|
приложенному напряжению U. Последнее |
Рис. 3.34. Векторная диаграмма |
||
|
|||
по фазе совпадает с током I, и цепь отно- |
резонанса напряжений |
||
сительно входных зажимов воспринимает- |
|
|
|
ся как чисто активная. Такой эффект является следствием взаимной компенса- |
|||
ции напряжений UL0 и UC0 , но не их исчезновения. Как и в любом другом ре- |
|||
жиме, процессы в индуктивности связаны с магнитным полем, а в емкости – с |
|||
электрическим. В индуктивности периодические изменения энергии магнитно- |
|||
го поля определяются формулой (1.10): |
|
|
|
W |
1 |
Li2 . |
(3.141) |
м |
2 |
|
В емкости энергия изменяется согласно выражению (1.14):
W |
1 |
Cu2 . |
(3.142) |
|
|||
э |
2 |
C |
|
|
|
|
В произвольном режиме энергии Wм и Wэ в любой момент отличаются по величине, т. е. не компенсируются. Преобладание той или иной из них определяет режим схемы в том смысле, что относительно входных зажимов цепь может восприниматься как активно-индуктивная или как активно-емкостная. Векторная диаграмма на рис. 3.11, б отражает случай активно-индуктивной реакции цепи, поскольку на ней UL > UC и входное напряжение U опережает входной ток I. При резонансе (см. рис. 3.34) напряжения UL и UC одинаковы. Соответственно одинаковы и периодические составляющие энергий Wм и Wэ, которые взаимно компенсируются. В итоге на входных зажимах цепь воспринима-
130
ется как активная, хотя каждый из элементов L и C сохраняет свои энергетические параметры, как и падения напряжений UL и UC.
Реактивные сопротивления при резонансе имеют следующие значения:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|||||||
L |
|
|
|
|
L |
|
L |
|
|
|
|
; |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
0 |
|
|
|
LC |
|
|
|
LC |
|
C |
(3.143) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
LC |
|
LC |
|
L |
. |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
C |
C |
2 |
|
|
C |
|
|
|||||||||||||||
0C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Величина |
L |
обозначается буквой ρ и называется характеристическим |
|||||||
C |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
или волновым сопротивлением контура, |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
. |
(3.144) |
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
C |
|
||||
Отношение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
(3.145) |
|||||
|
|
|
|
||||||
|
|
r |
есть величина, которая называется добротностью контура. Эта величина характеризует соотношение между реактивными и активным сопротивлениями в резонансном режиме. В такой же мере добротность характеризует и соотношение между напряжениями:
UL0
Ur 0
UC 0
Ur 0
|
0LI0 |
|
|
Q; |
|||
|
|
|
|||||
|
rI0 |
|
|
r |
(3.146) |
||
|
I0 |
|
|
|
|
||
|
|
|
Q. |
||||
CrI |
0 |
r |
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
Понятие добротности широко используется в теории фильтров как один из основных параметров оценки их качества.
На рис. 3.35 изображены две векторные диаграммы для резонансного режима.
Диаграмма, приведенная на рис. 3.35, а, соответствует значению добротности Q < 1. Диаграмма на рис. 3.35, б характеризуется значением Q > 1. В первом случае реактивные напряжения UL0 и UC0 меньше входного напряжения, во втором – больше. Следовательно, добротность Q является число-
131
вой оценкой кратности напряжений. Например, если имеем значение Q = 2, то это означает, что
|
UL0 |
|
UC0 |
2 |
(3.147) |
|
U |
U |
|||||
|
|
|
|
и падения напряжений на индуктивности и емкости в два раза превышают приложенное напряжение.
