Министерство образования и науки российской федерации Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

Е.В. Кувыкина

Задания для контрольного опроса

по теме «Случайные величины»

Учебно-методическое пособие

Рекомендовано методической комиссией факультета ВМК для студентов ННГУ, обучающихся по направлению подготовки 040100 «Социология»

Нижний Новгород

2011

УДК 519.21

ББК В171

К 88

К 88 Кувыкина Е.В. ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОГО ОПРОСА ПО ТЕМЕ «СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ»: Учебное пособие. – Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2011. – 25 с.

Рецензент: д.т.н., профессор В.Н.Комаров,

Настоящее пособие содержит варианты заданий для проведения письменного опроса по теме «Случайные величины» в рамках курса «Теория вероятностей и математическая статистика». Их выполнение развивает у студентов навыки решения задач на одномерные и многомерные случайные величины, а также предполагает знание важнейших понятий и определений теории вероятностей. Задания составлены в соответствии с программой лекционного курса и позволяют проконтролировать степень усвоения студентами основных разделов темы «Случайные величины».

Учебно-методическое пособие предназначено для студентов высших учебных заведений и факультетов социально-экономического профиля.

УДК 519.21

ББК В171

© Нижегородский государственный

университет им. Н.И. Лобачевского, 2011

Настоящее пособие предназначено для развития и контроля навыков самостоятельного решения задач по теме «Случайные величины» в рамках курса «Теория вероятностей и математическая статистика». Оно содержит 40 вариантов заданий, имеющих равную сложность и трудоемкость. Каждое задание состоит из двух частей: практической и теоретической. В практической части (задания 1,2) приведены задачи на одномерные и многомерные случайные величины. Теоретическая часть (задания 3-5) содержит вопросы, которые охватывают важнейшие определения и положения теории вероятностей. Контрольное время выполнения варианта - 2 академических часа. При оценке работы основное внимание уделяется выполнению заданий 1,2, но учитывается правильность и полнота ответов на теоретические вопросы. Задания составлены в соответствии с программой лекционного курса и практических занятий по курсу «Теория вероятностей и математическая статистика».

При подготовке к выполнению работы рекомендуется следующая литература:

1. Бородин А.Н. Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики. – СПб., изд. «Лань», 2002.

2. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: КНОРУС, 2010.

3. Вентцель Е.С., Овчаров Л.А. Прикладные задачи теории вероятностей. – М.: Радио и связь, 1983.

4. Колемаев В.А., Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: ИНФРА-М, 2000.

5. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика.- М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004.

6. Федоткин М.А. Основы прикладной теории вероятностей и статистики. – М.: Высшая школа, 2006.

3

ВАРИАНТ №1

1. Вероятность попадания в цель для данного стрелка при одном выстреле равна 0.7. Стрелок делает 6 выстрелов по мишени. Случайная величина ξ – число попаданий. Определить тип распределения для случайной величины ξ и записать соотношения для подсчета вероятностей, М ξ, D ξ.

2.

η \ξ	-1	1
-1	0	1/6
0	1/6	1/6
1	1/6	2/6

Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ,η), все условные распределения случайной величины ξ..

3. Классическое определение вероятности.

4. Мода и медиана.

5. Частные распределения случайного вектора (определение, способы получения).

ВАРИАНТ №2

1. Охотник, имеющий в запасе 5 патронов, стреляет в зверя до первого попадания. Случайная величина ξ – число произведенных выстрелов. Вероятность попадания при одном выстреле равна 0.7. Построить ряд распределения для случайной величины ξ, ее функцию распределения F(x) и нарисовать график F(x), найти Р(-1≤ ξ≤2) двумя способами (с помощью ряда распределения и функции распределения).

2.

η \ξ	0	2
-1	1/4	0
0	1/2	1/8
1	1/8	0

. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ,η), частные распределения для случайных величин ξ и η, cov(ξ, η).

3. Свойства вероятности.

4. Математическое ожидание и его свойства.

