Переходные процессы в rlc-цепях
Рассмотрим переходные процессы в RLC-цепях на примере цепи последовательного колебательного контура рис. 4.3,а, потери в котором будем учитывать путем включения в цепь резистораR.
Рис.4.3. RLC-цепь (а) и переходные процессы в ней (б) и (в).
Переходные процессы в последовательном колебательном контуре при нулевых начальных условиях. Установим ключ К в положение 1, и подключим входное воздействие к контуру. Под действием подключенного источника u в контуре потечет ток i, который создаст напряжения uR, uL, uC .
На основании второго закона Кирхгофа для этого контура можно записать следующее уравнение
Учитывая,
что 
будем
иметь
.
(4.34)
Общее решение уравнения (4.34) будем искать в виде суммы свободной uС св и принужденной uС пр составляющих:
. (4.35)
Свободная составляющая определяется решением однородного дифференциального уравнения, которое получается из (4.34) при u = 0
.
(4.36)
Решение (4.36) зависит от корней характеристического уравнения, которое получается из (4.36) и имеет вид
.
(4.37)
Корни этого уравнения определяются только параметрами цепи R, L ,C и равны
,
(4.38)
где α = R/2L – коэффициент затухания контура;
–
резонансная
частота контура.
Из
(4.38) видно, что корни р1 и р2 зависят от
характеристического сопротивления
контура 
и
могут быть:
при R > 2ρ вещественными и различными;
при R < 2ρ комплексно-сопряженными;
при R = 2ρ вещественными и равными.
При R > 2ρ свободная составляющая будет равна:
.
(4.39)
Пусть входное воздействие u = U = const, тогда принужденная составляющая uпр = U. Учитывая выражение (4.39) и что uпр = U выражение (4.35) примет вид:
.
(4.40)
Зная uС находим ток в контуре
.
(4.41)
Для определения постоянных интегрирования А1 и А2 запишем начальные условия для uC и i при t = 0:
(4.42)
Решая систему уравнений (4.42) получаем:
;
.
Подставляя А1 и А2 в уравнения (4.40) и (4.41) и учитывая, что в соответствии с (4.38) p1 p2=1/LC будем иметь:
;
(4.43)
.
(4.44)
Так
как 
,
то
.
(4.45)
Графики изменения uС, i, uL в последовательном колебательном контуре при условии R > 2ρ приведены на рис. 4.3,б).
Моменты времени t1 и t2 определяются соответственно из условий
,
и равны:
;
.
Анализ графиков, описываемых выражениями (4.43 – 4.45) показывает, что при R > 2ρ (при больших потерях) в контуре происходят апериодические процессы.
Рассмотрим процессы в контуре при R < 2ρ. В этом случае из (4.38) имеем:
,
(4.46)
где 
–
частота свободных затухающих колебаний.
Решение уравнения (4.36) имеет вид
,
(4.47)
где A и θ – постоянные интегрирования
Учитывая (4.47) и что uпр = U находим закон изменения напряжения на емкости
.
(4.48)
Под действием uС в цепи протекает ток
.
(4.49)
Полагая в (4.48) и (4.49) t = 0 и учитывая законы коммутации получим
(4.50)
Решая систему уравнений (4.50) находим
Подставляя А в (4.48) и (4.49) и учитывая, что находим уравнения описывающие изменения uС, i, uL в контуре для случая R < 2ρ:
.
(4.51)
.
(4.52)
.
(4.53)
График изменения напряжения uС, определяемый выражением (4.51) изображен на рис. 4.3,б пунктирной линией. Из рисунка и выражения (4.51) видно, что если последовательный контур имеет малые потери (R < 2ρ), то при подключении к нему источника постоянного напряжения в контуре возникает затухающий колебательный процесс.
Переходные процессы в последовательном колебательном контуре при ненулевых начальных условиях. Установим ключ К в цепи рис. 4.3,а в положение 2. При этом произойдет отключение входного воздействия от цепи и цепь замкнется. Поскольку до коммутации цепи конденсатор был заряжен до напряженияuC = U, то в момент замыкания цепи он начнет разряжаться и в цепи возникнет свободный переходной процесс.
Если в контуре выполняется условие R> 2ρ, то корни р1 и р2 в (4.38) будут вещественны и различны и решение уравнения (4.36) будет иметь вид
.
(4.54)
Напряжение uC создает ток в цепи
.
(4.55)
Для определения постоянных интегрирования А1 и А2 положим t = 0 и учтем, что на момент коммутации uC = U, i = 0, тогда из (4.54) и (4.55) получим
(4.56)
Решая систему уравнений (4.56) находим
;
.
Подставляя А1 и А2 в (4.54) и (4.55) получаем уравнения для напряжения uC и тока i в цепи контура
.
(4.57)
. (4.58)
Из выражений (4.57) и (4.58) видно, что при отключении входного воздействия от цепи контура, который имеет большое затухание (R > 2ρ) происходит апериодический разряд емкости С. Запасенная до отключения входного воздействия энергия в емкости WС = CU2/2 расходуется на покрытие тепловых потерь в резисторе R и создания магнитного поля в индуктивности L. Затем энергия электрического поля емкости WС и магнитная энергия индуктивности WL расходуется в резисторе R.
Найдем закон изменения напряжения uC и тока i в цепи, когда контур обладает малыми потерями, т.е. при условии R < 2ρ. В этом случае корни р1 и р2 носят комплексно-сопряженный характер (4.46) и решение уравнения (4.36) имеет вид:
.
(4.59)
Под действием uC в цепи протекает ток
. (4.60)
Для определения постоянных интегрирования А и θ учтем, что на момент коммутации t = 0, uC = U, i = 0 и подставляя эти значения в (4.59) и (4.60) получаем
(4.61)
Решая систему уравнений (4.61) находим
Подставляя А и θ в (4.59) и (4.60) и учитывая, что получаем уравнения, определяющие закон изменения напряжения и тока в контуре с малыми потерями
(4.62)
Анализ уравнений (4.62) показывает, что при отключении входного воздействия от контура с малыми потерями (R < 2ρ) в нем возникают затухающие колебания с частотой ωС, которая определяется параметрами R, L, C цепи. Графики изменения uC и i изображены на рис. 4.3,в.
Скорость затухания периодического процесса характеризуют декрементом затухания, который определяется как отношение двух соседних амплитуд тока или напряжения одного знака
.
(4.63)
В логарифмической форме декремент затухания имеет вид
.
(4.64)
Из
(4.64) видно, что затухание тем больше чем
больше потери в контуре, которые
определяются величиной R. При R ≥ 2ρ
переходной процесс в контуре становится
апериодическим. При R = 0 в контуре имеет
место незатухающее гармоническое
колебание с частотой 
.
В реальных контурах R ≠ 0, поэтому в них
имеют место затухающие колебания.