Законы распределения функций случайных величин

Пусть Х – дискретная случайная величина.

Р(Х=х)=P_i, i=1…m

1) Если они все различны, то закон для У множеств можно записать:

У примет значение тогда и только тогда,

когда Х примет значение .

2) Если знаменатель окажется совпадающим, то нужно это совпадение значение объединить, сложив соответствующие вероятности:

Х – непрерывная случайная величина.

f(x),y=φ(x)

x=φ^-1(y) – обратная функция неоднозначна

Тогда

(2)

Если φ(у) – монотонна и однозначна иφ^-1(y) тоже монотонна и однозначна, то

- частный случай (2)

«+» - φ(x) возрастает

«-» - φ(x) убывает

Двумерный непрерывный случайный вектор:

(Х₁,Х₂) -> (Y₁,Y₂)

f(x₁,x₂)

(3)

Предположим, что обратное преобразование (3):

(4)

Предположим, что (4) – n-значимое:

Попадание в область ΔG в y10y2 равносильно попаданию в ΔG₁, ΔG₂,…, ΔG_n.

(5)

(6)

- якобиан

(7)- якобиан

Если обратное преобразование (4) однозначно, то в формуле (7) имеет место только одно слагаемое.

Если в (3) задано одно уравнение:

(8)

Тогда мы добавим одно уравнение:

(9)

N=1

- якобиан

Тогда по (7) получаем:

(10)

Вектор преобразуется в случайную величину.

Частные случаи:

По (9) получаем: (11) Если Х1и Х2– независимые, то (12)

По (10) получаем:

Общий случай.

Пусть вектор n-мерный:

x_ki–i-ая ветвь соответствующего обратного преобразования.

- якобиан

если вместо системы (13) мы будем использовать систему

то мы вводим систему из недостающих (n-m) уравнений:

по формуле (14) находи и интегрируем ее пои получим

Закон больших чисел. Неравенство Чебышева.

Рассмотрим произвольную случайную величину X, ε>0 сколь угодно малое число

(1)

Доказательство:

Пусть -плотность вероятности величины Х, тогда

Для дискретной величины неравенство доказывается аналогично

Подставим в (1) вместо xвыражение () и перейдем к противоположному событию:

(2)

Неравенство Чебышева имеет большое теоретическое значение, так как дает простую количественную оценку для вероятности отклонения случайной величины, с произвольным значением, от ее центра.

Если в (2) , то

- для непрерывной случайной величины.

Так как 0,997>>0,889, то неравенство Чебышева дает слишком глубокую, для практических целей, оценку вероятности отклонения.

Теорема Чебышева

Рассмотрим последовательность случайных величин , среднее арифметическое этих величин:

Предположим, что корреляционный моменты:

В частности выполняется это условие когда все Xнекоррелированные, а из дисперсии равномерно ограничены (т.е. не превышают постоянного числа). Тогда используют неравенство, полученное

Применим неравенство Чебышева к У и перейдем к пределу:

В этом состоит теорема Чебышева, или сходимость по вероятности. Она устанавливает, что среднее арифметическое достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) случайных величин, которые обладают сколь угодно малой дисперсией, есть почти не случайная величина. Причина этого заключается в тенденции взаимного погашения отклонений отдельных случайных величин.

Теорема Бернулли.

Последовательность случайных величин Х называется сходящейся по вероятности к величине , если для любого ε>0, выполняется:

(3)

Т. е. частота сходится по вероятности к вероятности этого события, в этом и состоит теорема Бернулли.

Для доказательстватеоремы обозначимX_k– число наступления события А в каком-либо опыте.

X_k=1 с вероятностью р,

X_k=0 с вероятностью q=1-p

Теорема Бернулли объясняет впервые замеченное на практике свойство частоты. Свойство устойчивости оно выражается в следующем: частота в разных достаточно больших сериях опытов меняется слабо и колеблется около некоторого постоянного числа. Именно это постоянное число и является вероятностью. Которое измеряется в числах от 0 до 1. вероятность этого неравенства:

- сколь угодно малое положительное число.

Может быть при достаточно большом n– числе опытов сделано сколь угодно близко кf, поэтому естественно использовать приблизительно равную вероятности р, известную частотуэтого события. Именно это обстоятельство и лежит в основе всех приложений в теории вероятностей.

В теоремах Чебышева и Бернулли заключается смысл закона больших чисел.