5. Условные законы распределения.

4

ВАРИАНТ №3

1. Испытываются 6 приборов на надежность. Вероятность выдержать испытание для каждого прибора равна 0.5. Каждый следующий прибор испытывают только, если предыдущий выдержал испытание. Случайная величина ξ – число испытанных приборов. Построить ряд распределения для случайной величины ξ, ее функцию распределения F(x) и нарисовать график F(x).

2.

η \ξ	0	2
0	1/2	1/4
2	1/4	0

. Найти все условные распределения случайной величины ξ, ρ(ξ, η).

3. Геометрический подход к определению вероятности.

4. Биномиальная случайная величина( распределение, математическое ожидание, дисперсия).

5. Двумерная функция распределения и ее свойства.

ВАРИАНТ №4

1. Три баскетболиста делают по одному броску в кольцо. Вероятности попадания для них равны соответственно 0.3, 0.5, 0.7. Случайная величина ξ – суммарное число попаданий. Построить ряд распределения для случайной величины ξ, ее функцию распределения F(x) и нарисовать график F(x), найти Р(-1≤ ξ≤2) двумя способами (с помощью ряда распределения и функции распределения).

2.

η \ξ	0	1	2
0	1/2	1/4	1/8
2	0	1/8	0

. Найти все условные распределения случайной величины ξ, ρ(ξ, η).

3. Условная вероятность, ее свойства.

4. Распределение Пуассона ( распределение, математическое ожидание, дисперсия).

5. Ковариация и ее свойства.

5

ВАРИАНТ №5

1. Три баскетболиста делают по одному броску в кольцо. Вероятности попадания для них равны соответственно 0.3, 0.5, 0.7. Случайная величина ξ – суммарное число попаданий. Найти М ξ, D ξ.

2.

η \ξ	-1	1
-1	3/8	1/8
1	1/2	0

. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ,η), все условные распределения случайной величины ξ, cov(ξ, η).

3. Независимость случайных событий, их свойства, независимость в совокупности.

4. Равномерный закон распределения ( распределение, математическое ожидание, дисперсия)

5. Коэффициент корреляции и его свойства.

ВАРИАНТ №6

1. Игральную кость подбрасывают 4 раза. Случайная величина ξ – число выпадения грани с «3» очками. Определить тип распределения для случайной величины ξ и записать соотношения для подсчета вероятностей, М ξ, D ξ.

2.

η \ξ	-1	0	1
0	1/8	1/2	0
2	0	1/4	1/8

. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ,η), все условные распределения случайной величины ξ.

3. Теорема сложения случайных событий.

4. Функция распределения, ее свойства.

5. Ковариация и ее свойства.

6

ВАРИАНТ №7

.

1. Две правильные монеты подбрасывают 5 раз. Случайная величина ξ – число бросков, закончившихся выпадением одинаковых граней на монетах. Определить тип распределения для случайной величины ξ и записать соотношения для подсчета вероятностей, М ξ, D ξ.

2.

η \ξ	1	3
-1	1/4	1/4
1	1/2	0

. Найти частные распределения для случайных величин ξ и η, все условные распределения случайной величины ξ, cov(ξ, η).

3. Теорема умножения случайных событий.

4. Непрерывная случайная величина, свойства плотности распределения.

5. Двумерная функция распределения.

ВАРИАНТ №8

1. Имеется три урны: в первой – 3 белых и 2 черных шара, во второй – 2 белых и 3 черных шара, в третьей – 1 белый и 1 черный шар. Из каждой урны берут по одному шару. Случайная величина ξ – число белых шаров в выборке. Построить ряд распределения для случайной величины ξ, ее функцию распределения F(x) и нарисовать график F(x), найти Р(-1≤ ξ≤2) двумя способами (с помощью ряда распределения и функции распределения).

2.

η \ξ	-1	1
0	2/6	1/6
1	0	3/6

. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ,η), cov(ξ, η).

