Переходные процессы в ЛЭЦ 2014

После подстановки начальных условий (177) – (179) в левые части урав-

нений (180), (181) получаем:

3,72 7,92 А1;

2972 1414 А1 А2;

65,7 140 А7;

0 1414 А7 А8,

откуда А1 = – 4,2; А2 = – 2967; А7 = – 74,3; А8 = – 105060.

В итоге получаем:

i1 7,92 4,2 2967t e 1414t А; uC 140 74,3 105060t e 1414t B.

Остальные неизвестные определим из системы (172):

Построенная в соответствии с расчетом зависимость i1(t) приведена на рис. 28.

i1пр

A

i

i1св

t

Рис. 28. Зависимость тока i1 от времени при граничном режиме

50

Комплексная амплитуда напряжения на емкости

В момент коммутации (при t = 0–)

i1 0 3,83sin 21,3 1,39 А; uC 0 53,6sin 0,6 0,562 В.

2. Дифференциальные уравнения для схемы, представленной на рис. 24:

52

i1пр 5,49sin 1256t 3,9 А.

4. Свободная составляющая тока i1. Характеристическое уравнение

р2 + 3333 р + 2 106 = 0 имеет корни р1 = – 785 с–1; р2 = – 2549 с–1, поэтому свобод-

ная составляющая имеет вид:

Для определения постоянных необходимо предварительно вычислить на-

чальные значения i1(0+) и i1(0+). Из второго уравнения системы (190), записан-

ной для t = 0+, с учетом независимых начальных условий

i1пр(0 ) 5,49 1256cos( 3,9 ) 6880 А/с.

После подстановки известных величин в уравнения (198) получим:

1,39 0,373 А1 A2;

5590 6880 785 А1 2549 А1,

откуда А1 = 1,82; А2 = – 0,053. В итоге ток

53

i1 i1пр i1св 5,49sin(1256t 3,9 ) 1,82e 785t 0,053e 2549t A.

Графически зависимость i1(t) отображена на рис. 31.

τ = 1/|p1| τ = 1,3·10–3 с

A

i1 i1пр

A1ep1t

t

Рис. 31. Зависимость тока i1 от времени в переходном режиме

2.3.5. Расчет переходного процесса в цепи с источником синусоидального напряжения (колебательный режим)

Условие задачи: определить ток i1 после замыкания ключа в схеме,

представленной на рис. 22.

Исходные параметры: u 162sin t 60 B; f = 100 Гц; R1= 20 Ом;

R = 60 Ом; L = 0,025 Гн; C = 20 мкФ.

1. Установившийся режим до коммутации (см. рис. 29).

54

55

где

i1пр 0 4 sin 78,9 3,93 А;

i1пр 0 628 4 cos 78,9 484 А/с.

После подстановки всех найденных величин в систему (213) получаем:

2,59 3,93 Аsin ;

2576 484 417 Аsin 1350 Аcos ,

откуда А = 1,9; = –44,9 .

В итоге ток

i1 i1пр i1св 4sin 628t 78,9 1,9e 417t sin 1350t 44,9 A.

Построенная в соответствии с расчетом зависимость i1 t приведена на

рис. 32.

A

i1

i1пр

i1св

i

t

Рис. 32. Зависимость тока i1 от времени в переходном режиме

57

3. ОПЕРАТОРНЫЙ МЕТОД

3.1. Основные положения

Операторный метод в отличие от классического предусматривает переход от функций времени f(t), называемых оригиналами, к функциям F(p) – изобра-

жениям. Такой переход называется прямым преобразованием. Используется и обратный переход – от изображений к оригиналам, называемый обратным пре-

образованием.

Прямое преобразование переводит дифференциальные уравнения элект-

рических цепей в линейные алгебраические уравнения, решение которых осу-

ществляется более просто.

Обратное преобразование позволяет получить искомые ток и (или) на-

пряжение – функции времени. В электротехнике изображения, например, на-

пряжения или тока, чаще всего обозначаются большими буквами.

Один из путей получения изображений состоит в использовании преобра-

зования Лапласа

где L символическое обозначение преобразования Лапласа.

Например, для постоянного напряжения u U const применение выра-

жения (214) дает формулу:

58

следовательно, в соответствии с выражением (215), (216):

p

или

Аналогично определяется изображение синусоидальной функции:

и ряда других функций.

В литературе [3, 4] приводятся таблицы соответствия изображений и ори-

гиналов, которыми можно пользоваться при расчете переходных процессов.

Следует только иметь в виду, что наряду с преобразованием Лапласа может применяться и преобразование Карсона

которое от уравнения (214) отличается наличием множителя р перед интегралом.

Преобразование дифференциальных уравнений требует использования изображений производных и интегралов, которые определяются также на осно-

ве выражения (214) применением способа интегрирования по частям:

где f 0 начальное значение функции f(t);

f 1 0 начальное значение интегральной функции f t dt .

В дифференциальных уравнениях электрических цепей на основе выра-

жения (222) записываются напряжение на индуктивности

59