1.1. Математическое моделирование

Под математическим моделированием понимают изучение свойств объекта на математической модели. Его целью является определение оптимальных условий протекания процесса, управление им на основе математической модели и перенос результатов на объект.

Основным понятием метода математического моделирования является понятие математической модели. Математической моделью называется приближенное описание какого-либо явления или процесса внешнего мира, выраженное с помощью математической символики.

Математическое моделирование включает три взаимосвязанных этапа: 1) составление математического описания изучаемого объекта; 2) выбор метода решения системы уравнений математического описания и реализация его в форме моделирующей программы; 3) установление соответствия (адекватности) модели объекту.

На этапе составления математического описания предварительно выделяют основные явления и элементы в объекте и затем устанавливают связи между ними. Далее, для каждого выделенного элемента и явления записывают уравнение (или систему уравнений), отражающее его функционирование. Кроме того, в математическое описание включают уравнения связи между различными выделенными явлениями. В зависимости от процесса математическое описание может быть представлено в виде системы алгебраических, дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений.

Этап выбора метода решения и разработки моделирующей программы подразумевает выбор наиболее эффективного метода решения из имеющихся (под эффективностью имеются в виду быстрота получения и точность решения) и реализацию его сначала в форме алгоритма решения, а затем - в форме программы, пригодной для расчета на ЭВМ.

Построенная на основе физических представлений модель должна верно качественно и количественно описывать свойства моделируемого процесса, т.е. она должна быть адекватна моделируемому процессу. Для проверки адекватности математической модели реальному процессу нужно сравнить результаты измерений на объекте в ходе процесса с результатами предсказания модели в идентичных условиях.

В модели должны быть учтены все наиболее существенные факторы, влияющие на процесс, и вместе с тем она не должна быть загромождена множеством мелких, второстепенных факторов, учет которых только усложнит математический анализ и сделает исследование либо чрезмерно громоздким, либо вообще нереализуемым.

1.2 Математическое моделирование химико-технологических процессов.

Математическое моделирование химико-технологических процессов - это по существу определение свойств и характеристик рассматриваемого явления (процесса) путем решения (как правило, с помощью ЭВМ) системы уравнений, описывающих этот процесс. При этом очень важно составить модель так, чтобы она достаточно точно отражала основные свойства рассматриваемого процесса и в то же время была доступной для исследования.

Математическое моделирование особенно важно там, где не совсем ясна физическая картина изучаемого явления, не познан внутренний механизм взаимодействия и, следовательно, нет возможности описать данное явление обобщенным уравнением. Путем численного эксперимента на ЭВМ ведется накопление фактов, что дает возможность, в конечном счете, произвести отбор наиболее реальных и вероятных ситуаций. Математическое моделирование позволяет резко сократить сроки научных и проектных разработок. По сравнению с натурным экспериментом это обычно и дешевле, и быстрее.

Наиболее полной, практически достоверной математической моделью процессов, протекающих в аппаратах химической технологии, является исчерпывающее математическое описание процессов переноса. Однако, в связи с математическими сложностями получения результатов во многих случаях эту модель нельзя считать оптимальной. Поэтому один из путей оптимизации такой модели – это ее упрощение, т.е. вторичное моделирование. Наиболее разумный алгоритм упрощения – оценка членов уравнений и, отбрасывание малозначимых членов.

Однако, такой алгоритм не всегда возможен по причине отсутствия в некоторых случаях малозначимых членов исходных уравнений. Тогда применяется подход сознательного огрубления исчерпывающего описания, например, сведения трехмерного описания к одномерному, поскольку обычно большой интерес представляет изменение характеристик потоков в направлении их движения, т.е. от входа в аппарат к выходу.

Наконец, для моделирования уже существующих аппаратов с целью их оптимизации может использоваться алгоритм, в соответствии с которым аппарат рассматривается как «черный ящик», т.е. нет никакой информации об объекте. Она получается лишь в результате серии экспериментов, проводимых в разных условиях, и обобщается в виде эмпирических зависимостей.

Поскольку любая модель является упрощенным, неполным отображением оригинала, необходима проверка модели на достоверное описание объекта. Поэтому следующим этапом моделирования является проверка адекватности модели – соответствия ее моделируемому объекту. Это достигается путем сопоставления результатов моделирования с физическим экспериментом.

Таким образом, математическое моделирование предполагает синтез теоретического и экспериментального подходов. В том случае, если модель в недостаточной степени соответствует оригиналу, проводят ее коррекцию, которая может заключаться либо в восстановлении некоторых членов уравнений, опущенных первоначально, либо в увеличении количества параметров модели, уточнении их зависимости от условий процесса и т.д.

При проектировании новых химико-технологических установок всегда возникает проблема создания оптимального с той или иной точки зрения процесса. Многомерность задач, трудоемкие вычисления приводят к необходимости использования быстродействующих вычислительных машин.

Однако, обычный путь программирования из-за больших затрат времени на подготовительную работу становится малоэффективным. Положение усугубляется также тем, что приходится рассчитывать оптимальный режим не одной схемы, а нескольких. Переход от одной схемы к другой часто требует длительной и дорогостоящей работы по программированию. Отсюда возникает проблема автоматизации программирования задач исследования сложных схем.

По существу речь идет о создании программирующей программы, которая на основании информации о структуре схемы и моделей отдельных аппаратов могла бы создавать программы моделирования всей схемы. Подобная программа, которая в дальнейшем будет называться моделирующей программой, должна состоять из двух частей: библиотеки стандартных подпрограмм (моделей) типовых аппаратов сложных схем (реакторов, узлов разделения, теплообменников и т.д.) и организующей программы, которая и является программирующей программой. Это программа предназначается для формирования программы моделирования сложной схемы на основании входной информации. Входная информация содержит в себе структуру схемы (таблицу связей аппаратов), типы аппаратов, физико-химические данные для каждого аппарата. Переход от моделирования одного варианта схемы к другому осуществляется путем изменения таблицы связей аппаратов.

Математическое моделирование может проводиться на разных уровнях:

1. моделирование отдельных аппаратов или их элементов (например, расчет колпачка или ректификационной колонны).

2. моделирование химико-технологической системы (технологической цепочки).

3. моделирование крупных производств, когда несколько химико-технологических систем находятся во взаимосвязи друг с другом.

4. моделирование работы холдинговой компании или государственной структуры, определяющей развитие отраслей отдельных регионов (например, «Татнефтехиминвестхолдинг»). Основная цель моделирования – оптимизация работы предприятия или отрасли в целом.

На каждом уровне должна осуществляться процедура оптимизации. С точки зрения математики, оптимизация – это обеспечение максимального или минимального значения некой функции (критерия оптимизации) путем подбора параметров (параметров оптимизации).

С точки зрения технолога, оптимизация – это поиск режимов работы технологической установки, обеспечивающих ее оптимальную работу. Имеется в виду достаточно высокая эффективность работы установки при условиях безопасности производства, устойчивости (управляемости технологического процесса) и экономии энерго- и трудозатрат.

С точки зрения управления производством, оптимизация – это нахождение оптимальной экономической эффективности производства в целом. При этом отдельные установки могут работать не в оптимальном режиме.