Переходные процессы в ЛЭЦ 2014
.pdfuL |
L |
di |
. . LpI p Li 0+ |
(224) |
|
||||
|
|
dt |
|
и ток в емкости
i |
C |
duC |
. . I |
C |
p CpU |
C |
p Cu |
0+ , |
(225) |
|
|||||||||
C |
|
dt |
|
C |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
где I(p), IC(p) и UC(p) – соответственно изображения тока в индуктивности, ем-
кости и напряжения на емкости.
Из выражения (225) можно получить изображение напряжения на ем-
кости UC (p):
UC p |
1 |
IC p |
uC 0 |
. |
(226) |
Cp |
|
||||
|
|
p |
|
Преобразование Лапласа является линейным, поэтому оно характеризует-
ся следующими свойствами.
1. Сумме оригиналов соответствует сумма изображений:
fk t . . Fk p . |
(227) |
kk
2.Произведению оригинала на постоянный множитель соответствует ум-
ножение изображения на тот же множитель:
А f t . .АF p . |
(228) |
Перечисленных особенностей достаточно для преобразования дифферен-
циальных уравнений электрических цепей и получения изображений представ-
ляющих интерес физических величин.
Иллюстрацией прямого преобразования является следующий пример.
Схема на рис. 33 в момент коммутации подключается к источнику посто-
янной ЭДС. Поскольку до замыкания ключа ток и напряжение на элементах схемы отсутствовали, начальные условия нулевые:
i 0 |
i 0 0; |
(229) |
uC 0 |
uC 0 0, |
(230) |
и, например, для тока можно записать уравнение по второму закону Кирхгофа: 60
Ldi Ri |
1 |
i dt E. |
(231) |
|
dt |
|
C |
|
|
i |
R |
|
L |
C |
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
Рис. 33. Расчетная схема |
|
На основе выражений (215) – (217), (224) и (226) – (228) с учетом нулевых начальных условий (229), (230) записываются соответствия
|
|
i . . |
I p ; |
(232) |
||||
|
|
Е |
. |
E |
|
|
|
|
|
|
. |
|
; |
(233) |
|||
|
p |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
di |
. . LpI p ; |
(234) |
|||||
|
||||||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
Ri . . RI p ; |
(235) |
||||||
1 |
i dt |
. . |
1 |
|
I p |
(236) |
||
C |
Cp |
и формируется алгебраическое уравнение для изображений
LpI p |
+ RI p + |
1 |
I p = |
E |
, |
(237) |
Cp |
|
|||||
|
|
|
p |
|
решение которого записывается в виде:
I p |
|
CE |
|
|
|
|
. |
(238) |
|
LCp2 |
|
|||
|
RCp 1 |
|
В итоге получили изображение I(p) тока i.
При расчете переходных процессов в разветвленных цепях изображения определяются в результате решения систем уравнений, аналогичных (237).
61
Обратное преобразование. Из приведенного примера видно, что изо-
бражение (238) имеет структуру так называемой рациональной дроби, пред-
ставляющей собой отношение двух полиномов параметра р. В изображе-
нии (238) полином (многочлен) числителя имеет нулевую степень. В общем случае степень полинома числителя не равна нулю, поэтому для представляю-
щей интерес переменной можно записать:
X p |
M p |
|
a pm |
a pm 1 |
... a |
|
|
|
|
0 |
1 |
m |
. |
(239) |
|
N p |
b0 pn b1pn 1 |
|
|||||
|
|
... bn |
|
Переход от изображения Х(р) к функции времени (оригиналу) x(t), т. е.
обратное преобразование, чаще всего осуществляется с помощью так называе-
мых формул разложения. Для случая простых (некратных) корней знаменателя изображения формула разложения имеет вид:
n |
M p |
k |
|
|
|
|
|
x t |
|
|
epkt |
, |
(240) |
||
N pk |
|||||||
k 1 |
|
|
|
где pk – корень знаменателя (уравнения b0 pn b1pn 1 ... bn= 0);
N pk значение производной знаменателя, получаемое на основании со-
отношения
N |
|
|
d |
|
n |
b1p |
n 1 |
|
(241) |
|
p dp b0 p |
|
|
... bn |
при подстановке значения корня р = pk.
Количество составляющих в формуле (240) равно числу корней знамена-
теля изображения n.
Применительно к изображению (238) процедура обратного преобразова-
ния выглядит следующим образом.
Изображение тока
I p |
M p |
|
CE |
|
|
||
|
|
|
|
|
, |
(242) |
|
|
LCp2 |
RCp 1 |
|||||
|
N p |
|
|
где M p CE;
N p LCp2 RCp 1.
