1.9. Циркуляция вектора напряженности электростатического поля

Назовем циркуляцией вектора напряженности электростатического поля по заданному замкнутому контуру интеграл вида:

. (1.55)

Здесь - скалярное произведение векторов и ; - элемент длины контура. Интеграл берется по замкнутому контуру L, направление обхода контура должно быть задано. Физический смысл циркуляции вектора : работа сил поля по перемещению единичного положительного заряда по замкнутой траектории.

Так как электростатическое поле потенциально, то

. (1.56)

1. 10. Связь между напряженностью электростатического поля и потенциалом

В механике было установлено, что вектор силы, действующей на частицу в потенциальном поле сил, является градиентом ее потенциальной энергии со знаком минус:

, (1.57)

где - дифференциальный оператор " набла ", используемый в математике для обозначения градиента.

Так как и , то для вектора напряженности электростатического поля можно записать:

. (1.58)

Рассмотрим частные случаи, когда потенциал электростатического поля является функцией только одной координаты.

Пусть потенциал зависит только от координаты : .

Тогда и . (1.59)

Если потенциал зависит только от координаты : ,

то и . (1.60)

1.11. Вычисление потенциала по напряженности поля

1. Пусть электростатическое поле создаётся равномерно заряженной плоскостью. Напряженность поля в этом случае постоянна по величине и определится выражениями:

если ; если . (1.61)

Потенциал и разность потенциалов определятся выражениями:

; . (1.61)

Графики зависимостей и представлены на рисунках 1.15.

2. П

   а

   б

   усть электростатическое поле создаётся двумя плоскостями, заряженными разноимённо (модель плоского конденсатора). В этом случае внутри конденсатора напряженность поля постоянна по величине и определится выражениями:

если ;

если ; если . (1.62)

Потенциал и разность потенциалов определятся выражениями:

; . (1.63)

Г рафики зависимостей и представлены на рисунке 1.16.

3. Пусть электростатическое поле создаётся бесконечным заряженным цилиндром радиуса . В этом случае внутри шара напряженность поля равна нулю и определится выражениями:

если ; если . (1.64)

Потенциал определится выражениями:

; , если ;

если . (1.65)

Г рафики зависимостей и представлены на рисунке 1.17 .

2. Пусть электростатическое поле создаётся заряженной по поверхности сферой радиуса . В этом случае внутри сферы напряженность поля также равна нулю и определится выражениями:

если ; если . (1.66)

Потенциал определится выражениями:

, если ; если . (1.66)

Г рафики зависимостей и представлены на рисунке 1.18 .