Теория динамических систем

Понятия системы, основные характеристики системы.

Система – это совокупность элементов, находящихся во взаимодействии и связаны определенной структурой.

Базовый блок любой системы – составляющие ее элементы, каждый элемент характеризуется набором состояний, в которой он может находиться.

Схема функционирования элемента системы:

Для многих систем характерен принцип обратной связи – выходной сигнал может использоваться для коррекции управления.

S(t) – состояние элемента в момент t.

U(t) – управление элементом в момент t.

a(t) – внешняя среда элемента в момент t.

E(t) – случайные воздействия элемента в момент t.

Y(t) – выходной сигнал элемента в момент t.

В общем случае описание функционирования элемента системы производится при помощи системы дифференциальных или разностных уравнений следующего вида:

Y(t) =f(S(t), S(t-1), …,U(t),U(t-1),…,a(t),a(t-1),…,E(t),E(t-1),…)

(Y(t) = g ( S(t), a(t), E(t)) (1)

Примеры структуры системы:

1. линейная (последовательная):

2. иерархическая (древовидная):

3. радиальная ( звездообразная ):

4. сотовая или матричная:

5. многосвязная – с произвольной структурой.

При анализе динамических систем рассмотрим решение следующих задач:

1. Задача наблюдения – состоит в определении состояния системы в момент времени S(t) по данным выходных величин (о их поведении) в будущем.

Найти S(t) , зная, для системы с дискретным временем.

для систем с непрерывным временем.

2. Задача идентификации – в определении текущего состояния S(t) по данным о поведении выходных величин в прошлом.

3. Задачи прогнозирования – определение будущих состояний по данным ткущих и

прошлых значений.

Найти S (t+1), S (t+2),… зная

4. Задача поиска управления – найти управляющую последовательность U(t), U(t+1),…, U(S), S > t, которая приводит систему из состояния S(t) = X в состояние S(S) = Y.

5. Задача синтеза максимального управления – состоит в определенной оптимальной последовательности управляющих воздействий U*(t) решающий задачу 4 и максимальную целевую функцию или функциональную:

F(S(t)), t = 0,1,2,…

Типы систем:

1. По наличию случайных факторов:

- детерминированные

- стохастические – влиянием случайных факторов нельзя принебреч.

2. По учету фактора времени:

- системы с непрерывным временем

- системы с дискретным временем

3. По влиянию прошлых периодов:

- Марковские системы – для решения 1 и 2 задач нужна информация только за непосредственно предшествующий или последующий период. Для Марковской систем уравнение (1) принимает вид: G(S(t), S(t-1), U(t), U(t-1), a(t), a(t-1), E(t), E(t-1)) = 0

- немарковские.

Некоторые общие свойства систем:

1. причинность – возможность предсказывать последствия некоторых последствий в будущем. Част. случай: предопределенность системы означает, что в сущности такие состояния, для которых вся будущая эволюция системы может быть вычислена на базе прошлых наблюдений.

2. управляемость – состоит в том, что подходящим выбором входного воздействия U можно добиться любого входного сигнала Y.

3. устойчивость – система является устойчивой, если при достаточно малых изменениях условий ее функционирования поведение системы существенно не изменится.

4. инерционность – возникновение запаздываний в системе при реакции (запаздывания) на изменение управления и (или) внешней среды.

5. адаптивность – способность системы изменять поведения и (или) свою структуру в ответ на изменение внешней среды.

Детерминированные динамические системы с дискретным временем.

Многие приложения в экономике требуют моделирования систем во времени.

Состояние системы в момент времени t описывается мерным вектором X(t).

X¹(t)

X(t) = ….. , X (t) Rⁿ ( R – множество всех вещественных чисел)

Xⁿ(t)

t

Эволюция системы со временем описывается функцией

G (X⁰, t, ) , где

X⁰ – начальное состояние системы;

t – время;

- вектор параметров.

Функция g(*) называют также переходной функцией

Функция g(*) – это правило, описывающее текущее состояние как функцию от времени, начальных условий и параметров.

Например: X_t = X₀ (1+)^t = g (X₀, t, )

Функция g(*) как правило не известна. Обычно она задана неявно как решение системы разностных уравнений.

Разностное уравнение или система уравнений – это уравнения в следующей форме : F (t, X_t, X_t+1, …, X_t+m, ) = 0 (1), где

X_t – состояние системы в момент времени t.