62
Корни уравнения LCp2 RCp 1 0:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
R |
|
|
R2 |
|
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
4L2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
2L |
|
LC |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
(243) |
||
|
|
|
p |
|
|
|
R |
|
R2 |
|
|
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
2L |
4L2 |
|
|
LC |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Производная знаменателя |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
N p 2LCp RC. |
|
|
|
|
|
(244) |
|||||||||||||||||
Оригинал по соотношению (240) имеет вид: |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
2 |
M p |
|
|
|
|
|
|
|
|
M |
p |
|
|
|
|
|
M |
|
p |
2 |
|
|
||||
x t |
|
|
k |
|
|
epkt |
|
1 |
|
ep1t |
|
|
|
|
ep2t |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
k 1 N pk |
|
|
|
|
|
|
N |
p1 |
|
|
|
|
|
N p2 |
(245) |
|||||||||||
|
|
|
E |
|
|
|
ep1t |
|
|
E |
|
|
ep2t. |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
2Lp1 R |
2Lp2 R |
|
|
|
|
|
|
В случае кратных корней формула разложения имеет более сложную структуру:
x t |
1 |
|
d |
S 1 |
|
M p |
p pS S |
ept |
|
, |
(246) |
|
|
|
|
|
|||||||||
S 1 !dpS 1 |
N p |
|||||||||||
|
|
|
|
p p |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
где pS значение корня знаменателя изображения (уравнения N p 0);
S количество кратных корней, или кратность корня pS .
Пример применения формулы (246) приведен ниже.
Расчет переходных процессов в сложных электрических цепях характери-
зуется высокой степенью полиномов знаменателей N p , поэтому вероятны сочетания простых и кратных корней. В этих случаях применяются комбиниро-
ванные формулы, состоящие из двух частей: формулы (240) для простых кор-
ней и (246) для кратных.
3.2. Особенности применения операторного метода
Условие задачи: в схеме на рис. 22 определить закон изменения то-
ка i1(t) в переходном процессе.
63
Переходные процессы в схеме, изображенной на рис. 22, описываются системой дифференциальных уравнений (137):
i1 i2 i3 0; |
|
||||||
|
di |
|
|
|
|
|
|
L |
1 |
Ri |
U; |
|
|||
|
|
||||||
|
dt |
2 |
|
(247) |
|||
Ri |
u |
0; |
|||||
|
2 |
|
C |
|
|
||
|
|
|
|
duC |
|
|
|
i |
C |
. |
|
||||
|
|
||||||
3 |
|
|
|
dt |
|
|
На основании формул (217), (224) и (226) – (228) записываются соответ-
ствия оригиналов и изображений:
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
. |
U |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
(248) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
i1 |
. . I |
p ; |
i2 . . |
I |
2 |
p ; |
|
i3 . . I |
3 |
p ; |
(249) |
||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
u . . |
U |
C |
p ; |
|
|
|
|
(250) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Ri2 . . |
|
RI2 p ; |
|
|
|
|
(251) |
|||||||
|
|
|
L |
di1 |
. . |
LpI |
p |
|
Li |
0 ; |
|
|
(252) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
dt |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
C |
duC |
. . CpU |
C |
|
p |
C u |
0 , |
|
|
(253) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
C |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по системе (247) формируется система уравнений для изображений:
I1 p I2 p I3 p 0; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
p Li1 0 R I2 |
p |
|
|||||
LpI1 |
|
; |
|||||||
p |
|||||||||
|
|
|
p U |
|
p 0; |
|
(254) |
||
R I |
2 |
C |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
p CpUC p CuC 0 , |
|
|
||||||
I3 |
|
|
которой может быть сопоставлена операторная схема замещения, приведенная на рис. 34.
64
Система (254) преобразуется переносом известных значений Li1(0+) и
CuC(0+) вправо:
I1 p I2 p I3 p 0; |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
p R I2 |
p |
|
0 ; |
|||||
LpI1 |
|
Li1 |
||||||||
p |
||||||||||
|
|
|
p |
|
|
|
|
(255) |
||
R I |
2 |
U |
C |
p 0; |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
p CpUC |
p CuС 0 , |
||||||||
I3 |
затем любым из известных способов решения алгебраических уравнений опре-
деляется изображение интересующей величины:
RLC i1(0 ) p2 |
RCU RC uC (0 ) Li1 |
(0 ) p U |
(256) |
I1 p |
p RLCp2 Lp R |
, |
|
|
|
|
где начальные условия i1(0+) и uC(0+) входят в состав коэффициентов полинома числителя.
|
I1 p |
|
|
|
|
I3 p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I2 p |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
U |
I11 p |
|
R |
|
|
|
|
|
Cp |
|
|
|
|
I22 p |
|
||||||||
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
p |
Lp |
Li1 0 |
|
uC 0 |
|||||||
|
|||||||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис. 34. Операторная схема замещения
3.2.1. Апериодический режим
Апериодический режим в схеме на рис. 22 имеет место при следующих зна-
чениях параметров: R1 = 20 Ом; R = 15 Ом; L = 0,025 Гн; С = 20 мкФ; U = 140 В.
