5. Условная вероятность и её свойства. Независимость событий. Основные формулы вычисления вероятностей: формула умножения вероятностей, формула сложения вероятностей.

Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р(А|В) или P_B(A).

Условная вероятность события А при условии наступления события В равна Р(А|В)= Р(АB) /P(B), где P(B)>0 (формула условной вероятности).

Св-ва усл.вер-ти:

1) 0 Р(А|В)1

2) если АВ=Ø, то Р(А|В)=0

3) если соб.В ведет к обяз.осущ-ю соб.А, то усл.вер-ть равна 1 ВА  Р(А|В)=1

4) Р(А|Ω)=1

5) если соб.А есть объединение непересекающихся событий А₁, А₂…A_n , то вер-ть Р(А|В) равна

Условие независимости события А от события В можно записать в виде:

Р(А|В)= Р(А)

Соб.А и В нзв независ., если вер-ть их произведения равна произведению их вер-тей.

Соб. А₁, А₂…A_n нзв независ. в совокупности, если каждое из них не зависит от произведения любой совокупности остальных.

Если любые два события из А₁, А₂…A_n независ., то соб. А₁, А₂…A_n нзв попарно независ.

Замеч.: независ-ть событий не следует из их попарной независимости, но обратное утверждение верно.

Замеч.: если несовмест.соб. А и В имеют ненулевые вероятности, то они зависимы.

Док-во: Пусть АВ=Ø, А и В несовмест., тогда Р(А)*Р(В)=Р(АВ)=Р(Ø)=0, но при этом Р(А)0 и Р(В)0 => противоречие => А и В зависимы.

Теорема: Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

P(AB) = P(A)P(B|A)= P(В)P(А|В).

Метод математической индукции позволяет обобщить эту формулу на случай n событий.

P(A₁A₂ ……A_n)= P(A₁)P(A₂|A₁)*…* P(A_n|A₁A₂…A_n-1)

Формула сложения вер-тей:

Вер-ть появления в опыте хотя бы одного из соб. А₁, А₂…A_n выражается формулой

Замечание: если соб. А₁, А₂…A_n попарно несовмест., то вер-ть произведения любой комбинации из этих событий равна 0.

Если соб. А₁, А₂…A_n совместные и независ., то

6. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Формула полной вероятности

Пусть дана группа несовместных событий В₁,В₂…В_n и некоторое событие А, подразделяющееся на частные случаи АВ₁, АВ₂… АВ_n. И пусть даны вероятности P(В₁), P(В₂),…,P(В_n) и условные вероятности P(A|В₁), P(A|В₂),…,P(A|B_n). Требуется определить вероятность P(A).

Так как A = АВ₁ +АВ₂ +…+ АВ_n, то P(A)= P(АВ₁ + АВ₂ +… +АВ_n ).

События В₁, В₂,…,В_n несовместные, следовательно, события АВ₁,АВ₂,…,АВ_n тоже несовместные. Воспользуемся теоремой сложения для несовместных событий.

P(A) = P(АВ₁ + АВ₂ +… +АВ_n) = P(АВ₁)+ P(АВ₂)+… +P(АВ_n )

По теореме умножения для каждого слагаемого имеем

P(AB_i)=P(B_i)P(A|B_i).

Следовательно

P(A) = P(B₁)P(A|B₁) +P(B₂)P(A|B₂)+…+P(B_n)P(A|B_n).

Или

- формула полной вероятности

Формула Байеса

Пусть дана группа несовместных событий В₁, В₂ ,…В_n и некоторое событие А, подразделяющееся на частные случаи АВ₁, АВ₂,… АВ_n. И пусть даны вероятности P(В₁), P(В₂),…,P(В_n) и условные вероятности P(A|B₁), P(A|В₂),…,P(A|В_n). Требуется определить условные вероятности P(В₁|A), P(В₂|A),…,P(В_n|A).

По теореме умножения

P(AB) = P(B)P(A|B) или P(AB) = P(A)P(B|A).

Следовательно, P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A).

Воспользуемся последним равенством и выразим P(B|A) в общем случае

P(A) находим по формуле полной вероятности

Итак, - формула Байеса

Вер-ть Р(В_i) осуществления соб. В_i (i = 1,…,n), вычисл. безотносительно к соб. А, нзв априорной вер-тью (a priori). Усл. вер-ть Р(В_i|А) выполнения соб. В_i (i = 1,…,n), вычисл. в предположении, что соб. А осуществилось, нзв апостериорной вер-тью (a posteriori).

