Введение

В настоящее время экономико-математические методы и модели являются одним из наиболее перспективных и быстро раз­вивающихся направлений экономической науки. Это обусловлено бурным развитием вычислительной техники и всеобщей компью­теризацией.

Специалист в области экономики должен хорошо разбирать­ся в экономико-математических методах и моделях, уметь их прак­тически применять для моделирования реальных экономических ситуаций. Это позволит лучше усвоить теоретические вопросы со­временной экономики, повысить уровень квалификации и общей профессиональной культуры специалиста. Изучение вопросов эко­номико-математического моделирования является одним из аспек­тов фундаментальной подготовки экономистов.

Одним из способов контроля и повышения знаний, предусмотренным в рамках курса, является контрольная работа. Контрольная работа выполняется с использованием программного обеспечения для расчета МОБ и текстового редактора Word. В данной работе автор выполнит расчеты и операции с моделью МОБ и выявит влияние от изменения удельной условно-чистой продукции.

Экономика условно разделена на четыре сектора (А, Б, В и Г).

Исходные данные для проведения расчетов.

Таблица 1. Коэффициенты прямых материальных затрат

0.05	0.00	0.06	0.15
0.12	0.07	0.04	0.12
0.07	0.05	0.04	0.10
0.15	0.07	0.10	0.05

Таблица 2. Объемы конечной продукции
Отрасли экономики
А	Б		В		Г
400	300		200		100
Таблица 3. Цены на продукцию отраслей
Отрасли экономики
А		Б		В	Г
5		15		5	10

Таблица 4. Изменение удельной условно-чистой продукции

Отрасли экономики
А	Б	В	Г
5	-	-	-10

Часть 1. Предварительная работа и исследование методов решения моб.

Обозначим через Xi; (i=l, n) валовую продукцию i-ой отрасли.

Введем в рассмотрение xij, (i=l, n), которое выражает количе­ство продукции i-ой отрасли необходимое для производства про­дукции j-ой отрасли. Хij, (i=1, n) еще называют производственно-эксплуатационными нуждами отраслей, а также межотраслевыми поставками.

Обозначим через Yj, (i=l, n) конечную продукцию i-ой отрас­ли.

Наконец, обозначим через Zj, (j=l, n) условно чистую продук­цию j-ой отрасли.

В данной задаче система уравнений будет иметь вид:

X 1 = 0.05x1 + 0.00x2 + 0.06x3 + 0.15x4 + 400

X2 = 0.12x1 + 0.07x2 + 0.04x3 + 0.12x4 + 300

X3 = 0.07x1 + 0.05x2 + 0.04x3 + 0.10x4 + 200

X4 = 0.15x1 + 0.07x2 + 0.10x3 + 0.05x4 + 100

Решение может быть найдено как с помощью точных (пря­мых) методов, так и с помощью приближенных (итерационных) методов.

Прямые методы позволяют найти точное решение за конечное число шагов.

Итерационные методы теоретически также позволяют найти точное решение, но при этом число шагов будет бесконечным.

Приближенными методами решения данной системы уравне­ний являются метод простой итерации и метод Зейделя, позво­ляющие найти приближенный ответ с определенной точностью. Процесс вычислений продолжается до тех пор, пока не будет вы­полнено условие:

| Xj^(k)- Xj^(k-1) | е, (i = l,n)

Результаты вычислений приведены в следующей таблице 5:

Таблица 5. Метод простой итерации и Метод Зейделя

точность е	кол-во итераций методом простых итераций	кол-во итераций методом Зейделя
0,0001	14	9
0,001	11	8
0,01	9	7
0,1	7	6
1	5	4

Процесс вычисления в методе Зейделя продолжается до тех пор, пока не будут выполнены те же условия, что и в методе про­стой итерации.

Надо заметить, что метод Зейделя сходится к точному реше­нию быстрее, чем метод простой итерации. Также решения, полученные обоими методами схожи по значению с небольшими различиями:

Таблица 6. Объемы валовой продукции
X1	477,76
X2	428,068
X3	290,761
X4	242,847

Данные получены с помощью программного обеспечения для решения МОБ в VisualBasic 6.0

На графике 1 показана зависимость количества итераций от точности решения и применяемого метода.

График 1. Исследование числа итераций метод простой итерации -метод Зейделя.

Часть 2. Сводный межотраслевой баланс в натуральном и стоимостном выражениях.

