Глава 1. Введение в математический анализ 4

1.1. Логическая и математическая символика 4

1.2. Множества 5

1.3. Функции 7

Аналитический способ: связь между аргументом x и функцией y задается формулой, при этом на разных участках области определения она может задаваться различными формулами (см. пример 2) . В примерах 1, 2 функции заданы аналитически. 7

Табличный способ: функция задается таблицей отдельных значений аргумента и соответствующих значений функции. Такими являются таблицы тригонометрических функций, таблицы логарифмов и т.д. 7

Графический способ: в этом случае соответствие между значениями x и y задается с помощью графика. 7

1.4. Пределы функции на бесконечности 8

1.5. Предел функции в точке 11

Рассмотрим значения x > 1, тогда f(x) = 4 – x. Зафиксируем  > 0, 14

| f(x) – 3| = |2 – x – 3| = |1 – x|. Отсюда | f(x) – 1| <   |1 – x| < , т.е. | f(x) – 1 | <  для x  (1, 1 + ). Значит, f(x) = 3. 14

1.6. Бесконечно-малые функции и их свойства 14

1.7. Бесконечно большие функции, их свойства и связь с бесконечно малыми функциями 16

1.8. Основные теоремы о пределах 17

1.9. Первый замечательный предел 20

1.10. Второй замечательный предел 20

1.11. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно малые функции 23

1. Если = b и b – конечное число, b  0, то функции (x), (x) называются бесконечно малыми одного порядка малости при x  a. 23

2. Если = 0, то (x) называют бесконечно малой высшего порядка, чем (x) при x  a. Очевидно, в этом случае = . 23

3. Если (x) – б.м. высшего порядка, чем (x), и = b  0 (b – конечное число, k  N), то (x) называют бесконечно малой k-го порядка, по сравнению с (x) при x  a. 23

4. Если не существует (ни конечный, ни бесконечный), то (X), (X) называют несравнимыми б.М. При X  a. 23

5. Если = 1, то (x), (x) называются эквивалентными б.м. при x  a, что обозначается так: (x)  (x) при x  a. 23

Пусть (x) ~ (x) при x  a. Тогда = = 0, т.е. разность (x) – (x) – б.м. высшего порядка, по сравнению с (x) при при x  a (аналогично с (x)). 23

Пусть (x) – (x) – б.м. высшего порядка, по сравнению с (x) и (x), покажем, что (x) ~ (x) при x  a: 23

= = + = 1, 23

т.е. (x) ~ (x) при x  a. 23

Теорема 3. Сумма конечного числа бесконечно малых различных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка. 23

Доказательство. Пусть (x) – б.м. низшего порядка по сравнению с (x) и (x) при x  a, т.е. = 0 и = 0. 23

Покажем, что (x) ~ ((x) + (x) + (x)) при x  a: 23

= + + = 1 + 0 + 0 = 1. 23

Доказанные теоремы применяются для нахождения пределов. 23

Пример 4. Найти . 23

По теореме 3 при x  0: 4x + 2x³ ~ 4x , sin²x + 3tg5x + x³ ~ 3tg5x, тогда 23

= = = . 23

1.12. Непрерывность функции в точке. Точки разрыва 23

1. Всякая постоянная функция y = C непрерывна в каждой точке x₀R, так как C = C. 26

2. Функция y = x непрерывна в любой точке x₀, так как x = x₀. Тогда функция y = Cxⁿ, где n N, непрерывна на всей числовой оси, как произведение непрерывных функций. 26

3. Любой многочлен: y = a₀ + a₁x + a₂x² + ...+ a_nxⁿ, непрерывен в каждой точке числовой оси, как сумма непрерывных функций. 26