Дистанционная физическая школа

Код курса: Ф 2

8 - 9 классы

Модуль 1. Измерения физических величин и обработка результатов

1. Физические величины и размерность

Физические тела обладают рядом свойств как качественных, так и количественных. У любого тела есть количественные характеристики его свойств. Например: масса, вес, температура, длина, ширина, высота, объем, плотность, площадь и т.д. Количественные характеристики свойств тел по-другому называются физическими величинами.

Для каждой физической величины имеются соответствующие единицы измерения.

Стоит отметить, что измеряться могут характеристики не только свойств тел, но и процессов и явлений. Например, звук характеризуется громкостью, взаимодействие тел – силой, электрический ток – силой тока и т.д.

Физические величины можно измерить при помощи приборов или вычислить.

Таблица 1.

Характеристика	Физическая величина	Единицы измерения	Прибор (примеры)
Размеры	Длина, ширина, высота	Метр [м]	Линейка, рулетка, измерительная лента, штангенциркуль, микрометр
	Площадь	Квадратный метр [м2]	Палетка
	Объем	Кубический метр [м3]	Мензурка
Тяжесть	Масса	Килограмм [кг]	Весы
	Вес	Ньютон [Н]	Динамометр
Быстрота движения	Скорость	Метр в секунду [м/с]	Спидометр
Продолжительность	Время	Секунда [c]	Секундомер, часы, хронометр
Нагретость	Температура	Градус [C]	Термометр

При желании таблицу можно продолжить.

Единицы измерения физических величин - это величины, по определению считающиеся равными единице при измерении других величин такого же рода (1кг, 1м, 1с и т.д.). Эталон единицы измерения – ее физическая реализация. Так эталоном единицы измерения «метр» в системе СИ служит стержень длиной 1 м, а эталоном «килограмма» - платино-иридиевый цилиндр массой 1 кг.

Основные единицы. В системе единиц для каждой измеряемой физической величины должна быть предусмотрена соответствующая единица измерения. Таким образом, отдельная единица измерения нужна для длины, площади, объема, скорости и т.д., и каждую такую единицу можно определить, выбрав тот или иной эталон. Но система единиц оказывается значительно более удобной, если в ней всего лишь несколько единиц выбраны в качестве основных, а остальные определяются через основные.

Удобство такой системы единиц (особенно для ученых и инженеров, которые гораздо чаще встречаются с измерениями, чем остальные люди) в том, что математические соотношения между основными и производными единицами системы оказываются более простыми. Такие соотношения носят общий характер и выполняются независимо от того, в каких единицах (метр, фут или аршин) измеряется длина и какие единицы выбраны для других величин.

В принципе, можно представить себе сколь угодно большое число разных систем единиц, но широкое распространение получили лишь некоторые. Во всем мире для научных и технических измерений и в большинстве стран в промышленности и быту пользуются метрической системой. Наличие различных систем ставит задачу перевода одних единиц в другие. Изменение основных единиц приводит к изменению производных единиц. Например, если основными единицами будут «километр» и «час», то единица скорости окажется «километр в час». Очевидно, необходимо найти такое соотношение, которое позволило бы определить, как с изменением каждой основной единицы изменится производная единица интересующей нас величины. Такое соотношение носит название формулы размерности единицы данной величины. Для написания формулы размерности воспользуемся тремя основными единицами метрических систем СИ и СГС. В этих системах основными единицами являются метр, килограмм, секунда и сантиметр, грамм, секунда соответственно. Обозначим эти единицы как L, M и T, а их размерность, как a, b и с относительно единиц длины, массы и времени. Если единица некоторой величины A обладает размерностью a, b и с, то символически это записывают в виде:

[A] = L^aM^bT^c, где квадратные скобки, в которые поставлен символ величины А, означают, что речь идет о размерности единицы этой величины, а символы L, M и T представляют собой обобщенные обозначения единиц длины, массы и времени без указания конкретного размера единиц.

Пример. Для функциональной зависимости (формулы) скорости = формула размерности имеет вид: [V] = L¹M⁰T^-1, или, опуская символы основных единиц, стоящих в нулевой размерности:

[V] = L¹T^-1

Размерность безразмерных величин равна нулю и в формулах размерности также не записывается.

Считается, что размерность положительна, если величина находится в числителе и отрицательна, если величина находится в знаменателе.

Пример. Для функциональной зависимости (формулы) площади круга S = πR² формула размерности имеет вид: [S] = [π] [R]²=L².

Основные единицы представлены в таблице 2. Производные единицы системы СИ, для которых приняты особые названия, даны в таблице 3.

