Экзамен по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика» (теоретическая часть) Оглавление

1. Функция распределения случайной величины. Непрерывная случайная величина и ее функция плотности. Совместные, маргинальные и условные плотности для двух случайных величин. Априорные и апостериорные плотности. 2

2. Примеры сопряженных семейств распределений. 4

3. Статистические оценки параметров распределений по имеющимся наблюдениям. Метод моментов и метод максимального правдоподобия. Пример совпадения байесовского решающего правила при использовании неинформативного априорного распределения и статистической оценки, построенной методом максимального правдоподобия. 5

4. Определение решающего правила. Допустимые и минимаксные решающие правила. Примеры допустимых решающих правил, которые не являются минимаксными, и примеры минимаксных решающих правил, которые не являются допустимыми. 8

5. Функции потерь. Ожидаемые потери. Апостериорные ожидаемые потери. Свойство решающего правила быть байесовским при условии минимизации апостериорных ожидаемых потерь. 10

6. Классическая схема проверки гипотез. Основная и альтернативная гипотезы. Ошибка первого рода и ошибка второго рода, их вероятности. Уровень значимости. 11

7. Проверка гипотез как задача теории статистических решений. Пример совпадения байесовского решающего правила и классического подхода к проверке гипотез. 13

8. Доверительные интервалы. Множества наивысшей апостериорной плотности. Доверительные множества наивысшей апостериорной плотности. 15

9. Затраты на наблюдения и понятие общего риска. Определение оптимального размера выборки до начала наблюдений. Примеры. 18

10. Определение оптимального размера выборки в процессе наблюдений. Последовательный критерий отношения вероятностей. 19

1. Функция распределения случайной величины. Непрерывная случайная величина и ее функция плотности. Совместные, маргинальные и условные плотности для двух случайных величин. Априорные и апостериорные плотности.

Функция распределения случайной величины.

Функция распределения случайной величины X – функция F(x), выражающая для каждого x вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x: F(x)=P(X<x).

Непрерывная случайная величина и ее функция плотности.

Случайная величина  называется непрерывной, если её функция распределения F(x) непрерывна на всей числовой оси. Для непрерывной случайно величины  при любом x₀ R имеет место равенство P( =x₀)=0, а также P(x₁ ≤  ≤ x₂)= P(x₁<<x₂)= P(x₁< ≤x₂)=P(x₁ ≤  < x₂₎=F(x2)-F(x1), где F(x) - функция распределения величины .

Совместные плотности для двух случайных величин.

Совместной плотностью вероятности или плотностью совместного распределения называется функция

Плотность f(x,y) обладает следующими свойствами:

• f(x,y)≥0;

• 

Функция распределения системы (X,Y) через совместную плотность определяется так:

Совместная плотность распределения системы случайных величин (X,Y) позволяет вычислить одномерные законы распределения случайных величин X и Y :

; 

Маргинальные распределения

Если задан совместный закон распределения случайных величин X и Y, то маргинальное распределение случайной величины Х имеет вид:

P(X = X_i) = ∑_jP(X = X_i, Y = Y_j), i = 1,…,n для дискретного случая,

f_x(x) = ∫f(x,y)dy – функция плотности для непрерывной случайной величины.

Математическое ожидание и дисперсия случайных величин X, Y определяются как обычно.

Условная плотность

Пусть   и   — случайные величины, такие что случайный вектор   имеет абсолютно непрерывное распределение, задаваемое плотностью вероятности  . Пусть   таково, что  , где   — плотность случайной величины  . Тогда функция

называется усло́вной пло́тностью вероя́тности случайной величины   при условии, что  . Распределение, задаваемое условной плотностью вероятности, называется условным распределением.

Априорные и апостериорные плотности.

Априорное распределение(плотность): (Ɵ)

Пример:

, где u>0, v>0.

Апостериорная функция плотности