1.2. Дискретная и непрерывная случайные величины

Случайной величиной называется такая переменная величина, которая в результате опыта может принимать то или иное заранее неизвестное значение , из известного множества значений. Различают два основных типа случайных величин: дискретные и непрерывные.

Дискретная случайная величина может принимать конечное или бесконечное множество значений , которые можно пронумеровать

Полной статистической характеристикой случайной величины является закон распределения вероятностей. В случае дискретной величины под ним понимается соотношение, устанавливающее зависимость между возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностямипри этом

Закон распределения дискретной случайной величины можно задать в различных формах: табличной, графической, аналитической. Универсальной характеристикой, одинаково пригодной для дискретных и для непрерывных одномерных случайных величин, является функция распределения вероятностей (интегральная функция распределения), определяющая вероятностьтого, что случайная величинапримет значение меньше некоторого некоторого числа:

Функция распределения обладает следующими свойствами:

1.

2.

3. неубывающая функция, т.е.при

4. .

Функция распределения дискретной случайной величины представляет собой ступенчатую функцию со скачками в точках

Во многих ситуациях невозможно определить закон распределения случайной величины, часто в этом нет необходимости. В таких ситуациях рассматривают отдельные параметры (числовые характеристики) этого закона. Наиболее важными числовыми характеристиками случайной величины с множеством значенийи законом распределения вероятностей

являются:

- математическое ожидание;

- средний квадрат;

- дисперсия.

Возможные значения непрерывных случайных величин не могут быть заранее перечислены и непрерывно заполняют некоторый промежуток или даже всю ось. Функция распределения непрерывной случайной величины представляет собой непрерывную функцию.

Часто предполагают, что функции распределения непрерывных случайных величин дифференцируемы во всей области возможных значений случайных величин. При таком предположении непрерывная случайная величина чаще своего описывается плотностью распределения вероятности, которая иногда называется дифференциальным законом распределения или дифференциальной функцией распределения. Плотность вероятности определяется как производная функции распределения:

Плотность вероятности обладает следующими основными свойствами:

1. Плотность вероятности неотрицательна, т.е.

2. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал равна интегралу от плотности вероятности в этих пределах:

3. Интеграл в бесконечных пределах от функции равен единице (условие нормировки):

Для непрерывной случайной величины формулы для математического ожидания и дисперсии имеют вид:

Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1. По двоичному каналу связи с помехами передаются две цифры 1 и 0 с вероятностями Вероятность перехода единицы в единицу и нуля в нуль соответственно равны,Определить закон распределения вероятностей случайной величины- однозначного числа, получаемого на приемной стороне.

Решение. . Нульна приемной стороне может быть получен в двух случаях: при передаче нуля или при передаче единицы, следовательно, по формуле полной вероятности

Поэтому

Аналогично

Распределение вероятностей представлено в табл. 1.

					Табл. 1.
	0			1

Пример 2. Производится прием символов 0 и 1 до первого появления символа 1. Вероятность появления 1 при приеме . Принимается не более четырех символов. Вычислить математическое ожидание, дисперсиюи среднеквадратическое отклонениевеличины числа принятых символов.

Решение. Распределение вероятностей можно рассчитать следующим образом:

По определению математического ожидания имеем:

,

для дисперсии получаем:

Пример 3. Функция распределения случайной величинызадана графиком (рис. 1.1).

0 1 2 3 4 5 6 х Рис. 1.1 Функция распределения 1,0 0,5 F(x)

Требуется: 1) найти аналитическое выражение для функции распределения; 2) построить график плотности вероятности 3) определить вероятность того, что величина примет значение от 3,5 до 4,5. Решение. 1. Когда значения величины заключе ны в пределах от 3 до 5, функция распределения представляет собой отрезок прямой, прохо-

дящей через две точки с координатами (3,0) и (5,1). Используя уравнение прямой в виде получаемт.е.Следовательно,

при

2. По определению, Поэтому

0 1 2 3 4 5 6 х Рис. 1.2. Плотность вероятности 0,5 при График плотности вероятности представлен на рис. 1.2. 3.

p(x)