Переходные процессы в ЛЭЦ 2014

Затем выражения (95) записываются для момента времени t 0 :

i1 0 i1пр 0 i1св 0 6,67 A1;

i2 0 i2 пр 0 i2 св 0 3,33 А2;

(99)

i3 0 i3 пр 0 i3 св 0 3,33 А3;

uL 0 uL пр 0 uL св 0 A4.

После подстановки начальных условий (98) в левые части уравнений (99)

получаем:

(102), приведены на рис. 17, построение графиков свободных составляющих – в прил. 2.

Из рис. 17 видно, что в момент коммутации ток i2 t остается непрерыв-

ным, а i1 t , i3 t и напряжение uL t изменяются скачком.

30

Em

C

I2m

Рис. 19. Схема до коммутации

Расчет целесообразно проводить комплексным методом. В рассматривае-

мом случае по второму закону Кирхгофа записывается уравнение для опреде-

ления комплексной амплитуды тока:

Комплексная амплитуда напряжения на емкости при этом принимает значение:

Соответственно записывается мгновенное значение этого напряжения

32

Определение значений других токов и напряжений на данном этапе не требуется, так как они не используются в дальнейшем для определения началь-

ных условий при t 0 .

2. Дифференциальные уравнения записываются по законам Кирхгофа:

i1 i2 i3 0;

R1i1 R2i2 uC e;

R2i2 uC R3i3 0; (109)

i2 C duC .

dt

3. Принужденные составляющие определяются из системы уравнений для комплексных амплитуд, описывающей установившийся синусоидальный режим после переходного процесса:

После подстановки численных значений параметров система приобре-

тает вид:

Решение системы уравнений (111):

33

По полученным комплексным амплитудам (112) записываются мгновен-

ные значения:

4. Свободные составляющие. Входное комплексное сопротивление схемы для послекоммутационного состояния

Заменяя jω на р и приравнивая полученный результат к нулю, записываем выражение

p 1200с 1.

Так как корень единственный, то свободные составляющие записываются в следующей форме:

i1св A1 e 1200t ; i2 св A2 e 1200t ; i3св A3 e 1200t ; uL св A4 e 1200 t . (118)

5. Определение постоянных. В результате расчета получены следующие выражения для определения неизвестных:

34

i1 i1пр i1св 13,06sin 1000t 16,5 A1 e 1200t;

i2 i2 пр i2 св 7,24sin 1000t 50,2 A2 e 1200t;

(119)

i3 i3пр i3св 8,1sin 1000t 13,2 A3 e 1200t;

uС uС пр uС св 72,4sin 1000t 39,8 A4 e 1200 t.

Как и в предыдущих примерах, для расчета постоянных А1, А2, А3, А4 тре-

буется сначала вычислить начальные значения i1(0+), i2(0+), i3(0+) и uC(0+). Для этого необходимо решить систему алгебраических уравнений

35

При значениях параметров схемы R1= 1 Ом; R2 = 2 Ом; R3= 2 Ом;

L = 1 мГн; С = 10 мкФ уравнение (125) принимает вид: 3 10–8 р2 +1,08 10–3 р +3 = 0

или

р2 +3,6 104 р +108 = 0.

Его корни: р1 = – 3030 с–1; р2 = –32970 с–1.

В данном случае имеет место так называемый апериодический режим переходного процесса. Свободная составляющая любой физической величины

(ток, напряжение) при этом представляется в форме:

где А1 и А2 – постоянные коэффициенты, количество которых соответствует числу корней характеристического уравнения.

Общее решение, как и прежде, формируется в виде суммы принужденной и свободной составляющих:

При R1 = 100 Ом; R2 = 1 Ом; R3 = 1 Ом; L = 10 мГн; С = 10 мкФ на основе выражения (125) получаем характеристическое уравнение

1,01 10–5 р2 +0,012р + 101 = 0

или

р2 +1189,1р +107 = 0

с комплексными корнями

р1 j св 595 j 3106; р2 j св 595 j 3106,

где = 595 с–1 – коэффициент затухания;

св = 3106 рад/с – угловая частота свободных колебаний.

Частота свободных колебаний св в отличие от частоты вынужденных ко-

лебаний (угловой частоты напряжения источника) определяется внутренними свойствами электрической цепи или системы.

В этом случае имеет место колебательный режим, для которого свобод-

ные составляющие записываются в виде:

38

хсв А1ер1t А2ер2t А1е 595 j 3106 t А2е 595 j 3106 t

(128)

Ae t sin свt Ae 595t sin 3106t ,

где в качестве неизвестных выступают постоянная А и начальная фаза .

Полное решение для искомой физической величины представляется в форме

С = 10 мкФ, то из уравнения (125) получаем характеристическое уравнение

2 10–7 р2 +4 10–3 р + 20 = 0

или

р2 +2 104 р +108 = 0,

корни которого равны друг другу (кратные корни):

В этом случае имеет место граничный режим, т. е. режим, промежуточ-

ный между апериодическим и колебательным.

Свободные составляющие для этого режима имеют такую структуру:

а полное решение представляется в виде:

Свободные составляющие во всех случаях затухают, так как рассматри-

ваемые электрические цепи содержат в своем составе сопротивления и, следо-

вательно, имеет место процесс рассеяния или потерь электрической энергии в этих цепях. Выражением данного обстоятельства являются отрицательные

действительные корни, или отрицательные действительные части комплекс-

ных корней характеристических уравнений.

Общая методика расчета переходных процессов при наличии двух нако-

пителей энергии подобна уже рассмотренной для разветвленных цепей с одним реактивным элементом (п. 2.2.6 и 2.2.7). Общий алгоритм расчета переходных процессов классическим методом содержит те же основные этапы, т. е. расчет

39