- •Донской государственный технический университет
- •1.Литература
- •2. Введение.
- •3.1.Пример решения к.Р. №1 по математике по теме
- •Для исследования выпуклости и перегиба найдем вторую производную, ее нули (точки подозрительные на перегиб)
- •Геометрический смысл производной. Если кривая задана уравнением , то— угловой коэффициент касательной к графику функции в этой точке ().
- •Правила дифференцирования
- •Формулы дифференцирования основных элементарных функций
Для исследования выпуклости и перегиба найдем вторую производную, ее нули (точки подозрительные на перегиб)
При возрастании x вторая производная в точке меняет знак с минуса на плюс (слева от этой точки график функции выпуклый вверх, а справа от этой точки график выпуклый вниз), значит,- это точка перегиба функции,
Пример решения К.Р. 2 по математике по теме
«Функции нескольких переменных», 1 семестр
Задача 1. Найти область определения и непрерывности функции
Решение. Аргумент логарифма должен быть больше нуля,
На плоскости (x,y) это вся плоскость с выколотым началом координат.
Задача 2. Записать уравнение семейства линий уровня функции
Какая линия уровня проходит через точку M0(0,2)?
Решение. Семейство линий уровня записывается так:
Это семейство прямых.
Подставим координаты точки M0 и найдем С:
Значит, через точку M0 проходит прямая
Задача 3. Найти частные производные первого порядка от функций
Решение. Находим частные производные по каждому аргументу:
Задача 4. Вычислить полный дифференциал dz и полное приращение z функции z=2x22y в точке M0(2,2) при x=0,1, y0,1. Оценить абсолютную и относительную погрешности приближенного равенства zdz.
Решение. Найдем приращение в точке M0:
Найдем полный дифференциал dz в точке M0:
Абсолютная погрешность:
Относительная погрешность:
Задача 5. Найти частные производные если неявно задана функцияz(x,y) при помощи уравнения F(x,y,z)=0, где
Решение. Найдем частные производные неявной функции:
Задача 6. Найти вторые частные производные если
Решение. Найдем первые, а затем вторые частные производные:
Задача 7. Составить уравнение касательно плоскости и нормали к поверхности в точкеM0(1,1,2).
Решение. Уравнение касательной плоскости к поверхности имеет вид
В нашем случае
а в точке M0(1,1,2)
Отсюда уравнение касательной плоскости:
Уравнение нормали к поверхности имеет вид
В нашем случае уравнение нормали:
Задача 8. Вычислить производную функции в точке
M0(1;2;1) в направлении вектора
Решение. Найдем сперва частные производные:
а в точке M0(1;2;1):
Вектор градиента в этой точке будет:
Вектор единичной длины, направленный вдоль вектора будет:
Искомая производная вычисляется по формуле
Задача 9. Найти градиент скалярного поля в точкеM0(1;1;2), модуль градиента и объяснить смысл результата.
Решение. Найдем частные производные:
а в точке M0(1;1;2):
Вектор градиента в этой точке будет:
Длина этого вектора равна
Смысл результата: градиент направлен по нормали к поверхности уровня
или
и указывает направление наибыстрейшего роста функции.
Задача 10. Исследовать на экстремум функцию
Решение. Найдем частные производные:
приравняем их нулю, получим систему
Решив эту систему, найдем x=1, y=2. Следовательно, единственная критическая точка, подозрительная на экстремум, M0(1,2).
Найдем вторые производные в этой точке:
Составим определитель
По теореме о достаточном условии экстремума, поскольку >0, A>0, то функция имеет минимум в точке M0. Этот минимум равен
4. Краткие сведения по теме производная функции одной переменной
Производной функции называется конечный предел отношения приращения функциик приращению независимой переменнойпри стремлении последнего к нулю:
(1)
Обозначения производной в точке х0:
и другие.
Если функция в точке х0 (или на промежутке Х) имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке (или на промежутке Х).
Процесс отыскания производной называется дифференцированием.