Начальные условия (п.2.3.1): i1(0+) = i1(0–) = 4 А; uC(0+) = uC(0–) = 60 В.
Подстановка указанных значений в систему (255) приводит к выражению:
65
I |
p |
M p |
|
3010· 6 p2 0,124 p 140 |
. |
(257) |
|
|
|
||||||
1 |
|
N p |
|
p 7,510· |
6 p2 0,025p 15 |
|
|
|
|
|
|
Чтобы осуществить обратное преобразование, т. е. переход к оригиналу i1(t), обращаемся к формуле разложения (240) и записываем уравнение
N p p 7,5·10 6 p2 0,025p 15 0, |
(258) |
корни которого – р1 = 0; р2 = –784,7 с–1; р3 = –2548,6 с–1 совпадают с корнями характеристического уравнения, приведенного в п. 2.3.1.
Затем выражаем производную знаменателя
|
N p |
d |
|
|
N p 22,5·10 6 p2 |
0,05p 15 |
|
|
|
|
(259) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
и находим значения M p |
|
|
и N p |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
k |
|
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M p1 M 0 140; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(260) |
||||||||
M p2 30·10 6 784,7 2 |
0,124 784,7 140 61,166; |
|
(261) |
||||||||||||||||||||||||||
M p3 30·10 6 2548,6 2 |
0,124 2548,6 140 18,834; |
|
(262) |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N p1 N 0 15; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(263) |
||||||||
N p2 22,5·10 6 |
|
784,7 2 |
0,05 784,7 15 10,381; |
|
(264) |
||||||||||||||||||||||||
N p3 22,5·10 6 |
2548,6 2 |
0,05 2548,6 15 33,715. |
|
(265) |
|||||||||||||||||||||||||
Подстановка значений (260) – (265) в уравнение (240) дает оригинал: |
|
||||||||||||||||||||||||||||
3 |
M p |
k |
|
|
|
|
|
|
M p |
|
|
|
M |
p |
2 |
|
|
M |
p |
|
|
|
|
||||||
i1 t |
|
|
|
|
epkt |
|
1 |
|
ep1t |
|
|
|
|
ep2t |
|
|
3 |
|
ep3t |
; |
(266) |
||||||||
|
|
|
|
|
N p1 |
|
|
|
|
|
N p3 |
||||||||||||||||||
k 1 N pk |
|
|
|
|
|
|
N p2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
i |
t |
140 |
|
|
|
61,166 |
e 784,7t |
18,834 |
e 2548,6t |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
1 |
|
|
15 |
|
|
|
10,381 |
|
|
|
33,715 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9,333 5,892e 784,7t 0,559 e 2548,6t.
Значение i1(t) совпадает с полученным в п. 2.3.1 классическим методом для той же схемы при тех же параметрах.
66
3.2.2. Колебательный режим
Исходные параметры схемы на рис. 22: R1 = 20 Ом; R = 60 Ом; L = 0,025 Гн;
С = 20 мкФ; U = 140 В. Начальные условия (п.2.3.2): i1(0+) = i1(0–) = 1,75 А; uC(0+) = uC(0–) = 105 В.
Подстановка указанных значений в систему (255) приводит к выражению:
|
I p |
M p |
|
52,510· |
6 p2 0,0857 p 140 |
. |
(267) |
|||||
|
|
|
||||||||||
1 |
N |
p |
|
p 3010· |
6 p2 0,025p 60 |
|
||||||
|
|
|
|
|
||||||||
Решая далее уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
N p p 3010· |
6 p2 |
0,025p 60 0, |
(268) |
|||||||
находим корни р1 = 0; |
р2 = – 417 + j1350; р3 = – 417 – j1350, которые совпа- |
|||||||||||
дают с корнями характеристического уравнения, приведенного в п. 2.3.2. |
|
|||||||||||
Затем выражаем производную знаменателя |
|
|
|
|||||||||
N p |
d |
p 3010· |
6 p2 0,025p 60 9010· |
6 p2 0,05p 60 |
(269) |
|||||||
|
||||||||||||
|
dp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и находим значения M p |
и N p |
: |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
k |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M p1 M 0 140; |
|
|
(270) |
|||||
M p2 52,5·10 6 |
417 |
j1350 2 0,0857 417 j1350 140 |
(271) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17,6 j56,5 59,2 e j72,2;
M p3 52,5·10 6 417 j1350 2 0,0857 417 j1350 140
(272)
17,6 j56,5 59,2 e j72,2;
N p1 N 0 60; |
(273) |
N p2 90·10 6 417 j1350 2 0,05 417 j1350 60
(274)
109,2 j33,8 114,3 ej197,2;
N p3 90·10 6 417 j1350 2 0,05 417 j1350 60
(275)
109,2 j33,8 114,3 e j197,2;
67
Следует обратить внимание на то, что подстановка сопряженных комп-
лексов в один и тот же полином дает сопряженные результаты.
