- •Методические указания для студентов экономической специальности заочной и ускоренной форм обучения
- •Содержание
- •Часть 1. Программа курса
- •1. Элементы векторной алгебры и аналитической геометрии.
- •2. Введение в анализ. Дифференциальное исчисление.
- •3. Функции нескольких переменных.
- •4. Интегральное исчисление.
- •5. Дифференциальные уравнения.
- •6. Ряды.
- •7. Теория вероятностей.
- •8. Рекомендуемая литература.
- •Часть 2. Методические указания по самостоятельной работе
- •1. Чтение учебника.
- •2. Решение задач.
- •3. Самопроверка.
- •4. Консультации.
- •5. Контрольные работы.
- •6. Лекции и практические занятия.
- •7. Зачеты и экзамены.
- •Часть 3. Требования к оформлению контрольной работы
- •Часть 4. Контрольные задания
- •1.1. Контрольная работа № 1. «Аналитическая геометрия и векторная алгебра».
- •1.2. Основные теоретические сведения.
- •1. Аналитическая геометрия на плоскости. Простейшие задачи на плоскости
- •Различные виды уравнения прямой на плоскости
- •Расстояние от точки до прямой
- •Взаимное расположение двух прямых на плоскости
- •Кривые второго порядка
- •2. Элементы векторной алгебры.
- •3. Аналитическая геометрия в пространстве. Различные виды уравнения плоскости
- •Взаимное расположение двух плоскостей
- •Расстояние от точки до плоскости
- •Различные виды уравнений прямой в пространстве
- •Взаимное расположение двух прямых в пространстве
- •Взаимное расположение прямой с плоскостью
- •1.3. Образец решения контрольной работы № 1.
- •2.1. Контрольная работа № 2. «Введение в анализ. Дифференциальное исчисление».
- •2.2. Основные теоретические сведения.
- •1. Теория пределов Основные понятия
- •Основные теоремы о действиях над функциями, имеющими конечный предел
- •Важные исключения из теоремы
- •Замечательные пределы
- •2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •Основные правила дифференцирования
- •Геометрический смысл производной
- •Механический смысл производной
- •Применение производной
- •3. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных Явное задание функции
- •Неявное задание функции
- •Касательная плоскость и нормаль к поверхности
- •Экстремум функции двух переменных
- •2.3. Образец решения контрольной работы № 2.
- •3.1. Контрольная работа № 3. «Интегральное исчисление».
- •3.2. Основные теоретические сведения.
- •1. Неопределенный интеграл
- •Основные свойства неопределенного интеграла
- •2. Определенный интеграл
- •Приложения определенного интеграла в геометрии
- •3.3. Образец решения контрольной работы № 3.
- •4.1. Контрольная работа № 4. «Дифференциальные уравнения. Ряды».
- •4.2. Основные теоретические сведения.
- •1. Дифференциальные уравнения
- •2. Ряды Числовые ряды Основные понятия
- •Положительные числовые ряды
- •Знакопеременные и знакочередующиеся ряды
- •Функциональные ряды Основные понятия
- •4.3. Образец решения контрольной работы № 4.
- •5.1. Контрольная работа № 5. «Теория вероятностей».
- •5.2. Основные теоретические сведения.
- •1. Случайные события
- •Операции над событиями
- •Элементы комбинаторики
- •Аксиомы теории вероятностей
- •Свойства вероятности
- •2. Случайные величины Дискретные случайные величины
- •Законы распределения дискретной случайной величины
- •Числовые характеристики дискретной случайной величины
- •Непрерывные случайные величины
- •Числовые характеристики непрерывной случайной величины
- •Законы распределения непрерывной случайной величины
- •5.3. Образец решения контрольной работы № 5.
- •Список литературы
Приложения определенного интеграла в геометрии
5. Площадь криволинейной трапеции в декартовой прямоугольной системе координат (рис. 8) вычисляется по формуле: . Если на (график функции лежит ниже оси ), то .
6. Если криволинейная трапеция ограничена сверху кривой, заданной параметрически то площадь фигуры равна: , где и соответствуют значениям и .
7. Площадь криволинейного сектора, ограниченного кривой и двумя лучами и в полярных координатах (рис. 9) вычисляется по формуле: .
8. Если кривая задана уравнением в декартовой прямоугольной системе координат, то длина этой кривой от точки до точки вычисляется по формуле: . Если кривая определяется уравнением , то .
9. Если кривая задана параметрически , то длина кривой вычисляется по формуле: , где и соответствуют значениям и .
10. Если кривая задана уравнением в полярных координатах, то ее длина между лучами и равна: .
11. Объем тела, образованного вращением вокруг оси криволинейной трапеции (рис. 8), вычисляется по формуле: . Если эту криволинейную трапецию вращать вокруг оси , то объем тела вращения равен , причем .