3. Формула полной вероятности.

4. Геометрическое распределение ( распределение, математическое ожидание, дисперсия).

5. Независимость случайных величин.

7

ВАРИАНТ №9

1. Два стрелка стреляют по мишени. Вероятности попадания при одном выстреле для каждого из них равны соответственно 0.7, 0.8. Каждый делает по одному выстрелу. Случайная величина ξ – число попаданий в мишень. Построить ряд распределения для случайной величины ξ, ее функцию распределения F(x) и нарисовать график F(x), найти Р(-1≤ ξ≤2) двумя способами (с помощью ряда распределения и функции распределения).

2.

η \ξ	0	2
0	1/4	1/4
2	1/4	1/4

. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ,η), частные распределения для случайных величин ξ и η, cov(ξ, η).

3. Формула полной вероятности, свойства гипотез.

4. Показательное распределение ( распределение, математическое ожидание, дисперсия).

5. Коэффициент корреляции и его свойства.

ВАРИАНТ №10

1. Вероятность попадания в кольцо для данного баскетболиста равна 0.7.

Случайная величина ξ – число попаданий при трех бросках Определить тип распределения для случайной величины ξ и записать соотношения для подсчета вероятностей, М ξ, D ξ.

.

2.

η \ξ	-1	1
-1	1/4	1/4
1	1/2	0

. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ,η), ρ(ξ, η).

3. Формула Байеса.

4. Дисперсия, ее свойства.

5. Нормальный закон распределения.

8

ВАРИАНТ №11

1. В урне 5 белых и 4 черных шара. Из урны достают сразу три шара. Случайная величина ξ – число белых шаров среди выбранных. Определить тип распределения для случайной величины ξ, ее функцию распределения F(x) и нарисовать график F(x).

2.

η \ξ	0	2
-1	2/6	1/6
1	1/6	2/6

. Найти все условные распределения случайной величины ξ, ρ(ξ, η).

3. Свойства плотности распределения.

4. Условная вероятность, ее свойства.

5. Ковариация и ее свойства.

ВАРИАНТ №12

1. Некто владеет тремя акциями. Первая акция является доходной с вероятностью 0.2, вторая – с вероятностью 0.5, третья – с вероятностью 0.3.

Случайная величина ξ – число акций, приносящих доход. Найти М ξ, D ξ.

2.

η \ξ	-1	1
-1	0	1/2
0	1/2	0

. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ,η), ρ(ξ, η).

3. Формула полной вероятности.

4. Распределение Пуассона ( распределение, математическое ожидание, дисперсия).

5. Условные законы распределения.

9

ВАРИАНТ №13

1. В урне находится 2 белых и 4 черных шара. Извлекают одновременно 4 шара. Случайная величина ξ – число белых шаров в выборке. Определить тип распределения для случайной величины ξ, ее функцию распределения F(x) и нарисовать график F(x), найти Р(-1≤ ξ≤2) двумя способами (с помощью ряда распределения и функции распределения).

2.

η \ξ	-1	0	2
-1	0	1/4	0
0	1/4	1/4	1/4

. Найти все условные распределения случайной величины ξ, cov(ξ, η).

3. Аксиоматическое определение вероятности.

4. Дискретная случайная величина, способы ее задания.

5. Частные распределения случайного вектора

ВАРИАНТ №14

1. Для первого студента вероятность успешной сдачи экзамена равна 0.8, для второго – 0.5, для третьего- 0.2. Случайная величина ξ – число студентов, успешно сдавших экзамен. Найти М ξ, D ξ.

2.

η \ξ	-1	1
0	1/3	0
1	0	1/3
2	1/3	0

. Найти все условные распределения случайной величины η, cov(ξ, η).

3. Классическое определение вероятности.

4. Функция распределения, ее свойства.