Как и в случае п. 3.2.1, для определения оригинала i1(t) подставляем в формулу (240) значения, полученные в (270) – (275):
|
|
|
|
i |
t |
M p1 |
|
ep1t |
|
M p2 |
ep2t |
M p3 |
ep3t; |
(276) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
N p1 |
|
|
|
N p2 |
|
N p3 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
i |
t |
140 |
|
|
|
59,2еj72,7 |
|
|
е 417 j1350 t |
59,2е j72,7 |
е 417 j1350 t |
|
||||||
1 |
60 |
|
114,3еj197,2 |
|
|
|
|
114,3е j197,2 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2,33 0,518e j124,5 e 417tej1350t 0,518ej124,5 e 417te j1350t
2,33 0,518e 417t cos 1350t 124,5 jsin 1350t 124,5
cos 1350t 124,5 jsin 1350t 124,5
2,33 1,036e 417tcos 1350t 124,5
2,33 1,036e 417tsin 1350t 34,5 .
Значение i1(t) совпадает с полученным в п. 2.3.2 классическим методом для той же схемы при тех же параметрах.
3.2.3. Граничный режим
Граничный режим имеет место в схеме, приведенной на рис. 22, при сле-
дующих параметрах: R1 = 20 Ом; R = 17,68 Ом; L = 0,025 Гн; С = 20 мкФ. На-
чальные условия (п.2.3.3): i1(0+) = i1(0–) = 3,72 А; uC(0+) = uC(0–) = 65,7 В.
Изображение тока (256) определяется по формуле:
I |
p |
M p |
|
32,88510· 6 p2 |
0,1193 p 140 |
. |
(277) |
|
|
|
|
|
|||||
1 |
|
N p |
|
p 8,8410· |
6 p2 |
0,025p 17,68 |
|
|
|
|
|
|
|||||
Решение уравнения |
|
|
|
|
|
|
||
|
N p p 8,84·10 6 p2 0,025p 17,68 0 |
(278) |
дает корни р1 = 0; р2 = – 1414 с–1; р3 = – 1414 с–1, из которых два корня одина-
ковые, т. е. pS p2 p3= – 1414 c–1.
68
С учетом значений корней знаменатель изображения (277) может быть представлен в виде:
N p 8,84·10 6 p p2 2828p 2·106
8,84·10 6 p p 1414 p 1414 8,84·10 6 p p pS p pS .
В итоге составляющая тока i1(t) для корня p1 0 формируется на основе формулы (240) для простых корней, а формула (246) применяется для корня p pS 1414 c–1 кратности 2:
|
|
t |
M |
|
p |
|
ep1t |
|
|
d M p |
p |
pS |
2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
i1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ept |
|
; |
(279) |
||||||||||||
|
N |
p1 |
|
|
|
N p |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dp |
|
|
|
|
|
p p |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
t |
M 0 |
|
|
d |
|
|
M p p pS 2 ept |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
i1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
N 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
dp 8,84·10 6 p p p p p |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
S |
|
p p |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
M |
0 |
|
|
d |
M p ept |
|
|
|
, |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
N 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
dp 8,84·10 6 p |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
где M p1 M 0 140;
N p 26,52·10 6 p2 0,05p 17,68;
N p1 N 0 17,68.
После определения производной дроби, стоящей в квадратных скобках, придем к выражению:
|
|
|
|
d |
M p ept |
p M p ept |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
i1 t |
7,92 |
|
dp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
8,84·10 6 p2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(280) |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
p M p |
p M p t M p |
|
|
|
|
p pS |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
pt |
|
|
|
|
||||||||
7,92 |
|
|
|
|
|
|
e |
|
|
, |
||||
|
|
8,84·10 6 p2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p 1414 |
|||||
где M p 65,7710· |
6 p 01193, |
. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Подстановка значения pS 1414с–1 в выражение (280) дает
M pS 32,885·10 6 1414 2 0,1193 1414 140 37,06;
69