Тема 7. Функции нескольких переменных.

Функции нескольких переменных, понятие предела и непрерывности. Частные производные различных порядков. Полное приращение и полный дифференциал. Производная сложной и неявно заданной функции. Производная по направлению и градиент функции. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Экстремум функции 2-х переменных. Наибольшее и наименьшее значение функции в ограниченной замкнутой области.

Тема 8. Неопределенный интеграл.

Первообразная функции. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица неопределенных интегралов. Замена переменных и интегрирование по частям. Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование тригонометрических выражений. Интегрирование иррациональных выражений. Интегралы, не берущиеся в элементарных функциях.

Тема 9. Определенный интеграл.

Определенный интеграл как предел интегральной суммы. Геометрический и физический смысл. Дифференцирование по верхнему пределу. Формула Ньютона‑Лейбница. Замена переменных в определенном интеграле. Интегрирование по частям. Геометрические и физические приложения определенного интеграла. Несобственные интегралы. Численные методы нахождения определённого интеграла.

Тема 10. Кратные интегралы. Элементы теории поля

Фигуры: плоская область, пространственное тело, линия, поверхность. Мера фигур. Задача о массе фигуры. Интегральная сумма и определенный интеграл по фигуре. Основные свойства. Вычисление двойного интеграла в декартовой и полярной системах координат. Вычисление тройного интеграла в декартовой и цилиндрической системах координат. Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода. Вычисление поверхностного интеграла 1-го рода. Геометрические и механические приложения интегралов по фигурам. Скалярные поля. Линии и поверхности уровня. Производная по направлению и градиент. Векторные поля. Векторные линии. Ротор и дивергенция векторного поля. Поток векторного поля через поверхность. Физический смысл потока в поле скоростей жидкости. Вычисление потока. Теорема Остроградского. Линейный интеграл в векторном поле. Работа силового поля. Циркуляция векторного поля. Теорема Стокса. Потенциальное векторное поле. Нахождение потенциала. Вычисление работы потенциального векторного поля.

Тема 11. Дифференциальные уравнения.

Понятие дифференциального уравнения (ДУ) и его решения. Порядок ДУ. ДУ 1-го порядка. Задача Коши. Формулировка теоремы о существовании и единственности решения ДУ. Общее и частное решение ДУ. ДУ с разделяющимися переменными, однородные, линейные, Бернулли, в полных дифференциалах. ДУ 2-го порядка, задача Коши. ДУ 2-го порядка, допускающие понижение порядка. Линейные ДУ 2-го порядка (ЛДУ), свойства решений. Структура общего решения однородного и неоднородного ЛДУ. Метод вариации произвольных постоянных. Решение ЛДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами (однородного и со специальной правой частью). Системы ДУ, решение их методом сведения к одному ДУ. Понятие об уравнениях в частных производных, основные задачи математической физики.

Тема 12. Ряды.

Числовой ряд. Частичные суммы. Сумма ряда, сходимость. Необходимый признак сходимости числового ряда. Знакопостоянные ряды. Достаточные признаки сходимости: интегральный признак, сравнение рядов с положительными членами, признаки Даламбера и Коши. Знакочередующиеся ряды, теорема Лейбница. Оценка остатка знакочередующегося ряда. Знакопеременные ряды, абсолютная и условная сходимость. Теорема об абсолютной сходимости. Понятие о функциональных рядах, область сходимости. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости. Свойства степенных рядов. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение основных элементарных функций в степенные ряды. Использование степенных рядов в приближенных вычислениях (интегрирование, решение дифференциальных уравнений, вычисление значений функций). Периодические функции. Коэффициенты Фурье и ряды Фурье. Условия разложения функций в ряды Фурье. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций.