Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л. Избранные главы теории автоматического управления

~ãáâì ¢¥é¥á⢥­­ ï ¬ âà¨æ

~

A ¨¬¥¥â ¤¨ £®­ «ì­ãî ä®à-

‹ A = diagfs1 s2 : : : sng Imsi = 0 i = 1 2

: : : n: ®¤áâ ¢«ïï

¥¥ ¢ ¢ëà ¦¥­¨¥ (3.2) ¨ ãç¨âë¢ ï, çâ® ¤¨ £®­ «ì­ë¥ í«¥¬¥­âë

~

¬ âà¨æë A ᮢ¯ ¤ îâ á ᮡá⢥­­ë¬¨ §­ 祭¨ï¬¨, ­ 室¨¬,

çâ® ¥¤¨­¨ç­ë¥ ¢¥ªâ®àë x~0 = e

T

= [0 : : : 1

: : : 0] п¢«повбп

i

i

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i

i

ᮡá⢥­­ë¬¨ ¢¥ªâ®à ¬¨ x~0

¤ ­­®© ¬ âà¨æë. ®¡á⢥­­ë¬¨

T = [x10 x20 : : : xn0 ];1

(3.3)

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(i = 1

2 : : : n) { ᮡá⢥­­ë¥ ¢¥ªâ®àë ¬ âà¨æë A:

i

¥©á⢨⥫쭮, ¯ãáâì

s

{ ᮡá⢥­­ë¥ ç¨á« ,

x0

{ ᮡ-

i

i

á⢥­­ë¥ ¢¥ªâ®àë n n-¬ âà¨æë A, â.¥.

Ax0

=

s x0 x0

= 0

i

i

i

i

6

(i = 1 2 : : : n): ãáâì â ª¦¥ ¨§¢¥áâ­®, çâ®

¤ ­­ ï ¬ âà¨æ

á¢ï§ ­

­¥ª®â®àë¬ á®®â­®è¥­¨¥¬ ¯®¤®¡¨ï á ¤¨ £®­ «ì­®©,

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= diag

s1 s2 : : : sn

:

â.¥. ¢ë¯®«­¥­® A = T AT

detT = 0 A

f

g

6

]: ¡ê¥¤¨­ïï

¡à §ã¥¬ ¬®¤ «ì­ãî ¬ âà¨æã P = [x0 x0 : : : x0

1

2

n

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­® ¬ âà¨ç­®¥ ᮮ⭮襭¨¥, ¯®«ãç ¥¬ AP = P A: âáî¤

¯à¨

«¨­¥©­®© ­¥§ ¢¨á¨¬®áâ¨

xi

¯®«ã稬

A

= P

AP á«¥¤®¢ -

0

~

;1

⥫쭮, T = P;1 çâ® ­¥¯®á।á⢥­­® ¤ ¥â ¢ëà ¦¥­¨¥ (3.3).

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­ ¨ ¥ . ¤¥áì ­¥ ®¡á㦤 «áï ¢®¯à®á ® «¨­¥©-

ç¨â ¥¬, çâ® ¢á¥ ª®à­¨ å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ¬­®£®ç«¥­

¬ -

âà¨æë A ¯®¯ à­® à §«¨ç­ë, ­® á।¨ ­¨å ¨¬¥îâáï ª®¬¯«¥ªá­®-

ᮯà殮­­ë¥ si i+1 = i | i (|2 = ;1) i = Resi i+1

i =

jImsi i+1j: í⮬ á«ãç ¥ ¬ âà¨æ

A â ª¦¥ ¨¬¥¥â n «¨­¥©-

­® ­¥§ ¢¨á¨¬ëå ᮡá⢥­­ëå ¢¥ªâ®à®¢ ¨ ¨§«®¦¥­­ë© ¢ ¯.

3.1.1. á. 81, «£®à¨â¬ ¯à¨¬¥­¨¬.

¤­ ª® ¯®«ã祭­ ï ¢~

à¥-

§ã«ìâ ⥠⠪®£® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ¤¨ £®­ «ì­ ï ¬ âà¨æ

A

=

diagfs1 s2 : : : sng ª ª ¨ ¬ âà¨æ

¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï T ¡ã¤¥â

ᮤ¥à¦ âì ¬­¨¬ë¥ í«¥¬¥­âë, çâ® ¢ë§ë¢ ¥â âà㤭®á⨠¯à¨

¨å ¯®á«¥¤ãî饬 ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¨. ®í⮬ã à áᬮâਬ

«£®-

«ì­ãî ä®à¬ã ¢¨¤

(2.4) [47, 79].

ãáâì ¨¬¥îâáï ᮡá⢥­­ë¥ §­ 祭¨ï si i+1 =

i

| i ª®-

0

0

â®àë¬ ®â¢¥ç îâ ᮡá⢥­­ë¥ ¢¥ªâ®àë xi

xi+1:

®¦­® ¯®ª -

§ âì [79, 115], çâ® ¢á¥£¤ ¥áâì ¬­®¦¨â¥«ì

2R

= 0 â ª®©,

0

0

6

çâ® xi

, xi+1 { ª®¬¯«¥ªá­®-ᮯà殮­­ë¥. ®í⮬㠡㤥¬ áç¨-

â âì, çâ® ¢ë¯®«­¥­® ãá«®¢¨¥ xi0+1

= conj(xi0 ) £¤¥ conj( ) { ®¯¥-

à æ¨ï ª®¬¯«¥ªá­®£® ᮯà殮­¨ï. ¯à¥¤¥«¨¬ ⥯¥àì ¢¥ªâ®àë

hi hi+1 ä®à¬ã« ¬¨

1

0

0

1

0

0

hi = 2

(xi

+ xi+1) hi+1

= 2|

(xi

; xi+1):

(3.4)

T = [x0 x0 : : : h

h

: : : h

h

];1

1

2

j

j+1

q+r;1

q+r

£¤¥ ¢¥ªâ®à-á⮫¡æë xi0 ®â¢¥ç îâ ¢¥é¥á⢥­­ë¬,

hj hj+1 {

¬­¨¬ë¬ ᮡá⢥­­ë¬ §­ 祭¨ï¬ sj j+1 = j

| j: ८¡à -

§®¢ ­¨¥

~

;1

A = T AT

á ­ ©¤¥­­®© â ª¨¬ ®¡à §®¬ ¬ âà¨æ¥© T

æ A ¤®«¦­ ¨¬¥âì ¢¨¤ ¬ âà¨æë ஡¥­¨ãá

(2.10). ஬¥

⮣®, ¢ ä®à¬¥ § ¤ ¥âáï ¢¨¤ ¬ âà¨æë B,

¢ ä®à¬¥

¤¥­

¨ ª ¢¨¤ã (2.10) [115]. ¯à®â¨¢­®¬ á«ãç ¥ â ª ï ¢®§¬®¦-

­®бвм ®вбгвбв¢г¥в.

¬ ¥ ç ­ ¨ ¥ . ®¬¨¬® ¦®à¤ ­®¢®© ä®à¬ë ¬ âà¨æë A

¨§¢¥áâ­ ¨ ¤àã£ ï ¡«®ç­®-¤¨ £®­ «ì­ ï ä®à¬ (¯¥à¢ ï ¥áâ¥-

á⢥­­ ï ­®à¬ «ì­ ï ä®à¬ [53, 115]), ¢ ª®â®à®© ¬ âà¨æ A

¨¬¥¥â ¢¨¤

A = 2

L1

0

: : :

0

3

0

L2

: : :

0

(3.5)

6

.

: : : . .. .

0

: : :

0

Lr 7

4

5

£¤¥ Li i = 1 2 : : : r

{ ¡«®ª¨ ¢¨¤

(2.10).

®¤®¡­® ª ­®­¨-

ç¥áª®© ä®à¬¥ ®à¤ ­ , ¤ ­­ ï ä®à¬

¬®¦¥â ¡ëâì ¯®«ã祭

~

~

¯à¨ ª®â®à®© ¬ âà¨æë A b ¨ A b á¢ï§ ­ë ᮮ⭮襭¨¥¬ (3.6):

~

= T AT

;1

~

7

A

b = T b:

稢 ïáì à áᬮâ७­ë¬¨ ¢ £« ¢¥ 2.2. á.

74, SISO ¨ SIMO-

á¨á⥬ ¬¨. ¤ ­­®© ª ­®­¨ç¥áª®© ä®à¬¥ ¬ âà¨æ

A ¤®«¦-

­

¨¬¥âì ¢¨¤ ¬ âà¨æë ஡¥­¨ãá (2.10),

¬ âà¨æ

B = [0

0

T

~

~

: : : 0 1] : ¬¥­­® ¢ â ª®¬ ¢¨¤¥ § ¯¨è¥¬ ¬ âà¨æë A

B

£®ç«¥­

A(s) = sn +a1sn;1 +a2sn;2 +

+an;1s+an ¨á室­®© ¬ -

~

~

T

âà¨æë A: à¨à ¢­¨¢ ï~⥯¥àì b = B, b = B = [0 0 : : : 0

1] ,

­ ©¤¥¬ ¬ âà¨æë Q Q ¯®

(3.8).

᫨

¢ë¯®«­¥­®

detQ =

~

= 0

6

0 detQ

â® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ª ¢®§¬®¦­® ¨ ¥£® ¬ -

âà¨æ

6

®¯à¥¤¥«ï¥âáï ãà ¢­¥­¨¥¬ (3.9). «ï ¢ëç¨á«¥­¨ï á®®â-

~

~

;1

:

¢¥âáâ¢ãî饩 ¬ âà¨æë C ¨á¯®«ì§ã¥¬ ᮮ⭮襭¨¥ C = CT

¬ ¥ ç

­ ¨ ¥ . ª ­¥âà㤭® ã¡¥¤¨âìáï ­¥¯®á।á⢥­-

~ ~

ãá«®¢¨¥

­ë¬ ¢ëç¨á«¥­¨¥¬, ¤«ï ¬ âà¨æ A B 㪠§ ­­®£® ¢¨¤

~

= 0 ¢ë¯®«­¥­® ¢á¥£¤

(¢­¥ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ª®íää¨æ¨-

detQ

6

¥­â®¢ ai): ®í⮬ã âॡã¥âáï ¯à®¢¥à¨âì ⮫쪮 ­¥¢ë஦¤¥­-

­®áâì ¬ âà¨æë Q ¨á室­®© á¨á⥬ë. ஬¥ ⮣®, á¯¥æ¨ «ì-

~

~

­ë© ¢¨¤ ¬ âà¨æ A

~B ¯®§¢®«ï¥â ¯®«ãç¨âì ¤®áâ â®ç­® ¯à®-

áâãî ä®à¬ã«ã ¤«ï Q [3, 47].

(y(t) 2 R l = 1): ।¢ à¨â¥«ì­® à áᬮâਬ ¡®«¥¥ ®¡éãî

§ ¤ çã.

~

ãáâì ¤ ­ë n n-¬ âà¨æë A A ¨ n-¬¥à­ë¥ ¢¥ªâ®à-áâப¨

c c~: ॡã¥âáï ­ ©â¨ ­¥¢ë஦¤¥­­ãî ¬ âà¨æã T â ªãî, çâ®

~

~

0 : : : 0 0]: â ª®¬ ¢¨¤¥ ¨ ¢ë¡¥à¥¬ ¬ âà¨æë A

C ãà ¢­¥­¨©

á®áâ®ï­¨ï ¢ ­®¢®¬ ¡ §¨á¥. ëç¨á«¨¬ ª®íää¨æ¨¥­âë ai

å à ª-

â¥à¨áâ¨ç¥áª®£® ¬­®£®ç«¥­

A(s) = sn + a1sn;1 + a2sn;2

+

+

an;1s

+ an ¨á室­®© ¬ âà¨æë A: à¨à ¢­¨¢ ï ⥯¥àì c

= C,

~

= [1 0

: : :

0

~

c~ = C

0], ­ ©¤¥¬ ¬ âà¨æë Q Q ¯® (3.12). ᫨

~

= 0

â® ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ª ¢®§-

¢ë¯®«­¥­® detQ = 0 detQ

6

6

«ï

¬®¦­® ¨ ¥£® ¬ âà¨æ

®¯à¥¤¥«ï¥âáï ãà ¢­¥­¨¥¬ (3.13).

¢ëç¨á«¥­¨ï ¬ âà¨æë

~

~

B ¨á¯®«ì§ã¥¬ ᮮ⭮襭¨¥ B = T B:

~

~

~

= In:

¬ ¥ ç ~­ ¨ ¥ . «ï ¬ âà¨æ A C

㪠§ ­­®£® ¢¨¤ Q

®í⮬ã detQ = 0 ¯à¨ «î¡ëå ª®íää¨æ¨¥­â å ai: «¥¤®¢ -

6

⥫쭮, âॡã¥âáï ¯à®¢¥à¨âì ⮫쪮 ­¥¢ë஦¤¥­­®áâì ¬ âà¨-

æë Q ¨á室­®© á¨á⥬ë.

஬¥ ⮣®, íâ® ã¯à®é ¥â ¢ëç¨-

á«¥­¨¥ ¬ âà¨æë ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï T â ª ª ª ¨§ (3.13) ¯®«ã稬

~

T = Q, â.¥. B = QB:

3.2.4. ਬ¥àë

áᬮâਬ ­¥ª®â®àë¥ ¯à¨¬¥àë ¢ë¯®«­¥­¨ï 㪠§ ­­ëå ¯à¥-

®¡à §®¢ ­¨©.

ਬ¥à 1. ¥â ⥫ì­ë©

¯¯ à â. ¡à ⨬áï ª ®¯¨á ­-

­®¬ã ¢ ¯. 1.4.2. á. 41, ¯à®¤®«ì­®¬ã ¤¢¨¦¥­¨î «¥â ⥫쭮£®

¯¯ à â

(1.33) á ¯à¨­ïâ묨 ¢ëè¥ §­ 祭¨ï¬¨ ¯ à ¬¥â஢

a = 2:10 [c;1]

a

= 29:4 [c;2]

a!z

= 2:18 [c;1]

a ¢

=

y

mz

mz

mz

60:7 [c;2

]: ç¨â ï ¢å®¤®¬ á¨áâ¥¬ë ®âª«®­¥­¨¥ àã«¥© ¢ëá®âë,

¢ë室®¬ { 㣮« â ­£ ¦ , ¯®«ã稬 á«¥¤ãî騥 ¬ âà¨æë:

4

;2:1

0

2:1

5

4

0

5

0

1

0

0

A=2

29:4

;2:18

;29:4 3

B=2 ;60:7

3 C

=[0 0

1]: (3.14)

믮«­¨¬ á­ ç «

¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ª ¤¨ £®­ «ì­®© ä®à¬¥

¬ âà¨æë A: ëç¨á«ïï å à ªâ¥à¨áâ¨ç¥áª¨© ¬­®£®ç«¥­, ᮡ-

á⢥­­ë¥ ç¨á«

si ¨ ᮡá⢥­­ë¥ ¢¥ªâ®àë xi0 (i = 1 2 3), ¯®«ã-

稬

det(sIn ; A) = s3 + 4:28s2 + 34s

s1 = 0

s2 3 = ;2:14 5:42|

0

0:707

0

0:0525;0:039|

3

0

0:0525+0:039|

x1 =2

0 3

x2

=2;0:952+0:247|

x3 =2;0:952;0:247|3 :

40:7075

4

0:10+0:014|

5

4 0:10;0:014| 5

ª ª ª ¨¬¥îâáï ¬­¨¬ë¥ ᮡá⢥­­ë¥ ç¨á« , ¢¥é¥á⢥­­ ï

¬ âà¨æ

~

¨¬¥âì ¡«®ç­®-¤¨ £®­ «ì­ë© ¢¨¤ (2.4), «-

A ¤®«¦­

89

£®à¨â¬ ¯à¨¢¥¤¥­¨ï ª ª®â®à®¬ã ®¯¨á ­ ¢ ¯. 3.1.2. á.

82. ®-

£« á­® í⮬ã

«£®à¨â¬ã, ¯® ä®à¬ã«¥ (3.4) ¯®«ã稬 ¢¥ªâ®àë

h2

= [0:0525

;0:952 0:10]T

h3

=

[;0:039 0:247 0:136]T : ëç¨-

᫨¬ ¬ âà¨æ㠯८¡à §®¢ ­¨ï

= 2

0:707

0:0525

0:039

3

;1

= 2

1:22

0:0874

0:190

3

T

0

;0:952

;0:247

;1:38

;0:982

1:38

4

0:707

0:10

0:136

5

4

;5:34

0:262

5:34

5

®âªã¤

~

= 2

0

0

0

3

~

= 2

;5:30

3

A

0

;2:14 5:42

B

59:6

4

0

;5:42 ;2:14

5

4 ;15:9 5

~

= [ 0:707

0:01

0:136 ] :

C

©¤¥­­ë¥ ¬ âà¨æë ᮮ⢥âáâ¢ãîâ à §«®¦¥­¨î ¯¥à¥¤ â®ç-

­®© ä㭪樨 ¯® 㣫ã â ­£ ¦

(1.36) ­

á. 42 ¢ ¢¨¤¥ (2.5)

W(s)=W1(s)+W2(s)

W1(s)= ;3:75 W2 (s)=

3:75s ; 44:6

:

s2 +4:28s+34:0

s

८¡à §®¢ ­¨¥ ª ¡ §¨á㠯ਢ®¤¨â ª á«¥¤ãî騬 §­ -

祭¨ï¬: 9

Q = 2

0

0

;127

3

3

~

0

0

1

3

;60:7

132

1:50 10

Q = 2

0

1

;4:28

4

0

;60:7

132

5

4

1

;4:28

15:6

5

= 2

;7:84 10;3

0

0

3

T

0:0165

0

;0:0165

®âªã¤

4 ;0:0346

;0:0165

0:0346

5

~

0

1

0

3

~

= 2

0

3

~

0

0

1

0

= [;127

;60:7

0 ]:

A = 2

B

C

4

0 ;34:0 ;4:28

5

4

1

5

9

¬¥â¨¬, ¢¯à®ç¥¬, çâ® ¯à¨ ¨§¢¥áâ­®© ¯¥à¥¤ â®ç­®© ä㭪樨 ¯à¨¢¥-

¤¥­­ë¥ ­¨¦¥ ¢ëª« ¤ª¨ ¬®¦­® ­¥ ¤¥« âì,

§ ¯¨á âì ¬ âà¨æë ãà ¢­¥­¨©

á®áâ®ï­¨ï ­¥¯®á।á⢥­­® ¯® ᮮ⭮襭¨î (2.13), á. 76. ®í⮬㠧¤¥áì

®á­®¢­®© ¨­â¥à¥á ¬®¦¥â ¯à¥¤áâ ¢«ïâì ¬ âà¨æ

T , ¯®§¢®«ïîé ï á¢ï§ âì

"䨧¨ç¥áª¨©" ¡ §¨á ¯¥à¥¬¥­­ëå á®áâ®ï­¨ï á ª ­®­¨ç¥áª¨¬.

90

0

0

1

~

0

4~

1

0

5

®âªã¤

4

5

Q = 2 0

3

B = 2 ;60:7

3 :

29:4 ;2:18

;29:4

132

âà¨æ A ᮢ¯ ¤ ¥â á ¯à¨¢¥¤¥­­®© ¢ëè¥ ¬ âà¨æ¥© ¢¨¤

, ¬ âà¨æ

~

0]:

C = [1 0

MATLAB-¯à®£à ¬¬

¤«ï ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ãà ¢­¥­¨©

á®áâ®ï­¨ï «¥â ⥫쭮£®

¯¯ à â

ª ª ­®­¨ç¥áª¨¬ ä®à¬ ¬ 10

{ "®¢¥é¥á⢫¥­¨¥" ᮡá⢥­­ëå ¢¥ªâ®à®¢ ¯® (3.4)\

Pd=[v(:,1),h1,h2]v

Td=inv(Pd)v

{ ¢ëç¨á«¥­¨¥ ¬®¤ «ì­®© ¬ âà¨æë

Pd ¨ ¬ âà¨æë ¯à¥®¡à -

§®¢ ­¨ï

Td ᮣ«

á­® (3.3)\

Ad=Td*A*Pdv

Bd=Td*Bv

Cd=C*Pdv

{ ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ ª ¡«®ç­®-¤¨ £®­ «ì­®¬ã ¢¨¤ã ¯® ä®à¬ã-

~

;1

~

~

;1

« ¬ A = T AT

B

= T B C = CT

Ad1=Ad(1,1)v

Bd1=Bd(1,1)v

Cd1=Cd(1,1)v Dd1=0v

Ad2=Ad(2:3,2:3)v

Bd2=Bd(2:3,1)v

Cd2=Cd(1,2:3)v

Dd2=0v