|
|
Q < 1 |
|
|
Q > 1 |
|
+j |
|
. |
. |
+j |
|
. |
|
. |
UC0 |
|
|
I0 |
|
|
|
I0 |
|
|
|
|
|
UL0 |
|
. |
. |
|
|
|
|
|
|
UL0 |
UC0 |
|
|
. . |
|
|
. . |
|
|
|
Ur0 = U |
|
|
|
||
|
|
|
Ur0 = U |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
а |
+1 |
|
б |
+1 |
|
|
|
|
|
Рис. 3.35. Резонанс напряжений при различных значениях добротности Q:
а – Q < 1; б – Q > 1
При исследовании резонансных свойств электрических цепей широко используются частотные характеристики, т. е. зависимости токов, напряжений и других физических величин от угловой частоты ω. При этом распространено построение графиков в относительных координатах. При построении зависимости, например, тока от частоты в качестве независимой переменной вместо ω берется относительная частота ' , равная 0 , а вместо тока I – отношение I I0 , где 0 и I0 – соответственно резонансные значения частоты и тока. При таком подходе легче сравнивать характеристики, имеющие место при различ-
ных параметрах резонансного контура. |
|
|||||||
|
|
|
На |
рис. 3.36 в относительных координатах воспроизведены кривые |
||||
|
I |
|
|
|
|
|
для двух значений добротностей – Q1 |
и Q2. |
|
f |
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||
|
I0 |
|
|
0 |
|
|
Рассматриваемый последовательный резонансный контур характеризуется свойствами полосового фильтра. В определенной полосе частот его входное сопротивление мало и он обусловливает значения тока, приближающиеся к максимальному значению I Ur . Такая полоса частот называется полосой пропускания, или полосой прозрачности фильтра.
132
Ширина полосы пропускания определяется точками пересечения резо-
нансных кривых с прямой, соответствующей значению тока I |
|
0,707I |
|
|
I |
0 |
|
. |
п |
0 |
|
|
|
||||
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
При данном значении тока мощность, теряемая в сопротивлении r, равна половине потерь мощности при резонансе: Iп2r 0,5I02r .
I/I0
1
0,707
Q2 Q1>Q2
Q1
|
|
'1 '2 '3 |
'4 |
/ 0 |
|
|
1 |
|
|
|
Рис. 3.36. Характеристики резонанса в относительных координатах |
|||
|
На |
рис. 3.36 первой кривой |
соответствует |
узкая полоса пропускания |
|
|
|
|
|
2 |
3 , |
у второй кривой полоса пропускания 1 |
4 значительно шире, по- |
этому закономерен следующий вывод: чем выше добротность, тем ýже поло-
са пропускания.
Есть еще понятие избирательности резонансного контура как фильтра.
Чем ýже полоса пропускания, тем выше избирательность фильтра. Следовательно, значение добротности непосредственно определяет качество фильтра по отмеченному критерию – способности выделять полезный сигнал, в данном случае ток, в более узком диапазоне частот.
Наконец, легко показать, что в диапазоне частот от нулевой до резонансной рассматриваемая схема имеет активно-емкостный характер, а при частоте, превышающей резонансную частоту 0 , – активно-индуктивный. Так, при час-
тоте 0 емкостное сопротивление |
1 |
. Ток в схеме при этом равен ну- |
|
C |
|||
|
|
лю, напряжение источника приложено только к емкости и угол сдвига фаз2 . При увеличении частоты до значения 0 значение φ стремится к
133
нулю. При дальнейшем увеличении частоты знак угла φ изменяется на положительный и в пределе при становится чисто индуктивным, т. е. 2 . Следовательно, резонансная частота 0 является точкой раздела между отрицательными и положительными значениями угла сдвига фаз. В диапазоне частот 0 0 напряжение по фазе отстает от тока, при 0 , наоборот, напряжение опережает ток.
3.11.2. Резонанс токов
Особенности резонанса токов (параллельного резонанса) удобно рассматривать на примере схемы, изображенной на рис. 3.12, а, с параллельным соединением элементов r, L, C.
Входная комплексная проводимость этой схемы
|
|
|
|
|
Y g j b b |
g j |
1 |
C |
|
ye j , |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
L C |
|
L |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
где y |
g |
|
|
|
C ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
arctg bL bC . g
При резонансной частоте 0 реактивная проводимость нулевое значение:
(3.148)
принимает
1 |
|
0C 0 , |
(3.149) |
|||||
|
|
|
||||||
|
0L |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
откуда резонансная частота |
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
|
1 |
|
. |
(3.150) |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||||
|
LC |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
На векторной диаграмме (рис. 3.37) ток IL отстает от напряжения на 90 º, а ток IC опережает напряжение на 90 º. Действующие значения этих токов равны между собой, поэтому их сумма равна нулю.