События В_i называют гипотезами, а теорему Байеса теоремой гипотез.

Формулы полной вероятности и Байеса связаны между собой и дают прямое и обратное решения одной и той же проблемы. Первая прогнозирует возможность появления события А по известным до опыта вероятностям осуществления гипотез. Последняя оценивает вероятность осуществления каждой гипотезы, если событие А произошло.

7.Случайные величины. Основные свойства функции распределения. Дискретные непрерывные случайные величины.

Случайной нзв величину, к-рая в рез-те испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случ.причин, к-рые заранее не могут быть учтены.

Опр: Случайной величиной ξ() нзв. ф-ция элементарных событий от  с обл. определений Ω и обл. значений действ. чисел R¹ и означает, что событие {: ξ()x} σ-алгебре F при х R¹. Значение х нзв реализацией случ-ой вел-ны ξ(). Сов-ть всех реализаций сл. вел-ны, т.е. обл. значений ξ(), нзв. спектром знач. сл. величины.

Ф-ция распределения случ-ой величины.

σ-алгебра мн-ва F предст.соб. класс событий, для к-рых определена вер-ть

,

Опр: Пусть у нас есть ξ – случ.вел-на и х – произвольное действительное число. Вер-ть того, что ξ меньше, чем х, нзв ф-цией распред. вер-тей сл. вел-ны ξ.

Для описания случайной величины ξ необходимо указать множество её возможных значений х и задать распределение вер-тей этих значений.

Опр: Пусть ξ() сл. вел-на и х произвольное действительное число вер-ти. Тогда вер-ть того, что ξ() примет значение, меньшее, чем х, нзв ф-цией распред. вер-тей сл. вел-ны ξ().

Замечание: ф-ция распределения явл. разновидностью закона распределения для сл. величин всех типов и однозначно опред. случ. величину.

Св-ва ф-ции распред.

1) Ф-ция распред. F_ξ(x) опред. для всех х на действ. прямой.

2) Ф-ция распред. неотриц. и не больше 1.

Ф-ция определенная на всей числовой прямойR нзв ф-цией распределения случ-ой величины.

Например: х принимает значение -1 с вер-тью ½ и значение 1 с вер-тью ½. Тогда

3)

Док-во: ξ<+∞ достоверно, отсюда Р(ξ<+∞)=1. A_k – событие, состоящее в том, что k-1ξ<k. B_n={ξ –n} n=1, 2,… B_n+1={x – (n+1)}  B_n(ξ –n) n1.

для любого элементарного исхода знач. ξ вещественно и не может быть меньше всех веществ.чисел, т.е. пересечение B_n не содерж. элем.исходов.

Аналогично док-ся для х→-∞.

4) Ф-ция распределения не убывает.

Если x₁<x₂, то F(x₁)-F(x₂)=P{x₁x<x₂}, при этом F(x₁)F(x₂).

Д-во:  x₁<x₂, {ξ<x₂}={ξx₁}+{x₁<ξx₂}.

{ξx₁}{x₁<ξx₂}=.

По А3: F(x₂)=P{ξ<x₂}=F(x₁)+P{x₁<ξx₂} => F(x₂)-F(x₁)= P{x₁<ξx₂} > 0.

5) ф-ция распред.непрерывна слева

Док-во:

По А4:

Дискретные и непрерывные случайные величины.

Опр: числовая ф-ция ξ= ξ() опред на пространстве Ω и принимающая конечное или счетное множество значений х₁, х₂, …, х_n, нзв дискретной случайной величиной, если для любого x_i мн-ва , для к-рых ξ()=x_i, принадлежит σ-алгебре мн-ва F, т.е.

Ф-ция распред. любой дискретной сл.вел-ны разрывна, возрастает скачками при тех значениях х, к-рые явл.возмож.значениями. Распределение дискрет.сл.вел-ны есть ступенчатая ф-ция. Единичной ступенчатой ф-цией (ф-цией Хевисайда) нзв ф-ция вида

Опр: числовая ф-ция ξ=ξ(), опред. на пространстве Ω и прин-щая несчетное кол-во значений (-∞; +∞), нзв непрерывной сл. вел-ной, если любое x_i мн-ва , при к-рых ξ()<x, принадлежит σ-алгебре мн-ва F, т.е.