5. Нормальный закон распределения

10

ВАРИАНТ №15

1. Среди 7 книг, стоящих на полке, 3 книги по теории вероятностей. Студент выбирает 4 книги наудачу. Случайная величина ξ – число книг по теории вероятностей среди выбранных. Определить тип распределения для случайной величины ξ, ее функцию распределения F(x) и нарисовать график F(x), найти Р(-1≤ ξ≤2).

2.

η \ξ	0	2	3
-1	1/5	1/5	0
1	0	2/5	1/5

. Найти частные распределения для случайных величин ξ и η, ρ(ξ, η).

3. Свойства вероятности.

4. Мода и медиана.

5. Независимость случайных величин.

ВАРИАНТ №16

1. Среди 10 книг, стоящих на полке, 4 книги по теории вероятностей. Выбирают 4 книги наудачу. Случайная величина ξ – число книг по теории вероятностей среди выбранных. Определить тип распределения для случайной величины ξ, ее функцию распределения F(x) и нарисовать график F(x), найти Р(-1≤ ξ≤2) .

2.

η \ξ	0	2
0	1/2	1/4
1	1/4	0

. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ,η), cov(ξ, η).

3. Формула полной вероятности.

4. Математическое ожидание и его свойства

5. Условные законы распределения.

11

ВАРИАНТ №17

1. Снайпер стреляет по замаскированному противнику 3 раза. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0.6, при втором – 0.8, при третьем – 0.9. Случайная величина ξ – число попаданий в цель. Построить ряд распределения для случайной величины ξ, ее функцию распределения F(x) и нарисовать график F(x).

2.

η \ξ	0	1	2
0	1/9	1/9	1/9
1	1/9	1/9	1/9
2	1/9	1/9	1/9

. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ,η), cov(ξ, η).

3. Геометрический подход к определению вероятности

4. Непрерывная случайная величина, свойства плотности распределения.

5. Частные распределения случайного вектора.

ВАРИАНТ №18

1. Подводная лодка, имеющая в запасе 6 торпед, атакует корабль до первого попадания. Вероятность попадания в корабль одной торпедой равна 0.6. Случайная величина ξ – число произведенных выстрелов. Построить ряд распределения для случайной величины ξ.

2.

η \ξ	0	1	2
0	1/5	1/5	1/5
1	1/5	0	0
2	1/5	0	0

. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ,η), cov(ξ, η).

3. Формула полной вероятности.

4. Функция распределения, ее свойства.

5. Условные законы распределения, независимость случайных величин.

12

ВАРИАНТ №19

1. Имеется 8 ключей, среди которых только один подходит к замку. Случайная величина ξ – число попыток, которые потребуются для открывания двери. Построить ряд распределения для случайной величины ξ, ее функцию распределения F(x) и нарисовать график F(x), найти Р(-1≤ ξ≤2) двумя способами (с помощью ряда распределения и функции распределения).

2.

η \ξ	0	1	2
0	0	1/4	0
1	1/4	0	1/4
2	0	1/4	0

. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ,η), частные распределения для случайных величин ξ и η.

3. Условная вероятность, ее свойства.

4. Дисперсия, ее свойства. Среднее квадратическое отклонение.

5. Ковариация и ее свойства.

ВАРИАНТ №20

1. Имеется 6 заготовок для детали. Вероятность изготовления годной детали из любой заготовки равна 0.7. Случайная величина ξ – число заготовок, использованных до изготовления первой годной детали. Построить ряд распределения для случайной величины ξ, ее функцию распределения F(x) и нарисовать график F(x), найти Р(-1≤ ξ≤2) двумя способами (с помощью ряда распределения и функции распределения).

2.

η \ξ	1	2	3
0	1/3	1/6	1/3
1	1/6	0	0

. Найти все условные распределения случайной величины ξ, ρ(ξ, η).

3. Независимость случайных событий, их свойства.

4. Математическое ожидание и его свойства.

5. Двумерная функция распределения.

