9. Подставить полученное значение ℓ в формулу периода и частоты колебаний математического маятника Контрольные вопросы

1. Какие процессы называют колебаниями? В каком случае колебания называют свободными?

2. При каких условиях в системе могут возникнуть свободные колебания?

3. Перечислите параметры, описывающие колебательное движение и укажите единицы их измерения.

4. Напишите соотношения между периодом и частотой (циклической частотой) свободных колебаний в системе.

5. Какую колебательную систему называют математическим маятником?

6. При каких условиях тело, подвешенное на нити, можно описывать идеализированной моделью математического маятника?

7. Напишите дифференциальное уравнение колебаний математического маятника. Какие величины оно связывает?

8. Напишите уравнение колебаний математического маятника.

9. Какие колебания называют гармоническими? При каких условиях колебания математического маятника будут гармоническими?

10. Получите из уравнения колебаний (путем его дифференцирования по времени) зависимости скорости и ускорения математического маятника от времени.

11. Напишите формулы для расчета частоты, циклической частоты и периода колебаний математического маятника.

12. От чего зависит частота и период колебаний математического маятника? От чего не зависит? Как понимать изохронность колебаний математического маятника?

13. Какую колебательную систему называют пружинным маятником? Напишите дифференциальное уравнение его колебаний,

14. Напишите уравнение колебаний пружинного маятника. При каких условиях колебания пружинного маятника будут гармоническими?

15. Как изменяются со временем скорость и ускорение пружинного маятника?

16. Напишите формулы для расчета частоты, циклической частоты и периода колебаний пружинного маятника.

17. От чего зависит частота и период колебаний пружинного маятника?

18. Напишите формулы для расчета возвращающей силы, кинетической, потенциальной и полной энергии математического и пружинного маятника.

19. Опишите превращения энергии при колебаниях математического и пружинного маятника. Через какую долю периода колебаний этих маятников кинетическая энергия полностью превращается в потенциальную энергию и обратно?

Образцы решения задач

1. Материальная точка совершает гармонические колебания по закону: см. Найти амплитуду , период Т, частоту v, циклическую частоту , начальную фазу колебаний и смещение х точки в начальный момент времени (при t = 0).

Решение. Из сравнения стандартного уравнения гармонических колебаний с приведенным в условии задачи следует, что 5 см; рад.

Определим период колебаний: с;

Гц; рад/с.

см – смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени.

2. Как изменится период колебаний маятника в часах, если часы поднять на высоту h над поверхностью Земли? На сколько будут отличаться показания этих часов за сутки от показаний таких же часов, находящихся на поверхности Земли? Вычислить результат для высоты h = 5200 м. Радиус Земли считать известным.

Решение. Зависимость ускорения свободного падения от высоты h над поверхностью Земли имеет вид:

, где – ускорение свободного падения на поверхности Земли, R – радиус Земли.

– период колебаний маятника в часах на поверхности Земли; – период колебаний маятника в часах на высоте h.

При подъёме над поверхностью Земли ускорение свободного падения уменьшается, поэтому период колебаний маятника в часах увеличивается. В результате часы начинают отставать.

– число колебаний маятника за сутки в часах, находящихся на поверхности Земли (t₀ = 86400 с).

Пусть маятник в часах, поднятых на высоту h, совершил также N колебаний. Тогда «сутки», измеренные по этим часам, составят .

– отставание часов, поднятых на высоту h.

Для высоты h = 5200 м отставание составит = 70,2 с.

3. Под действием силы F = 2 Н пружина растягивается на = 1 см. К этой пружине прикрепили груз массой m = 2 кг. Найти период колебаний данного пружинного маятника.

Решение. Период колебаний пружинного маятника определяется выражением , где m – масса маятника, k – коэффициент жесткости пружины. Коэффициент жесткости пружины определим из условия : .

Тогда 0,628 с – период колебаний маятника.