- •Теория автоматического управления
- •Курс лекций Составил: к.Т.Н., доцент Тихонов а.И.
- •Введение
- •1.1. Общие понятия
- •1.2. Фундаментальные принципы управления
- •1.2.1. Принцип разомкнутого управления
- •1.2.2. Принцип компенсации
- •1.2.3. Принцип обратной связи
- •Статический режим сау
- •2.1. Основные виды сау
- •2.2. Статические характеристики
- •2.3. Статическое и астатическое регулирование
- •Динамический режим сау
- •3.1. Динамический режим сау. Уравнение динамики
- •3.2. Линеаризация уравнения динамики
- •3.3. Передаточная функция
- •3.4. Элементарные динамические звенья
- •Структурные схемы сау
- •4.1. Эквивалентные преобразования структурных схем
- •1. Последовательное соединение(рис.28) - выходная величина предшествующего звена подается на вход последующего. При этом можно записать:
- •4.2. Сар напряжения генератора постоянного тока
- •Временные характеристики
- •5.1. Понятие временных характеристик
- •5.2. Переходные характеристики элементарных звеньев
- •5.2.1. Безынерционное (пропорциональное, усилительное) звено
- •5.2.2. Интегрирующее (астатическое) звено
- •5.2.3. Инерционное звено первого порядка (апериодическое)
- •5.2.4. Инерционные звенья второго порядка
- •5.2.5. Дифференцирующее звено
- •Частотные характеристики
- •6.1. Понятие частотных характеристик
- •6.2. Частотные характеристики типовых звеньев
- •6.2.1. Безынерционное звено
- •6.2.2. Интегрирующее звено
- •6.2.3. Апериодическое звено
- •6.2.4. Инерционные звенья второго порядка
- •6.2.5. Правила построения чх элементарных звеньев
- •Чх разомкнутых сау
- •7.1. Частотные характеристики разомкнутых одноконтурных сау
- •7.2. Законы регулирования
- •Алгебраические критерии устойчивости
- •8.1. Понятие устойчивости системы
- •8.2. Алгебраические критерии устойчивости
- •8.2.1. Необходимое условие устойчивости
- •8.2.1. Критерий Рауса
- •8.2.2. Критерий Гурвица
- •Частотные критерии устойчивости
- •9.1. Принцип аргумента
- •9.2. Критерий устойчивости Михайлова
- •9.3. Критерий устойчивости Найквиста
- •10.1. Понятие структурной устойчивости. Афчх астатических сау
- •10.2. Понятие запаса устойчивости
- •10.3. Анализ устойчивости по лчх
- •Качество сау
- •11.1. Теоретическое обоснование метода d-разбиений
- •11.3. Прямые методы оценки качества управления
- •11.3.1. Оценка переходного процесса при ступенчатом воздействии.
- •11.3.2. Оценка качества управления при периодических возмущениях
- •Корневой и интегральный методы оценки качества сау
- •12.1. Корневой метод оценки качества управления
- •12.2. Интегральные критерии качества
- •Частотные методы оценки качества
- •13.1. Теоретическое обоснование
- •13.2. Основные соотношения между вчх и переходной характеристикой
- •2.Сау с вогнутой вчх (рис.97а кривая 1) не имеет перерегулирования, то есть ей соответствует монотонная переходная характеристика (рис.97б кривая 1).
- •13.3. Метод трапеций
- •Синтез сау
- •14.1. Синтез сау
- •14.1.1. Включение корректирующих устройств
- •14.1.2. Синтез корректирующих устройств.
- •14.2. Коррекция свойств сау изменением параметров звеньев
- •14.2.1. Изменение коэффициента передачи
- •14.2.2. Изменение постоянной времени звена сау
- •Включение корректирующих звеньев
- •15.1. Коррекция свойств сау включением последовательных корректирующих звеньев
- •15.1.1. Включение интегрирующего звена в статическую сау
- •15.1.2. Включение апериодического звена
- •15.1.3. Включение форсирующего звена
- •15.1.4. Включение звена со сложной передаточной функцией
- •15.2. Последовательная коррекция по задающему воздействию
- •15.3. Коррекция с использованием неединичной обратной связи
- •15.4. Компенсация возмущающего воздействия
3.3. Передаточная функция
В ТАУ часто используют операторную форму записи дифференциальных уравнений. При этом вводится понятие дифференциального оператора p = d/dtтак, что,dy/dt = py, аpn = dn/dtn. Это лишь другое обозначение операции дифференцирования. Обратная дифференцированию операция интегрирования записывается как1/p. В операторной форме исходное дифференциальное уравнение записывается как алгебраическое:
aop(n)y + a1p(n-1)y + ... + any = (aop(n) + a1p(n-1) + ... + an)y = (bop(m) + b1p(m-1) + ... + bm)u
Не надо путать эту форму записи с операционным исчислением хотя бы потому, что здесь используются непосредственно функции времени y(t), u(t)(оригиналы), а не ихизображенияY(p), U(p), получаемые из оригиналов по формуле преобразования Лапласа. Вместе с тем при нулевых начальных условиях с точностью до обозначений записи действительно очень похожи. Это сходство лежит в природе дифференциальных уравнений. Поэтому некоторые правила операционного исчисления применимы к операторной форме записи уравнения динамики. Так операторpможно рассматривать в качестве сомножителя без права перестановки, то естьpyyp. Его можно выносить за скобки и т.п.