13

ВАРИАНТ №21

1. Имеется 5 ключей, среди которых только один подходит к замку. Случайная величина ξ – число попыток, которые потребуются для открывания двери. Построить ряд распределения для случайной величины ξ, ее функцию распределения F(x) и нарисовать график F(x), найти Р(-1≤ ξ≤2) двумя способами (с помощью ряда распределения и функции распределения).

2.

η \ξ	-1	0	1
-1	1/4	1/4	0
1	0	1/4	1/4

. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ,η), cov(ξ, η).

3. Теорема сложения случайных событий.

4. Биномиальная случайная величина( распределение, математическое ожидание, дисперсия).

5. Условные законы распределения.

ВАРИАНТ №22

1. Баскетболист 5 раз бросает мяч в корзину. Вероятность попадания при одном броске равна 0.6. Случайная величина ξ – число промахов. Определить тип распределения для случайной величины ξ и записать соотношения для подсчета вероятностей, М ξ, D ξ.

2.

η \ξ	1	2
-1	1/3	1/3
1	1/3	0

. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ,η), ρ(ξ, η).

3. Формула Байеса.

4. Мода и медиана.

5. Условные законы распределения.

14

ВАРИАНТ №23

1. По первой теме студент знает ответы на 15 вопросов из 20, по второй – на 15 из 18, по третьей – на5 из 10. Случайная величина ξ – число вопросов, на которые ответил студент, если билет содержит по одному вопросу из каждой темы. Найти М ξ, D ξ.

2.

η \ξ	0	1
0	0	1/2
1	1/2	0

. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ, η), все условные распределения случайной величины ξ, cov(ξ, η).

3. Формула полной вероятности.

4. Геометрическое распределение ( распределение, математическое ожидание, дисперсия).

5. Двумерная функция распределения.

ВАРИАНТ №24

1. Случайная величина ξ равномерно распределена на [2,4]. Построить ее функцию распределения F(x) и нарисовать график F(x), найти Р(1≤ ξ≤3,5) двумя способами (с помощью плотности распределения и функции распределения), М ξ, D ξ.

2.

η \ξ	-1	1
-1	1/12	2/3
1	1/12	1/6

. Найти частные распределения для случайных величин ξ и η, cov(ξ, η).

3. Формула Байеса.

4. Дискретная случайная величина, способы ее задания

5. Независимость случайных величин.

15

ВАРИАНТ №25

1. Случайная величина ξ распределена по показательному закону с параметром λ=1. Записать выражение для плотности распределения ξ, построить ее функцию распределения F(x), найти Р(-1≤ ξ≤2) двумя способами (с помощью плотности распределения и функции распределения), М ξ, D ξ.

2.

η \ξ	1	4
0	2/5	1/5
1	2/5	0

. Найти частные распределения для случайных величин ξ и η, ρ(ξ, η).

3. Аксиоматическое определение вероятности.

4. Мода и медиана.

5. Условные законы распределения.

ВАРИАНТ №26

1. Для первого студента вероятность сдать экзамен равна 0.6, для второго – 0.5, для третьего – 0.7. Случайная величина ξ – число студентов, не сдавших экзамен. Найти М ξ, D ξ.

2.

η \ξ	-1	1
0	1/4	1/4
1	1/4	1/4

. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ,η), частные распределения для случайных величин ξ и η, cov(ξ, η).

3. Формула Байеса, свойства гипотез.

4. Нормальный закон распределения.

5. Двумерный случайный вектор, способы его задания, двумерная функция распределения.

16

ВАРИАНТ №27

1. Случайная величина ξ имеет нормальный закон распределения N(1;1.69). Записать выражение для плотности распределения ξ,, найти ее функцию распределения для х=0 и Р(-1≤ ξ≤2).

2.

η \ξ	-1	0	1
0	1/3	0	1/3
1	0	1/3	0

. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ,η), все условные распределения случайной величины ξ, cov(ξ, η).

3. Теорема сложения случайных событий.

4. Математическое ожидание и его свойства.

5. Коэффициент корреляции и его свойства.