134
+j |
|
|
Входной ток схемы I равен току ветви с ак- |
||
|
. |
тивным сопротивлением Ir. |
|
||
|
|
|
|||
|
|
U |
|
||
|
|
|
|
||
I.r = I. |
|
|
Угол сдвига фаз φ равен нулю. В итоге |
||
. |
. |
входной ток цепи по фазе совпадает с входным |
|||
|
IC |
|
|
||
|
IL |
напряжением и выполняется сформулированное в |
|||
0 |
|
+1 |
п. 3.11.1 условие резонанса. |
|
|
|
|
|
Проводимость g 1 r |
есть минимальное |
|
Рис. 3.37. Векторная |
значение входной проводимости. Поэтому при ре- |
||||
диаграмма резонанса токов |
|||||
зонансе токов входной ток схемы, в отличие от ре- |
|||||
|
|
|
|||
зонанса напряжений, принимает минимальное значение: |
|
||||
|
|
|
I0 Ir0 gU. |
(3.151) |
При нулевой частоте ( 0 ) сопротивление индуктивной ветви схемы на рис. 3.12, а равно нулю ( L 0 ), поэтому весь ток проходит только по этой ветви, имеет индуктивный характер и теоретически бесконечен. Вследствие этого левая ветвь кривой I ( ) на рис. 3.38 начинается в бесконечности, а начало кривой угла сдвига фаз соответствует значению 2 . В режиме резонанса ток имеет минимальное значение, а угол сдвига фаз равен нулю. В области изменения частоты от нуля до 0 схема на входных зажимах воспринимается как активно-индуктивная. При частоте 0 преобладает ток емкостной ветви, поэтому схема воспринимается как активно-емкостная.
Рассмотрим далее значения реактивных проводимостей при резонансной частоте 0 :
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||
bL0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
||||||
0L |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
L |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
LC |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
(3.152) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
C |
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
0C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
bC 0 |
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
. |
|
|
||||||||
|
LC |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Добротность цепи в данном случае определяется как отношение реактивных проводимостей к активной:
135
Q |
bL0 |
|
|
1 |
|
|
|
r |
; |
||
|
|
|
|
|
|||||||
|
g |
|
|
1 r |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
bC 0 |
|
|
|
1 |
|
|
r |
|
||
Q |
|
|
|
. |
|||||||
|
|
|
|
||||||||
|
g |
|
|
|
1 r |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
I ,
π |
|
|
|
|
0 = gU |
0 |
0 |
|
– π |
|
|
Рис. 3.38. Частотные характеристики при резонансе токов
В итоге получили формулу добротности
Q r ,
(3.153)
(3.154)
которая выглядит как обратная по отношению к аналогичной формуле для последовательной цепи.
Добротность цепи характеризует соотношение между токами индуктивной и емкостной ветвей и током через ветвь с сопротивлением r. Если Q 1, то реактивные токи IL0 и IC 0 при резонансе меньше активного Ir 0 . Значение Q 1 показывает кратность превышения реактивных токов по отношению к активному.
Схема на рис. 3.12, а с параллельным соединением элементов r, L, C имеет характеристики так называемого заграждающего (режекторного) фильтра. В области частот, примыкающей к резонансной, входное сопротивление цепи максимально, поэтому ток минимален, откуда и название «заграждающий фильтр». Добротность, как и в предыдущем случае, влияет на форму кривой I ( ) и другие характеристики фильтра.
136
3.11.3.Резонанс в электрических цепях произвольной структуры
Впрактике используются более сложные схемы электрических фильтров
идругие электрические цепи, содержащие различное количество реактивных элементов. В области электрических фильтров явление резонанса используется как полезное или необходимое явление. Однако в других областях явление резонанса может возникать как нежелательное явление, приводящее к повышенным значениям напряжения или тока. При высоких значениях добротности электрических цепей, т. е. в цепях с малыми потерями в активных сопротивлениях, напряжение и ток в резонансных режимах могут достигать опасных значений. Поэтому понимание резонансных свойств той или иной электрической системы является важной задачей.