Поэтому уравнение динамики можно записать также в виде:
Дифференциальный оператор W(p)называютпередаточной функцией. Она определяет отношение выходной величины звена к входной в каждый момент времени:W(p) = y(t)/u(t), поэтому ее еще называютдинамическим коэффициентом усиления. В установившемся режимеd/dt = 0, то естьp = 0, поэтому передаточная функция превращается в коэффициент передачи звенаK = bm/an.
Знаменатель передаточной функции D(p) = aopn + a1pn - 1 + a2pn - 2 + ... + anназываютхарактеристическим полиномом. Его корни, то есть значения p, при которых знаменательD(p)обращается в ноль, аW(p)стремится к бесконечности, называютсяполюсами передаточной функции.
Числитель K(p) = bopm + b1pm - 1+ ... + bmназываютоператорным коэффициентом передачи. Его корни, при которыхK(p) = 0иW(p) = 0, называютсянулями передаточной функции.
Звено САУ с известной передаточной функцией называется динамическим звеном. Оно изображается прямоугольником, внутри которого записывается выражение передаточной функции. То есть это обычное функциональное звено, функция которого задана математической зависимостью выходной величины от входной в динамическом режиме. Для звена с двумя входами и одним выходом должны быть записаны две передаточные функции по каждому из входов. Передаточная функция является основной характеристикой звена в динамическом режиме, из которой можно получить все остальные характеристики. Она определяется только параметрами системы и не зависит от входных и выходных величин. Например, одним из динамических звеньев является интегратор. Его передаточная функцияWи(p) = 1/p. Схема САУ, составленная из динамических звеньев, называетсяструктурной.
3.4. Элементарные динамические звенья
Динамика большинства функциональных элементов САУ независимо от исполнения может быть описана одинаковыми по форме дифференциальными уравнениями не более второго порядка. Такие элементы называют элементарными динамическими звеньями. Передаточная функция элементарного звена в общем виде задается отношением двух полиномов не более чем второй степени:
Wэ(p) =.
Известно также, что любой полином произвольного порядка можно разложить на простые сомножители не более, чем второго порядка. Так по теореме Виета модно записать
D(p) = aopn + a1pn - 1 + a2pn - 2 + ... + an = ao(p - p1)(p - p2)...(p - pn),
где p1, p2, ..., pn- корни полиномаD(p). Аналогично
K(p) = bopm + b1pm - 1+ ... + bm = bo(p - p~1)(p - p~2)...(p - p~m),
где p~1,p~2, ...,p~m- корни полиномаK(p). То есть
Корни любого полинома могут быть либо вещественными pi = ai , либо комплексными попарно сопряженнымиpi = ai ± ji . Любому вещественному корню при разложении полинома соответствует сомножитель(p - ai ). Любая пара комплексно сопряженных корней соответствует полиному второй степени, так как
(p - ai + ji )(p - ai - ji ) = (p - ai)2 + i 2 = p2 - 2pai + (ai 2 + i 2).
То есть
Поэтому любую сложную передаточную функцию линеаризованной САУ можно представить как произведение передаточных функций элементарных звеньев. Каждому такому звену в реальной САУ, как правило, соответствует какой - то отдельный узел. Зная свойства отдельных звеньев можно судить о динамики САУ в целом.
В теории удобно ограничиться рассмотрением типовых звеньев, передаточные функции которых имеют числитель или знаменатель, равный единице, то естьW(p) =,W(p) =,W(p) = 1/p,W(p) = p,W(p) = Tp + 1,W(p) = k. Из них могут быть образованы все остальные звенья. Звенья, у которых порядок полинома числителя больше порядка полинома знаменателя, технически нереализуемы.
Вопросы
Какой режим САУ называется динамическим?
Что называется регулированием?
Назовите возможные виды переходных процессов в САУ. Какие из них являются допустимыми для нормальной работы САУ?
Что называется уравнением динамики? Каков его вид?
Как провести теоретическое исследование динамики САУ?
Что называется линеаризацией?
В чем геометрический смысл линеаризации?
В чем состоит математическое обоснование линеаризации?
Почему уравнение динамики САУ называется уравнением в отклонениях?
Справедлив ли для уравнения динамики САУ принцип суперпозиции? Почему?
Как звено с двумя и более входами представить схемой, состоящей из звеньев с одним входом?
Запишите линеаризованное уравнение динамики в обычной и в операторной формах?
В чем смысл и какими свойствами обладает дифференциальный оператор p?
Что называется передаточной функцией звена?
Запишите линеаризованное уравнение динамики с использованием передаточной функции. Справедлива ли эта запись при ненулевых начальных условиях? Почему?
Напишите выражение для передаточной функции звена по известному линеаризованному уравнению динамики: (0.1p + 1)py(t) = 100u(t).
Что называется динамическим коэффициентом усиления звена?
Что называется характеристическим полиномом звена?
Что называется нулями и полюсами передаточной функции?
Что называется динамическим звеном?
Что называется структурной схемой САУ?
Что называется элементарными и типовыми динамическими звеньями?
Как сложную передаточную функцию разложить на передаточные функции типовых звеньев?