Раздел I. ПРЕДЕЛЫ. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

§ 1. Математическая и логическая символика

В математике употребляются специальные символы, позволяющие сократить запись и точнее выразить утверждение:

, , , , , , , , , .

Напр мер, пр меняя символ «>» к числам a, b, получим запись «a > b», которая является сокращением для предложения «Число a

пользуется лог ческая символика, применяемая к высказываниям и предикатам.

Высказыван е – это предложение, которое либо только истинно, либо только ложно. Например, высказывание «–3 > 0» ложно, а высказывание «2 2 = 4» истинно. Предикат – это предложение с одной переменной или несколькими переменными. Например, предложение «Число x больше числа 0» (в символах x > 0) является предикатом от одной переменной x, а предложение «a + b = c» – предикат от трех пе-

«–3 не больше 0» («неверно, что –3Дбольше 0»).

2.Конъюнкция применяется к двум высказываниям или предикатам, соответствует союзу «и», обозначается А & B (или A B).

Так, формула (–3 > 0) & (2 2 = 4) означает предложение «–3 > 0 и 2 2 = 4», которое, очевидно, ложно.

3.Дизъюнкция применяется к двум высказываниям или предикатам, соответствует союзу «или» (неразделительному) и обозначается

A B .

Предложение «Число x принадлежит множеству M1 или множеству M2» изображается формулой x M1 x M2 .

5

4.Импликация соответствует союзу «если ..., то ...» и обозначается A B.

Так, запись «a > –1 a > 0»есть сокращение для предложения «Ес-

лиa>–1,тоa>0».

5.Эквиваленция A B соответствует предложению «A тогда и Столько тогда, когда B».

6.Квантор общности читается, как «любой», «каждый», «все» ли с предлогом «для»: «для любого», «для всех» и так далее. Квантор пр меняется к предикату F(x, ...), содержащему одну пе-

ременнуюи(напр мер, x) или несколько переменных, при этом получается формула x F(x,...), которая соответствует предложению «Для любого x выполняется F(x, ...)» или «Все x обладают свойством

F(x, ...)».

матики, точноебАопределение множества не дается, но его можно пояснить, описать через другие понятия. Можно сказать, что множество – это совокупность, собрание какихД-то объектов, предметов, при этом объект, входящий в это множество, называют его элементом. Множества могут содержать как конечное число элементов, так и бесконеч-

7. Квантор существования читается «существует», «найдется» аналог чно. Квантор , примененный к предикату F(x,...), соответствует предложен ю «Существует x, такой, что F(x,...)» («Найдется

x, для которого F(x,...)») и о означается x F(x,...).

§ 2. Множества

Понятие множества является первоначальным понятием мате-

но много элементов. Рассматривают и множество, не содержащее элементов, его называют пустым, обозначают символом Ø.

вые множества, за некоторыми из них закреплены специальные обозначения.

В математическом анализе чаще всегоИрассматриваются число-

Множество всех натуральных чисел: N = {1,2,3,...}.

Множество всех целых чисел Z содержит натуральные числа,

ноль, целые отрицательные числа: Z = {..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.

Множество рациональных чисел обозначается через Q. Рацио-

нальным называется число, которое можно представить в виде отно-

шения двух целых чисел: p (p Z, q Z, q 0). То есть q

6

Например, рациональное число 5/6 представимо бесконечной периодической дробью 5/6 = 0,83333..., а число 3/8 = 0,375. В последнем случае можно сч тать десятичную дробь тоже бесконечной с числом

между аи b.

В зависимости от того, присоединены концы промежутка к нему или нет, различают

– интервалы:

7

a,b x a x b ;

, a x x a ;

, R вся числовая ось;

– отрезки:

a,b x a x b ;

– полу нтервалы:

Рис. 3 И

Точки x этого интервала удовлетворяют неравенствам x0 x x0 ;

x x0 ;

xx0 .

8