Вопросы

1. Какова мощность множества всех корней квадратных уравнений с рациональными коэффициентами?

2. Всякое число, являющееся корнем многочлена с рациональными коэффициентами, называется алгебраическим. Какова мощность множества алгебраических чисел?

3. Какова мощность множества точек отрезка [а, b]?

4. На плоскости задано некоторое бесконечное множество непересекающихся окружностей. Может ли это множество быть несчетным?

5. Какова мощность множества точек всей числовой оси?

Из ответа на последний вопрос ясно, что множество всех действительных чисел имеет мощность континуума. Можно доказать, что множества всех точек на плоскости или в пространстве имеют такую же мощность.

Может возникнуть вопрос, существуют ли множества высших мощностей. Положительный ответ здесь дает следующая теорема Кантора⁷: множество, элементами которого являются все подмножества некоторого множества А, имеет мощность, большую мощности множества (приводится без доказательства).

В связи с изложенным может возникнуть и другой вопрос: существуют ли множества промежуточной мощности между мощностью счетного множества и континуума (так называемая континуум - гипотеза). Недавно (1964 г.) американским математиком Коэном было установлено, что указанное предложение никакими принятыми в математике способами невозможно ни доказать, ни опровергнуть. Таким образом, можно полагать, что континуум - гипотеза, по существу, является аксиомой: приняв ее или отвергнув, мы не вступаем в противоречие с другими положениями математики.

Глава вторая линейная алгебра и аналитическая геометрия

2.1. Понятие о матрице

При решении многих математических и прикладных задач возникает необходимость рассматривать совокупность чисел, расположенных в виде таблиц, что позволяет значительно упростить форму записи.

Например, рассмотрим систему трех уравнений с тремя неизвестными:

Информацию о ней можно закодировать с помощью таблицы

,

а информацию о коэффициентах системы — с помощью другой таблицы:

.

С помощью таблиц можно задавать и функции. Так, функцию

x	1	2	3	4
y	1	4	9	16

можно задать и по-другому:

.

В связи с изложенным введем новое понятие.

Прямоугольной матрицей называется таблица чисел

, (2.1.1)

содержащая строк и столбцов.

Числа называются элементами матрицы. Первый индекс i указывает номер строки, в которой расположен элемент, а второй индекс k — номер столбца. Элементы при i=const образуют i-тую строку матрицы, а при k =const — столбец с номером k.

В литературе используются и другие, более краткие обозначения матрицы. Например,

, , , , .

Матрица (1.1) называется квадратной матрицей n-го порядка, если .

Квадратная матрица порядка n называется диагональной, если при . Она выглядит следующим образом:

и иногда обозначается .

Диагональная матрица порядка п называется единичной матрицей, если все ее элементы равны единице :

.

Используется также обозначение

,

где — символ Кронекера⁸

Матрица произвольной размерности, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей. Обозначается она через

матрица называется матрицей-столбцом (вектор-столбцом):

.

матрица называется матрицей-строкой (вектор-строкой):

.

Две матрицы и называются равными тогда и только тогда, когда при всех и при всех . Равенство может рассматриваться только для матриц одной и той же структуры .