Первый закон Кеплера.
Каждая планета движется по эллиптической орбите, причем Солнце располагается в одном из фокусов эллипса.
Второй закон Кеплера (закон равных площадей).
Прямая, соединяющая Солнце с планетой, заметает равные площади за равные времена.
Третий закон Кеплера.
Кубы величины орбиты планет относятся друг к другу как квадраты периодов обращений этих планет.
Для круговых орбит
Формулируя закон всемирного тяготения, Ньютон применял его не только к падающим яблокам и Луне, но и к силам, действующим между Солнцем и планетами. Ему удалось доказать, что в том и только том случае, когда силы подчиняются закону обратных квадратов, орбита любой планеты является эллипсом, в одном из фокусов которого находится Солнце. При этом для любых двух планет, траектории которых представляют собой окружности, имеет место соотношение
(для эллиптических орбит R-большая полуось).
Ньютону удалось также вывести закон равных площадей Кеплера из своих трех законов движения. Тот факт, что все три закона Кеплера, в деталях описывавшие движения планет, оказались следствиями законов Ньютона, рассматривается как окончательное подтверждение ньютоновской динамики.
Принцип эквивалентности
Опытным путем установлено, что вблизи поверхности Земли все тела независимо от их массы падают с одним и тем же ускорением. Этот экспериментальный факт привел Ньютона к утверждению, что сила тяготения, действующая на тело, пропорциональна его массе.
Но насколько точен этот экспериментальный факт?
Строго говоря, закон всемирного тяготения Ньютона определяет гравитационную массу тела.
Обозначим гравитационную массу через т'.
Масса, входящая в уравнение F = та, -это инертная масса; она будет обозначаться буквой т без штриха.
При свободном падении вблизи поверхности Земли инертная масса т1 движется с ускорением а1.
Таким образом, можно записать
(5-7)
Тело массой т2 из другого вещества может иметь несколько иное ускорение а2:
(5-8)
Разделив (5-7) на (5-8), получим
Мы видим, что если все тела падают с одним и тем же ускорением
а1 = а2 = g,
т.е. отношения инертных масс будут равны отношениям гравитационных масс.
Таким образом, если у какого-либо тела эти массы равны друг другу, то они будут равны и для всех других тел.
Эксперименты убедительно доказывают, что для всех веществ инертная и гравитационная массы точно совпадают.
Такие опыты ставил еще Галилей на падающей башне в Пизе.
Это означает, например, что какая-нибудь вещь внутри искусственного спутника Земли будет двигаться точно по такой же орбите, как сам спутник, т. е. будет парить внутри него. И все это — следствие того факта, что сила пропорциональна массе, а ускорение обратно пропорционально массе.
Насколько точно это утверждение?
На опыте его проверил Этвеш (1848—1919) в 1909 г., а впоследствии более тщательно — Дикке. Теперь мы знаем с точностью до одной десяти-миллиардной, что сила пропорциональна массе. Как удалось добиться такой точности?
Предположим, вы хотите определить, в какой мере подчиняется этому правилу притяжение Солнца. Вы знаете, что Солнце притягивает всех нас. Оно притягивает Землю, но, предположим, вы хотите знать, в точности ли это притяжение пропорционально массе.
Сначала опыт был проделан над сандаловым деревом, потом экспериментировали с медью и свинцом, а теперь пробуют на полиэтилене. Земля вращается вокруг Солнца, поэтому инерция отбрасывает земные тела от Солнца тем сильнее, чем больше инерция.
Но, согласно закону тяготения, тела притягиваются к Солнцу — и тем сильнее, чем больше их масса. Поэтому если они притягиваются к Солнцу не в той же пропорции, в какой отбрасываются инерцией, то один предмет будет, например, стремиться к Солнцу, а другой — прочь от него.
И тогда, прикрепив эти два предмета к коромыслу Кавендиша, мы увидим, что оно повернется по направлению к Солнцу и перекрутит кварцевую нить. На самом деле, однако, нить не перекручивается, и, с той точностью, которую дает этот опыт, мы знаем, что притяжение двух предметов строго пропорционально центробежному эффекту, который обусловлен инерцией.
Таким образом, сила притяжения объекта пропорциональна коэффициенту инерции, или, другими словами, массе.
Этот факт называется принципом эквивалентности.
Он является фундаментальным законом природы, подтверждаемым, как и другие законы, экспериментом.
Следствием принципа эквивалентности является то, что не существует способа отличить, движется ли сама лаборатория с ускорением или же на нее действует гравитационное поле.
Если поместить физическую лабораторию внутри движущегося с ускорением большого лифта, то внутри лифта мы не можем осуществить эксперимент, который позволил бы ответить на следующий вопрос: движется лифт с ускорением или лифт покоится, но «включен» какой-то источник гравитационного поля.
Принцип эквивалентности является основополагающим в общей теории относительности Эйнштейна.