Решение уравнения (1) – это последовательность векторов

X_t = X₀, X₁,…,

Обычно предполагается, что уравнение (1) можно решить аналитически относительно X_t+m и переписать в форме так называемых уравнений – состояний :

X_t+m = f (t, X_t, X_t+1, …,X_t+m-1, )(2)

Например:

X_t+2 = X_t + X_t+1/2 + t

Любую систему представляют в форме (2) всегда можно ?

Разностное уравнение (2) называется линейным, если F(*) является линейной фуекцией переменных состояний (не обязательно линейно относительно )

В уравнениях (1) и (2) величина m называется порядком системы не является серьезным ограничением, так как системы более высокого порядка путем введения дополнительных переменных и уравнений.

Пример: X_t = f (X_t-1, Y_t-1) – система 2-го порядка

Введем Y_t = X_t-1

X_t = f(X_t-1, Y_t-1)

Y_t = X_t-1

Таким образом, мы будем рассматривать только системы 1-го порядка следующего вида:

X_t-1 = f(t, X_t, ) (3)

Уравнение (3) называется автономным, если t не входит в него отдельным аргументом.

Пример:

Рассмотрим динамику основных фондов на предприятии

K_t – стоимость основных фондов предприятия в период t.

- норма амортизации, то есть % основных фондов, которые изъяли на предприятии за год.

I_t = инвестиции в основные фонды.

K_t+1 = ( 1 - )K_t + I_t – уравнение 1-го порядка, линейное, если I_t = I, тогда

K_t+1 = ( 1 - )K_t + I – уравнение автономное

Если I_t = I(t) – неавтономное (зависит от t)

Решение уравнения (3) – это последовательность векторов состояния {X_t}, удовлетворяющих уравнению (3) для всех возможных состояний. Эта последовательность называется траекторией системы. Уравнение (3) показывает, как состояние системы изменяется от периода к периоду, а траектория системы дает ее эволюцию как функцию начальных условий и состояния внешней среды .

Если известно начальное состояние X₀, легко получить последовательность решений путем итеративного применения отношения (3), получим переходную функцию следующим образом:

X_t+1 = f (t, X_t, )

{X_t}

X₀ = X⁰

X₁ = f ( 0, X⁰, ) = g (0, X⁰, )

X₂ = f ( 1, X, ) = f (1; f (0, X⁰, );) = g (1, X⁰, )

X_t+1 = f (t, X_t, ) = f ( t, g, (t – 1, X⁰, ),) = g (t, X⁰, )

Если f (*) однозначная, всюду определенна функция, то существует уникальное решение уравнения (3) для любого X⁰.

Если функция имеет вид f (t, X_t, ) = / X_t – не всюду опрделенная.

Если f (*) непрерывная дифференциальная функция, то решение также будет гладким относительно и X⁰

Полученное решение зависит от начального состояния X⁰.

Задача с граничным условием состоит из уравнения (3) и граничного условия, задаваемого в формуле:

X_s = X^s (4)

Если в уравнении (4) – S = 0 , то оно называется начальным состоянием.

Уравнение (3) имеет много решений, а уравнение (3) + (4) – система – единственное решение, поэтому различают общее и частное решение разностного уравнению (3):

X_t^g = X(t, c, ) = {X_t(X_t+1 = f (t, X_t, ))} , где параметр е индексирует частное решение.

Пример:

X_t – размер вклада в момент t

Z - % я ставка

X_t+1 = X_t ( 1+ z ) ; X₀ = …

X₁ = X₀ ( 1 + z)

X₂ = X₁ ( 1 + z) = X₀ ( 1 + z)² = g (X₀, t, z) , где t = 2

Если можно найти общее решение системы (3) . у нас будет полная информация о поведении системы со временем, будет легко определить, как система реагирует на изменение параметров.

К сожалению, общее решение существует только для определенных классов l – го порядка ( в частности для линейных систем )

Автономные системы

Поведение автономных систем задается разностным уравнением

X_t+1 = f (X_t, ) (1)

Автономные системы моделируют ситуации, где структура системы остается неизменной со временем. Это дает возможность использовать для анализа графический метод.

X_t=1 = f (t, X_t, )

X_t = X_t+1 – X_t = f (t, X_t, ) - X_t = d (t, X_t, ) (2)

Функция d (*) показывает на сколько изменится состояние системы от периода к периоду. В каждой точке X_t можно сопоставить вектор X_t в соответствующем уравнении (2) Функция d (*) в этом контексте называется векторным полем

X⁰/t = 0

Для автономных систем и

В автономных системах все системы, попавшие когда-либо в т. Х₀ в последствии следуют одной и той же траекторией. В неавтономных системах поведение зависит также и от того, когда система попала в т. Х_0.

При начальном условии Х₀ для автономных систем применим уравнение (1):

дважды последовательно примененная.