Таблица 2.

ОСНОВНЫЕ ЕДИНИЦЫ
Величина	Единица		Обозначение
	Наименование	Размерность	СИ	СГС
Длина	метр	L	м	см
Масса	килограмм	M	кг	г
Время	секунда	T	с	с

Предложите учащимся решить задачи.

Задание 1. Составьте формулы размерности для следующих функциональных зависимостей:

А) Площади квадрата S = l², где l – сторона квадрата.

Решение. [S] = [l]² =L²M⁰T⁰=L²

Б) Площади прямоугольника S = l∙d, где l и d – стороны прямоугольника.

Решение. [S] = [l][d] =L¹L¹M⁰T⁰= L¹⁺¹=L²

В) Плотности ρ =

Решение. [ρ] = = M¹L^-3

Таблица 3.

ПРОИЗВОДНЫЕ ЕДИНИЦЫ СИ, ИМЕЮЩИЕ СОБСТВЕННЫЕ НАИМЕНОВАНИЯ
Величина	Единица		Выражение производной единицы
	Наименование	Обозначение	через другие единицы СИ	через основные и дополнительные единицы СИ
Частота	герц	Гц	–	с–1
Сила	ньютон	Н	–	мкгс–2
Давление	паскаль	Па	Н/м2	м–1кгс–2
Энергия, работа, количество теплоты	джоуль	Дж	Нм	м2кгс–2
Мощность, поток энергии	ватт	Вт	Дж/с	м2кгс–3
Электрический заряд	кулон	Кл	Ас	сА
Электрическое напряжение и потенциал	вольт	В	Вт/А	м2кгс–3А–1
Электрическая емкость	фарада	Ф	Кл/В	м–2кг–1с4А2
Электрическое сопротивление	ом	Ом	В/А	м2кгс–3 А–2
Электрическая проводимость	сименс	См	А/В	м–2кг–1с3А2
Поток магнитной индукции	вебер	Вб	Вс	м2кгс–2А–1
Магнитная индукция	тесла	Т, Тл	Вб/м2	кгс–2А–1
Индуктивность	генри	Г, Гн	Вб/А	м2кгс–2А–2
Световой поток	люмен	лм		кдср
Освещенность	люкс	лк		м2кдср
Активность радиоактивного источника	беккерель	Бк	с–1	с–1
Поглощенная доза излучения	грэй	Гр	Дж/кг	м2с–2

Умение составлять формулы размерности позволяют, например, переходить от одной системы единиц измерения к другой.

Пример. Найдем размерность кинетической энергии, определяемой формулой E = .

[E] =[ ] [m] []²=M¹(L¹T^-1)² = M¹L²T^-2 = L² M¹T^-2

При переходе от единиц системы СИ к единицам системы СГС формула размерности останется такой же, а единица кинетической энергии увеличится в (100)²(1000)¹(1)^-2=10⁷ раз. То есть 1Дж=10⁷эрг.

Задание 2. Используя теорию размерностей, переведите скорость, выраженную в километрах в час в единицы системы СИ.

Решение. [] = L¹T^-1

(1000)¹(3600)^-1 = , то есть численное значение скорости уменьшается в 3,6 раза.

И наконец, умение работать с формулами размерности позволяет достаточно легко, качественно, а порой и количественно (с точностью до констант) определить функциональные зависимости одних физических величин от других.

Задание 3. Животным пустыни приходится преодолевать большие расстояния в поисках воды. Как зависит максимальное время, в течение которого может бежать животное, от размеров животного?

Решение. В предположении, что средняя плотность тел животных примерно одинакова, можно считать, что запас воды пропорционален объему тела V. Тогда размерность «запаса» можно считать пропорциональной размерности объема, где [V] = L³. Расход же, то есть скорость испарения, пропорционален площади поверхности тела S.

Учителю: для лучшего понимания ситуации предложите учащимся ответить на вопрос: что быстрее испарится - вода, налитая в стакан или такая же масса воды, разлитая по полу?

Тогда размерность «расхода» можно считать пропорциональной размерности площади поверхности, где [S] = L². Так как расход = , то время можно выразить как отношение «запаса» к «расходу». А размерность времени будет пропорциональна отношению размерностей объема V и площади S тела.

Тогда [t] ~ ~ L³L^-2 ~ L¹.

Значит, максимальное время пробега от одного источника до другого прямо пропорционально L, то есть линейным размерам животного. Заметим, что и максимальное расстояние, которое может пробежать животное, также пропорционально L.