Листы 3 и 4.

Построить развертки пересекающихся многогранников - прямой призмы с пирамидой. Показать на развертках линию их пересечения. Примеры построения даны на рис.5 и 6.

Чтобы построить развертки пересекающихся многогранников не-обходимо выполнить вспомогательные построения для определения натуральных величин ребер многогранников (пример на правой стороне листа 2 рис.4).

Плоская фигура, полученная в результате совмещения какого-либо отсека поверхности с плоскостью, называется разверткой. Поверхность при этом уподобляется гибкой, нерастяжимой пленке. Необходимым условием совмещения является отсутствие разрывов и складок на развертке.

С позиции теории множества поверхность и ее развертку следует рассматривать как два точечных множества.

Так как, по определению, развертка поверхности представляет собой плоскую фигуру, образованную из поверхности без разрывов и складок, то между этими двумя множествами устанавливается взаимно однозначное соответствие.

Каждой точке (фигуре) на поверхности соответствует точка (фигура) на развертке и наоборот (рис.7). При развертывании сохраняются: длины линий, величины углов и площадь.

Поверхности делятся на развертывающиеся и не развертывающиеся. К первым поверхностям относятся все многогранные поверхности, а из кривых - линейчатые поверхности, которые имеют взаимно параллельные или пересекающиеся смежные образующие.

Из всего множества линейчатых поверхностей таковыми являются только цилиндрические, конические и торсовые.

Развертка поверхностей является основой для построения выкроек из листового железа, ткани. Выкройкам же путем свертывания и соединения с помощью сварки, пайки, клейки, сшивания придается форма поверхности изделия. Так получают различные изделия:

к ожухи, резервуары, трубопроводы, тару, одежду и т.д.

Рис.7

Таким образом, поверхности можно придать форму плоской фигуры -развертки, а развертку свернуть в поверхность.

Построение развертки пирамиды.

Строим полную развертку поверхности пирамиды и показываем на боковой поверхности линию пересечения.

Развертка боковой поверхности представляет собой плоскую фи­гуру, состоящую из треугольников - граней пирамиды.

Боковые ребра пирамиды (кроме ребра ДС) и стороны основания пирамиды представляют собой прямые общего положения. Поэтому предварительно следует определить натуральные величины всех ребер пирамиды. При этом можно воспользоваться любым из известных способов.

Натуральную величину отрезка можно определить способом прямоугольного треугольника.

П усть дан отрезок АВ прямой общего положения и его горизонтальная проекция А₁В₁ (рис.8). Через точку А проведем прямую АВ* параллельную плоскости П₁. Получим прямоугольный треугольник АВВ*, в котором гипотенузой является данный отрезок АВ, один катет равен длине горизонтальной проекции отрезка (так как АВ* А₁В₁), а второй катет - разности расстояний от концов А и В отрезка до плоскости П₁. Угол , образованный отрезком АВ и его проекцией A₁B₁, является углом наклона отрезка АВ к плоскости проекций П₁.

Аналогично, при проведении прямой, параллельной плоскости проекций П₂, получим прямоугольный треугольник, в котором одним катетом будет фронтальная проекция данного отрезка, а вторым -разность расстояний от концов А и В отрезка до плоскости П₂.

Угол, образованный, отрезком АВ и его фронтальной проекцией. А₂В₂ , будет углом наклона отрезка АВ к плоскости проекций П₂.

Рис.8

Рассмотрим решение данной задачи на комплексном чертеже.

На рис.9а дан прямоугольный треугольник на горизонтальной плоскости проекций.

Горизонтальная проекция отрезка А₁В₁ принята за один из катетов, длиной второго катета В₁В₀ является разность расстояний от концов фронтальных проекций А₂ и В₂ до оси Х_1,2.

А₁В₀=/АВ/

При построении прямоугольного треугольника на фронтальной плоскости проекций (рис.9,б) за один из катетов принимается фронтальная проекция отрезка А₂Д₂, а длиной второго катета является разность расстояний концов горизонтальных проекций А₁ и В₁ до оси Х_1,2.

А ₂В₀ = /АВ/

Можно построить вспомогательный прямоугольный треугольник в стороне от комплексного чертежа (рис.10).

Треугольник строится по двум катетам: длина одного катета равна длине одной из проекций, например, отрезка А₁В₁. Длина другого катета В₁В₀ равна разности высот концов А и В отрезка.

Гипотенуза такого треугольника будет определять натуральную величину отрезка АВ.