В выше приведенной системе f^t означает результат t-кратного итеративного применения функции f ( ) к своему аргументу. Функция f^t показывает, куда перейдет система за t периодов из начального состояния.

Пример:

X_t – куда перейдет система из т. Х₀ за t периодов времени.

Функция f^tиногда называется потоком системы.

Устойчивые состояния. Периодические равновесия. Стабильность.

С течением времени система переходит к устойчивому состоянию. Поэтому нас будет интересовать асимптотическое поведение системы при t → ∞.

Рассмотрим систему

Следовательно, если существует, то.

Точка Х, удовлетворяющая уравнению называется неподвижной точкой отображения.

Точка называется в контексте динамических систем устойчивым состоянием или стационарным состоянием.

Неподвижные точки широко используются для изучения долговременного поведения динамических систем.

Пример:

если , то 1 в противном случае 0

Теория устойчивости Ляпунова

Точка называется стабильной по Ляпунову, если для любого числасуществует такое число,, что из условиядля всех.

–длина вектора на плоскости.

–равновесное состояние.

–норма вектора Х.

Точка будет стабильной по Ляпунову в том случае, когда система один раз попав в окрестность точкии в дальнейшем останется в окрестности.

Точка называется асимптотически устойчивой по Ляпунову если:

1. Она стабильна по Ляпунову;

2. для любого

Для асимптотически устойчивых систем с течением времени система подходит все ближе и ближе к своему равновесному состоянию.

Система ведет себя так:

–поток системы

–куда перейдет система через к шагов

Периодическим решением динамической системы называется решение в форме, где р – период системы или период траектории.

Таким образом, периодическое решение является неподвижной точкой отображения .

Пример:

Неподвижная точка

Проверим, есть ли неподвижная точка :

любая точка является неподвижной.

Скалярные линейные системы

Скалярные линейные системы имеют форму: (1)

–уравнение, подданное в момент t.

Если в уравнении (1) , то, то оно называется однородным.

Однородные линейные системы

Для скалярных систем удобно анализировать поведение системы при помощи фазовой диаграммы. Фазовая диаграмма – это график зависимости

Случай 1. 0<a<1

Является аналитически стабильной

–линейная, если а=1, под 45⁰ – угол наклона.

Для 0<a<1 – угол наклона <45⁰

Случай 2. -1<a<0

Затухающие колебания

Случай 3. а>1

x_t+1=x_t

Случай 4. а<-1

Случай 5. а = 1

Случай 6. а = 0

Случай 7. а = -1 x_t+1 = -x_t

Если , то

, то

Общее решение однородных линейных систем имеет вид:

При ,,

Неоднородные линейные системы первого порядка

(1)

–управление

При анализе неоднородных систем важную роль играет принцип «суперпозиции».

Он заключается в том, что общее решение уравнения (1) может быть записано в форме уравнения:

(2)

где – общее решение однородного уравнения (1):и называется комплементарной функцией.

–любое частное решение неоднородного уравнения (1).

Пример:

Автономное уравнение (1)

1.

2.

Доказательство:

1. [Достаточность] Если – решение уравнения (1), то– тоже будет решением уравнения (1).

Если – решение уравнения (1), то.

Если – другое решение уравнения (1), то

Рассмотрим функцию и проверим, является лирешением уравнения (1).

2. [Необходимость] Мы показали, что если мы начнем с какого-либо решения и добавим к нему, то мы получим решение уравнения (1). Возникает вопрос, получим ли мы подобным образом все решения уравнения (1). Докажем, что это действительно так:

Пусть у нас есть два решения (1), и:

Вычтем:

Обозначим

- однородное, z_t=ca^t

-=ca^t =+ca^t

Автономные линейные системы

Х_t+1=ax_t+U (3)

=+ (2)

= ca^t

₌a₊U=

=+ ca^t

Если

Если

x_t

В случае, когда с течением времени система достигает состояния→ и соответствующим подбором уравнения U мы сможем достигнуть любого состояния. Система (3) называется в таком случае управляемой.

Если , то с течением времени система примет неограниченные значения вне зависимости от уравнения и, следовательно, будет неуправляемой.

Общее решение (3) имеет вид:

(4)

Рассмотрим граничное условие x_s=x^s:

(5)

Неавтономные линейные системы

X_t+1=ax_t+U_t

X_t+1=ax_t+U_t=a(ax_t-1+U_t-1)+U_t=a² x_t-1+a U_t-1+ U_t= a² (ax_t-2+U_t-2)+ aU_t-1+ U_t= a³ x_t-2+a U_t-2+ aU_t-1+ U_t)=

Если , то

Если , то

Предположим, последовательность U_t является ограниченной, т.е. U_t≤для любогоt.