ВАРИАНТ №28

1. В партии из 10-ти деталей 3 марки А и 7 марки В. Для изготовления прибора берут 4 детали. Случайная величина ξ – число деталей марки А, взятых для изготовления прибора. Определить тип распределения для случайной величины ξ, ее функцию распределения F(x) и нарисовать график F(x).

2.

η \ξ	-1	0	1
-1	1/8	0	1/8
0	0	1/2	0
1	1/8	0	1/8

. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ,η), cov(ξ, η).

3. Аксиоматическое определение вероятности.

4. Дискретная случайная величина, способы ее задания.

5. Независимость случайных величин.

17

ВАРИАНТ №29

1. Случайная величина ξ имеет нормальный закон распределения N(-1;1.44). Записать выражение для плотности распределения ξ,, найти ее функцию распределения для х=0 и Р(-1≤ ξ≤2).

2.

η \ξ	-1	0	1
-1	1/4	0	1/4
0	0	1/4	0
1	0	0	1/4

. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ,η), ρ(ξ, η).

3. Теорема умножения случайных событий.

4. Дисперсия, ее свойства. Среднее квадратическое отклонение.

5. Условные законы распределения.

ВАРИАНТ №30

1. Случайная величина ξ имеет нормальный закон распределения N(2;1.21). Записать выражение для плотности распределения ξ,, найти ее функцию распределения для х=1 и Р(1≤ ξ≤3).

2.

η \ξ	1	2	3
-1	0	1/4	0
1	1/4	1/4	1/4

. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ,η), все условные распределения случайной величины ξ, cov(ξ, η).

3. Независимость случайных событий, их свойства.

4. Математическое ожидание и его свойства.

5. Двумерная функция распределения.

18

ВАРИАНТ №31

1. В первой коробке среди 20 конфет 5 имеют ореховую начинку, во второй -из 15 три. Из каждой коробки берут по 1 конфете. Случайная величина ξ – число конфет с ореховой начинкой среди выбранных. Построить ряд распределения для случайной величины ξ, ее функцию распределения F(x) и нарисовать график F(x), найти Р(-1≤ ξ≤2) двумя способами (с помощью ряда распределения и функции распределения), М ξ, D ξ.

2.

η \ξ	0	1	2
0	1/3	0	1/3
2	0	1/3	0

. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ,η), все условные распределения случайной величины ξ.

3. Условная вероятность, ее свойства.

4. Дискретная случайная величина, способы ее задания.

5. Ковариация и ее свойства.

ВАРИАНТ №32

1. Среди 4-х пар туфель случайным образом отбирают 4 туфли. Случайная величина ξ – число туфель на левую ногу среди выбранных. Определить тип распределения для случайной величины ξ, ее функцию распределения F(x) и нарисовать график F(x), найти Р(-1≤ ξ≤2) двумя способами (с помощью ряда распределения и функции распределения).

2.

η \ξ	-1	0	1
-1	0	1/4	0
0	1/4	0	1/2

. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ,η), cov(ξ, η).

3. Теорема умножения случайных событий.

4. Непрерывная случайная величина, свойства плотности распределения.

5. Частные распределения случайного вектора.

19

ВАРИАНТ №33

1. Из урны, содержащей 2 белых и 3 черных шара, по схеме выбора с возвращением выбирают 3 шара. Случайная величина ξ – число белых шаров среди выбранных. Построить ряд распределения для случайной величины ξ, ее функцию распределения F(x) и нарисовать график F(x), М ξ, D ξ.

2.

η \ξ	0	2
-1	0	1/2
1	1/2	0

. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ,η), ρ(ξ, η).

3. Аксиоматическое определение вероятности.

4. Равномерный закон распределения ( распределение, математическое ожидание, дисперсия).

5. Двумерная функция распределения.

ВАРИАНТ №34

1. Правильную игральную кость подбрасывают 4 раз. Случайная величина ξ – число бросков, при которых выпало 6 очков. Определить тип распределения случайной величины ξ и записать соотношения для подсчета вероятностей,

М ξ, D ξ.