При рассмотрении межотраслевого баланса с использова­нием натуральных единиц измерения мы приходим к натуральному межотраслевому балансу. Он имеет следующий вид:

Xj=Σxij + Zi, j = l,n;

Xi=Σxij + Yi, i=l,n;

xij=aij*Xj, i,j=1,n

Найдем производственно-эксплуатационные нужды отраслей при заданных прямых материальных затратах и объемах валовой продукции.

a 11x1+ a12x2 + a13x3+a14x4

a21x1+ a22x2 + a23x3+a24x4

a31x1+ a32x2 + a33x3+a34x4

a41x1+ a42x2 + a43x3+a44x4

23,89	0,00	17,45	36,43
57,33	29,96	11,63	29,14
33,44	21,40	11,63	24,28
71,66	29,96	29,08	12,14

0.05*477.76+0*428.068+0.06*290.761+0.15*242.847

0 .12*477.76+0.07*428.068+0.04*290.761+0.12*242.847

0.07*477.76+0.05*428.068+0.04*290.761+0.10*242.847

0 .15*477.76+0.07*428.068+0.10*290.761+0.05*242.847

Натуральный межотраслевой баланс.

отрасли	А	Б	В	Г	Σ	Y		X
А	23,89	0,00	17,45	36,43	77,76	400,00		477,76
Б	57,33	29,96	11,63	29,14	128,07	300,00		428,068
В	33,44	21,40	11,63	24,28	90,76	200,00		290,761
Г	71,66	29,96	29,08	12,14	142,85	100,00		242,847
Σ	186,33	81,33	69,78	102,00	439,44
Z	291,43	346,74	220,98	140,85	1000,00
X	477,76	428,068	290,761	242,847

Значения Y и Z получены с помощью основных балансовых соотношений в Microsoft Excel: ; ; и .

В сводном материальном балансе все показатели даются в де­нежном или стоимостном выражении. При этом каждый продукт оценивается по единой цене независимо от того, где он использу­ется. Это главное условие сводного материального баланса.

Для того, чтобы перейти от натурального баланса к стоимост­ному умножим каждое уравнение межотраслевого баланса на соот­ветствующую цену продукции отрасли.

Получаем:

Хi*Р_i = Σаij*Хj*Рi+Yi*Рi, i = l,n;

Обозначим через:

Xi = Xi * Рi -стоимостное выражение валовой продукции i-oй отрасли;

Yi = Yi * Pi - стоимостное выражение конечной продукции;

Подставим:

Xi = Σaij * Xj * (Pj/Pj) * Pi + Yi, i=l,n;

X_i= Σaij*X_j + Y_{i ;} i=l,n;

Коэффициенты сводного материального баланса величины ajj, равны одноименному коэффициенту натурального баланса умноженному на отношение цены затрачиваемого продукта к цене производимого продукта Это отношение называется индексом относительной ценности двух продуктов. Оно показывает во сколько раз единица затрачиваемого продукта дороже единицы производи­мого продукта.

Xi = Σxj + Zj; j=1,n.

При этом Zj = Zj так как натуральные единицы измерения рав­ны стоимостным.

Найдем производственно - эксплуатационные нужды для сводного материального баланса по формуле: Xij = Xij*Pi, i = l,n;

X llPl + X₁₂P1 + X13Pl + X₁₄P1 23.89*5 0.00*5 17.45*5 36.43*5

X21P₂ + X22P2 + X23P2 + X24P2 57.33*15 29.96*15 11.63*1529.14*15 X31P3 + X32P3 + X33P3 + X34P3 33.44*5 21.40*5 11.63*5 24.28*5

X4lP4 + X42P4 + X43P4 + X44P₄ 71.66*10 29.96*10 29.08*1012.14*10

119,44	0,00	87,23	182,14
859,97	449,47	174,46	437,12
167,22	107,02	58,15	121,42
716,64	299,65	290,76	121,42

После подсчета получаем:

Найдем стоимость валовой продукции (Xj) по формуле: Xj = Xi*P.

4 77,76* 5 2388,8

428,068* 15 6421,02

Xj = 290,761* 5 1453,805

2 42,847* 10 2428,847

Найдем стоимость конечной продукции (Yi) по формуле:Yj = Yi*Pi

400*5 2000

Y j = 300*15 4500

200*5 1000

100*10 1000

На основе выше найденных данных таблица свободного матери­ального баланса будет иметь следующий вид:

Сводный межотраслевой баланс в стоимостном выражении
отрасли	А	Б	В	Г	Σ		Y		X
А	119,44	0,00	87,23	182,14	388,80		2000,00		2388,8
Б	859,97	449,47	174,46	437,12	1921,02		4500,00		6421,02
В	167,22	107,02	58,15	121,42	453,81		1000,00		1453,805
Г	716,64	299,65	290,76	121,42	1428,47		1000,00		2428,47
Σ	1863,26	856,14	610,60	862,11	4192,10
Z	525,54	5564,88	843,21	1566,36	8499,99
X	2388,8	6421,02	1453,805	2428,47