Тогда - пограничное значение.

ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

1. Паутинообразная модель рыночного равновесия.

Основные предположения модели:

1. линейный характер кривой спроса

2. линейный характер кривой предложения

3. равенство кривой спроса и предложения

Спрос:

где d₀, d₁>0

Предложение:

, где S₁>0, S₀≤0 (так как при цене 0 никто ничего не выпускает).

Равновесие:

d₀-d₁P_t=S₀+S₁P_t-1

d₁P_t=d₀-S₀ –S₁P_t-1 │:d₁

P_t=(*)

P₀

Для того чтобы цены с течением времени сходились к равновесной цене, необходимо, чтобы отношение илиS₁<d₁, т.е. необходимо, чтобы наклон кривой предложения был меньше, чем наклон кривой спроса. Если S₁=d₁, цены будут циклически колебаться. Если S₁>d₁ в системе будут расходящиеся колебания.

на графике кривая

предложения круче, чем кривая спроса.

d₁p^*=d₀-S₀-S₁p^*

Для более рационального поведения производители в своих решениях должны учитывать не6 только текущую, но и будущую конъюнктуру рынка. Таким образом, для нормального функционирования рынка важна способность экономических агентов формировать ожидание будущего (делать прогнозы).

2. Динамика цен на финансовых рынках.

S – предложение недвижимости

D – спрос на недвижимость

P_t – стоимость акций в момент t.

d_t – дисиденті в момент t.

r –процентная ставка по депозитным счетам.

- ожидаемая стоимость акций в момент t+1.

Арбитражем называется ситуация, позволяющая получить инвестору немедленную прибыль без риска за счет покупки актива по низкой цене и его немедленной перепродажи по более высокой цене.

Считается что рынок является эффективным, если на нем отсутствуют возможности для арбитража.

Воспользуемся принципом отсутствия арбитража, чтобы получить балансовое соотношение для стоимости акций.

1. Инвестируем P_t в банк, в (t+1) получаем P_t(1+r)

2. Покупаем за P_t акцию, в (t+1) получаем

(1)

На примере Харьковской недвижимости:

P_t=30 тыс.дол.

D_t=2 тыс.дол. в год – плата за сдачу жилья

r=10 %

-ожидаемая цена на квартиру в следующем периоде.

=33-2=31 тыс. дол.

МЕХАНИЗМЫ ФОРМИРОВАНИЯ ОЖИДАНИЙ

1. Модель адаптивных ожиданий

=, где 0≤≤1

=0 =

=1 =

- метод экспоненциального сглаживания (2)

(1)

(2)

Предположим, что d_t=d=const для любого t

0<a<1

Общее решение: , где Р₀ – первоначальная стоимость акций.

a<1, a^tP₀ 0

фундаментальная стоимость акций.

a^tP₀ – спекулятивная составляющая

2. Модель рациональных ожиданий

Недостаток – низкая скорость обучения участников рынка. Это открывает возможность для интертепорального арбитража, т.е. спекуляции на прогнозируемых изменениях курса акций в последующих периодах.

Чтобы устранить это логическое противоречие, в 1970-х была предложена модель рациональных ожиданий (Р. Лукас).

Суть модели – в среднем рынок не может систематически ошибаться в оценке курса активов. Применительно к нашей модели это означает следующее: инвесторы не должны систематически ошибаться в оценке стоимости акций.

- несмещенность оценки, т.е. - является несмещенной оценкойP_t+1; или =P_t+1+E_t

E_t – ошибка оценивания

Рассмотрим экстремальный вариант модели рациональных ожиданий (модель с полным предвидением), в которой ошибка оценивания равна 0.

С модели с полным предвидением предположим, что E_t=0, т.е. =P_t+1

Рассмотрим динамику цен на акции в модели с полным предвидением.

Условие арбитража:

(1+r) P_t=dt

(1+r) P_t=dtP_t+1

=P_t+1

P_t+1 =(1+r) Pt-d (3)

P_t является нестабильной, P_t→, поскольку (1+r) >, если только не начинаем движение с неподвижной точки:

Если P_t= , тоP_t+k=

d=0, P_t+1=(1+r) Pt

В модели полного предвидения ожидания инвесторов играют роль самовыражающегося пророчества, цены на активы могут неограниченно расти, т.к. инвесторы считают, что они будут расти. Таким образом, в такой модели спекулятивная компонента стоимости акций доминирует над ее фундаментальным значением.