§ С3.4. Зависимость между моментами силы относительно центра и относительно оси

На тело в точке А действует сила .

Проведем ось z и возьмем на ней

произвольную точку О.

Момент силы относительно

точки О изображается вектором ,

который перпендикулярен плоскости

ОАВ:

.

Через любую точку О₁ на оси z проведем плоскость ху, перпендикулярную оси z и спроектируем на нее силу :

.

∆O₁A₁B₁ представляет собой проекцию ∆ОАВ на плоскость ху. Угол между плоскостями этих треугольников равен углу между перпендикулярами к ним, т.е. γ.

По известной геометрической формуле имеем:

.

Умножая обе части этого равенства на 2, получим:

. (3.6)

Т.к. произведение – это проекция вектора на ось z, то окончательно получим:

. (3.7)

Т.о, мы доказали, что между моментом силы относительно оси и ее моментом относительно центра, лежащего на этой оси, существует следующая зависимость: момент силы F относительно оси равен проекции на эту ось вектора, изображающего момент данной силы относительно любого центра, лежащего на оси.

§ С3.5. Аналитические выражения для моментов силы относительно осей координат

Рассмотри силу , приложенную в

точке А с координатами х, у, z.

Вычислим сначала аналитически

В момент силы относительно оси z.

Для этого спроецируем силу на

плоскость ху и разложим полученную

проекцию _xy на составляющие _x и _y,

численно эти составляющие будут,

очевидно, равны проекциям силы на

х оси х и у.

Тогда по определению и с учетом

теоремы Вариньона будем иметь:

у

Окончательно получим:

.

Аналогично вычисляются моменты относительно двух других осей:

(3.8)

С помощью этих формул можно вычислить моменты силы относительно осей координат, зная проекции силы на оси и координаты точки ее приложения.

6