2.

η \ξ	-1	1
-1	1/4	1/4
1	1/4	1/4

. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ, η), ρ(ξ, η).

3. Геометрическое определение вероятности.

4. Функция распределения и ее свойства.

5. Частные распределения случайного вектора.

20

ВАРИАНТ №35

1. Игральный кубик подбрасывают 5 раз. Случайная величина ξ – число бросков, при которых выпало 5 очков. Определить тип распределения случайной величины ξ и записать соотношения для подсчета вероятностей,

М ξ, D ξ.

2.

η \ξ	-1	0	1
-1	1/2	0	1/4
1	1/8	1/8	0

. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора (ξ, η), все условные распределения случайной величины ξ.

3. Классический подход к определению вероятности.

4. Дискретная случайная величина и способы ее задания.

5. Коэффициент корреляции и его свойства.

ВАРИАНТ №36

1. Группа из 10 спортсменов, среди которых 2 перворазрядника, делится на две команды по 5 человек. Случайная величина ξ – число перворазрядников в первой команде. Построить ряд распределения для случайной величины ξ, ее функцию распределения F(x) и нарисовать график F(x), найти Р(-1≤ ξ≤1) двумя способами (с помощью ряда распределения и функции распределения).

2.

η \ξ	0	2
-1	0	1/2
1	1/4	1/4

Найти cov(ξ, η).

3. Аксиоматическое определение вероятности.

4. Дискретная случайная величина, способы ее задания.

5. Независимость случайных величин.

21

ВАРИАНТ №37

1. У рыбака 3 излюбленных места лова. На первом месте рыба клюет при каждом забросе с вероятностью 0.5, на втором и третьем– с вероятностью 0.4. Случайная величина ξ – число пойманных рыб, если на каждом месте рыбак забросил удочку по одному разу. М ξ, D ξ.

2.

η \ξ	0	1
-1	1/4	1/8
0	0	1/4
1	1/8	1/4

. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора

(ξ, η), ρ(ξ, η).

3. Теорема сложения.

4. Непрерывная случайная величина, свойства плотности распределения.

5. Условные распределения случайного вектора.

ВАРИАНТ №38

1. Две правильные монеты подбрасывают 10 раз. Случайная величина ξ – число бросков, при которых выпало два «Герба». Определить тип распределения случайной величины ξ и записать соотношения для подсчета вероятностей, М ξ, D ξ.

2.

η \ξ	2	3
0	1/4	1/2
1	1/8	1/8

Найти все условные распределения случайной величины ξ, cov(ξ, η).

3. Формула Байеса.

4. Дисперсия и ее свойства.

5. Двумерная функция распределения и ее свойства.

22

ВАРИАНТ №39

1. Две правильные монеты подбрасывают 10 раз. Случайная величина ξ – число бросков, при которых на монетах выпали одинаковые грани. Определить тип распределения случайной величины ξ и записать соотношения для подсчета вероятностей, М ξ, D ξ.

2.

η \ξ	0	1	2
0	1/6	1/6	1/6
1	1/6	1/6	1/6

. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора

(ξ, η), частные распределения для случайных величин ξ и η, все условные распределения случайной величины ξ.

3. Формула полной вероятности.

4. Математическое ожидание и его свойства.

5. Ковариация и ее свойства.

ВАРИАНТ №40

1. Правильный игральный кубик подбрасывают 7 раз. Случайная величина ξ – число бросков, при которых выпало 5 очков. Определить параметры распределения и записать соотношения для подсчета вероятностей, М ξ, D ξ.

2.

η \ξ	0	2
-1	1/4	1/2
1	1/8	1/8

. Найти двумерную функцию распределения F(x,y) для случайного вектора

(ξ, η), ρ(ξ, η).

3. Теорема умножения.

4. Функция распределения и ее свойства.

5. Частные распределения случайного вектора.

23