Во всех случаях в качестве критерия наличия резонансного режима выступает условие совпадения начальных фаз входных напряжения и тока исследуемой электрической цепи. С этим условием согласуется условие обращения в нуль реактивной составляющей входного комплексного сопротивления (проводимости) электрической цепи. Поэтому исходным этапом математического исследования резонансных свойств любой электрической цепи является выделение из состава комплексного входного сопротивления (проводимости) реактивной составляющей и приравнивание ее к нулю.
Вцелом расчет проводится с реализацией следующих этапов.
1.Записывается входное сопротивление или входная проводимость цепи.
2.Входное сопротивление (проводимость) разделяется на действительную и мнимую части.
3.Выделяется реактивное сопротивление (проводимость) цепи (мнимая часть) и приравнивается к нулю.
4.Полученное уравнение решается относительно искомой неизвестной (частоты, индуктивности, емкости, сопротивления).
Как правило, первым этапом решения является вычисление резонансных частот, поскольку реализация именно этого этапа отвечает на вопрос, возможны в данной цепи резонансы или нет.
В цепях с двумя реактивными элементами определяется и исследуется одна резонансная частота.
Для цепей с тремя реактивными элементами определяются и исследуются две резонансные частоты. Количество резонансных частот возрастает с увеличением числа реактивных элементов (индуктивных и емкостных).
137
3.11.3.1. Резонанс в цепях с двумя реактивными элементами
На рис. 3.39 изображена группа схем, в которых индуктивность и емкость включены последовательно или находятся в составе последовательного соединения двухэлементных участков схем.
Схема, представленная на рис. 3.39, а, уже рассмотрена в п. 3.11.1, где и выявлены особенности, характеризующие резонанс напряжений. В остальных схемах также может возникать только резонанс напряжений в силу отмеченной их структуры. В качестве примера рассмотрим схему на рис. 3.39, б.
Входное сопротивление схемы на рис. 3.39, б
|
|
|
j |
|
1 |
|
|
||
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Z j L |
|
|
C |
. |
(3.155) |
|||
|
r j |
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
C |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
C |
|
|
|
|
|
L |
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
C |
а |
|
б |
L |
L |
r2 |
C |
|
|
r |
r1 |
C |
в |
|
г |
Рис. 3.39. Схемы, в которых возможен резонанс напряжений
Преобразуем выражение (3.155), умножая числитель и знаменатель на сопряженный комплекс знаменателя:
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
||
|
r |
j |
|
|
|
r j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Z j L |
|
|
C |
C |
j L |
||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
r |
j |
|
|
|
r j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
C |
|
C |
|
j |
r2 |
|
|
r |
|
|
|
|
C |
2C2 |
|
. |
(3.156) |
||||
|
|
|
|
|||||
r2 |
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2C2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
138
Далее осуществляется разделение действительной и мнимой частей вы-
ражения (3.156):
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 C |
|
|
|
|||
Z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j L |
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
(3.157) |
||
r |
2 |
2 |
C |
2 |
|
|
|
|
r |
2 2 |
C |
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||
Для определения резонансной частоты мнимая часть уравнения (3.157) |
|||||||||||||||||||||||
приравнивается к нулю: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0L |
|
|
|
r2 C |
|
|
|
0 . |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
(3.158) |
||||||||
|
|
|
|
r |
2 2C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В итоге получается алгебраическое уравнение второй степени относи- |
|||||||||||||||||||||||
тельно резонансной частоты 0 : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
r2 LC |
2 |
2 |
L r2C 0. |
|
|
|
(3.159) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Решение уравнения (3.159) имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2C L |
. |
|
|
|
|
(1.160) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
r2LC2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Резонансная частота – реальный физический параметр, поэтому положительный ответ о наличии резонанса напряжений дает только положительное, действительное значение корня. Следовательно, окончательно используем значение
|
|
r2C L |
, |
(3.161) |
|
||||
0 |
|
r2LC2 |
|
|
|
|
|
которое указывает на то, что резонанс в исследуемой схеме возможен при выполнении условия r2C L . Если это условие не выполняется, то числитель подкоренного выражения будет отрицательным, а корень, соответственно, мнимым.
Рассмотрим схему на рис. 3.39, б при следующих числовых значениях параметров: U = 10 В, r = 100 Ом, L = 0,01 Гн, C 10 4 Ф. Расчетная схема для резонанса напряжений представлена на рис. 3.40.
139