12. Если криволинейная трапеция ограничена кривой ( ), осью и прямыми и (рис. 10), то объем полученного тела вращения вокруг оси равен: .
Рис. 10
13. Если дуга кривой, заданная в декартовых прямоугольных координатах , где , вращается вокруг оси , то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле: .
14. Если дуга кривой , где вращается вокруг оси , то площадь поверхности вращения вычисляется по формуле: .
15. Если дуга кривой задана параметрически где , то площадь поверхности вращения вокруг оси равна: .
16. Если дуга задана в полярных координатах , где , то .
3.3. Образец решения контрольной работы № 3.
Задание 1. Найти неопределенные интегралы. Результаты проверить дифференцированием.
1) ; 2) ;
3) ; 4) .
Решение. 1) Интеграл преобразуем к табличному методом замены переменной. Так как , то, вводя новую переменную находим интеграл:
.
Проверка. Покажем, что производная от найденного неопределённого интеграла равна подынтегральной функции. По свойству неопределённого интеграла это означает, что интеграл найден верно.
. Интеграл найден верно.
2) Преобразуем интеграл к виду :
. Учитывая, что
, то после введения новой переменной получаем табличный интеграл:
.
Проверка.
. Интеграл найден верно.
3) Для интегрирования произведения степенной функции на трансцендентную функцию (тригонометрическую, обратно тригонометрическую, показательную или логарифмическую) применяется метод интегрирования по частям, опирающийся на использование формулу интегрирования по частям . (*)
Пусть и , тогда и .
Применяя формулу (*), находим:
.
Проверка.
. Интеграл найден верно.
4) Для нахождения неопределённого интеграла от неправильной рациональной дроби, степень числителя которой больше или равна степени знаменателя, выделим из дроби целый многочлен и правильную дробь, используя деление многочленов «уголком»:
Таким образом, имеем:
Следовательно, по свойству неопределённого интеграла
(*)
В последнем интеграле квадратный трёхчлен имеет два действительных корня, которые находим из квадратного уравнения :
После этого правильная рациональная дробь может быть разложена на сумму двух простейших элементарных дробей методом неопределённых (буквенных) коэффициентов следующим образом:
(**), где А и В – неопределённые коэффициенты.
Приводя к общему знаменателю сумму и группируя по степеням переменной х, получаем:
.
Из равенства (**) следует, что , а это возможно тогда и только тогда, когда или Решая систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными, находим неопределенные коэффициенты: , .
Подставим найденные значения А и В в равенство (**), получим:
Следовательно,
Исходный интеграл в формуле (*) примет вид:
.
Проверка.
. Интеграл найден верно.
Ответ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .
Задание 2. Вычислить по формуле Ньютона-Лейбница определенный интеграл .
Решение. Формула Ньютона – Лейбница имеет вид:
Для вычисления заданного интеграла используем метод замены переменной в определённом интеграле: , , .
Найдём пределы интегрирования для новой переменной t. Если , то . Если , то . Итак, Вычисляем интеграл, переходя к новой переменной с новыми пределами интегрирования:
Ответ: .
Задание 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной графиками функций и . Сделать чертеж.
Решение. Для выполнения чертежа (рисунка фигуры) найдём координаты вершины параболы и точек пересечения параболы с прямой. Вершина параболы находится в точке экстремума функции Поэтому найдём производную и приравняем её нулю.
По уравнению параболы находим Вершина параболы находится в точке , ветви параболы направлены вниз.
Для нахождения точек пересечения параболы и прямой необходимо решить систему двух уравнений:
Точками пересечения являются и Делаем чертёж фигуры.
Для вычисления площади S полученной фигуры будем использовать формулу: , где – уравнение кривой, которая ограничивает фигуру сверху, а – уравнение кривой, ограничивающей фигуру снизу, и – абсциссы соответственно левой и правой точек пересечения кривых. В нашем случае: , , и .
Вычисляем площадь фигуры:
(кв. ед.).
Ответ: 4,5 (кв. ед.).
Задание 4. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной графиками функций и .
Решение. Для выполнения чертежа фигуры найдём координаты точек пересечения параболы с прямой, решив систему двух уравнений:
Точками пересечения являются и . Делаем чертёж фигуры.
Для вычисления объема V, получаемого при вращении данной фигуры вокруг оси Ох, будем использовать формулу: , где – уравнение кривой, которая ограничивает фигуру сверху, а – уравнение кривой, ограничивающей фигуру снизу, и – абсциссы соответственно левой и правой точек пересечения кривых. В нашем случае: , , и .
Вычисляем объем:
(куб. ед.).
Ответ: (куб. ед.).