Если сл.вел-на ξ имеет абсолютно непрерыв.ф-цию распред. F_ξ(x), для к-рой существ.неотриц.ф-ция f(x), удовл. при любых х рав-во

то в этом случае сл.вел-на нзв непрерывной, а ф-ция f(x) нзв плотностью распред.ее вер-тей.

Ф-ция распр.непрерыв.сл.вел-ны сама явл.непрерыв.

8.Математическое ожидание случайной величины и его свойства. Начальные и центральные моменты случайной величины. Условное математическое ожидание. Дисперсия случайной величины и её свойства. Связь различных случайных величин. Коэффициент корреляции и его свойства

Матожидание:

Опр: мат.ожиданием (или средним значением случайной величины ξ) нзв величина M[ξ], к-рая опред след образом:

Пример дискретной величины:

Кубик: N=6 {1,2,3,4,5,6}

M[ξ]=1/6(1+3+3+4+5+6)=3,5 => Вероятнее всего, выпадет 3 или 4.

Пример непрерывной величины:

ξ - точка координат, брошенная на удачу на отрезок [a;b]

Св-ва мат.ожидания:

1) мат. ожид. постоянной равно ей самой

M[c]=c, c=const. M[1]=1

2) постоянную величину можно вынести за знак мат. ожидания

M[c+ξ]=M[ξ]+c

M[c*ξ]=cM[ξ]

3) мат.ожидание суммы любых случ-ых величин равно сумме их математических ожиданий, если эти мат.ожидания существуют.

ξ, η M[ξ+η]=M[ξ]+M[η]

4) мат. ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их мат.ожиданий

ξ, η – независ. M[ξη]=M[ξ]M[η]

5) если ξη при всех элемент.исходах, то их мат.ожидания сохраняют соотношение: M[ξ]M[η].

Начальные и центральные моменты случайной величины:

Опр: начальным моментом k-ого порядка случайной величины ξ нзв. мат.ожидание k-ой степени этой случайной величины

Опр: центральным моментом k-ого порядка случайной величины ξ нзв мат.ожидание k-ой степени центрированной случайной величины

Центрированной сл.вел-ной нзв разность м/у сл.вел-ной ξ и ее мат. ожиданием.

Условное математическое ожидание:

Если условная ф-ция распределения случ. величины ξ:F_ξ(x|A), то в этом случае можно рассчитать усл.мат. ожид. по формуле:

где A_i – полная группа несовмест.событий, - ф-ции распред. ξ. M[ξ|A] нзв услов.мат.ожид.сл.вел-ны относительно события А.

Дисперсия случайной величины:

Опр: дисперсией случ.величины ξ нзв. мат.ожидание квадрата отклонения случ.величины ξ от её мат.ожидания.

Дисперсия характеризует степень рассеивания реализации случайной величины около её мат.ожидания.

Св-ва дисперсии

1) дисперсия постоянной величины равно нулю

D[c]=0, с=const

2)

3) Дисперсия суммы любых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин (если эти дисперсии существуют)

4) если дисперсия случ. величны ξ равна нулю, то ξ равна постоянной с вероятностью, равной единице:

если D[ξ]=0, то ξ =Const с вероятностью р=1

5) дисперсию можно посчитать по формуле:

Связь различных сл.вел-н.

Две сл. вел-ны могут быть связаны либо функциональной зависимостью, либо зависимостью другого рода, называемой статистической, либо быть независимыми. Строгая функ-ная зав-ть реализуется редко, т.к. обе величины или одна из них подвержены еще действию случ.факторов, причем среди них могут быть и общие для обеих величин. В этом случае возникает статистическая зависимость. Стат-кой нзв зав-ть, при к-рой изменение одной из величин влечет изменение распределения другой. В частности, стат.зав-ть проявл.в том, что при изменении одной из величин изменяется среднее значение другой. В этом случае стат.зав-ть нзв корреляционной.

Коэффициент корреляции r

Коэффициентом корреляции r_ξη сл.вел-н ξ и η нзв отношение корреляционного момента к произведению сред.квадр.отклонений этих вел-н:

или

где

Свойства коэффициента корреляции:

1) для независимых случайных величины ξ и η коэ-нт корреляции равен нулю.

Сл.вел-ны ξ и η нзв некоррелированными, если их коэф-т кор-ции равен 0.

2) коэ-нт корреляции лежит в пределе от -1 до 1

3) если r=1 или r=-1, то величины ξ и η линейно зависимы (прямая или обратная зав-ть соответственно)